21变量分离方程及可化为变量分离方程的方程求解

1、第二章、一阶微分方程的初等解法教学目标1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型(齐次方程)，熟练掌握变量分离方程的解 法。2. 理解阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3. 理解恰当方程的类型-掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4. 理解阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。教学重难点重点是-阶微分方程的各类初等解法，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解 法。教学方法讲授，实践。教学时间14学时教学内容1变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常 数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。考核目标1一阶

2、微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因 了法、阶隐方程的参数解法。2会建立阶微分方程并能求解。§2.1变量分离方程与变量变换1、变量分离方程1)变量分离方程形如(或(2.1) _2)求解方法(2.2)dyM(x)N(y)dx?M(x)N(y)dy?O)yg(?f(x):ii2dxf(x)g(y)x,y的连续函数分别是.的方程，称为变量分离方程，其中函数和 g(y)?O.方程(2.1)可化为，如果dy?f(x)dx g(y)这样变量就分离开了，两边积分，得到 dy?f(x)dx?c?)g(ydyl?)(x)dx,fr.(x分别理解为把.的某一个原

3、函数是(2.1)的通?()y)yg(?(x,c)y?满足方程(2.1).容易验证由(2.2)所确定的隐函数因而(2.2) 解.g(y)?Oy?yy也是(2.1)的解使如果存在.可能它不包含在方程的通解(，可知2.2中，o«必 须予以补上.例题3)dyx?求解方程1例ydx解将变量分离，得到ydy?0xdx 两边积分，即得 222因而，通解为Mcxy?Mccy?x是任意的正常数.这里的或解出显式形式 J :x?cy例2解方程dy2cosx?y dxx?Oy?l 的特解.时并求满足初始条件：当解将变量分离.得到dy?cosxdx 2y两边积分，即得l?sinx?c_ 3因而通解为l?yc

4、?smxcy?O.此外，方程还有解这里的是任意的常数.cc?O?lx?ly?.得到代入通解中确定常数.为确定所求的特解，以因而，所求的特解为l?y xsinl?求方程例3dyy)(x?P ()23 dxx)(Px._ y两边积分，即得？是的通解，其中的连续函数将变量分离.得到解.cdx?P(x)lny?dy?P(x)dxc这里的由对数的定义，即有是任意常数ey?即?dx(x)pce?e?y?dx)p(xce?y心?,得到令(2.4)c?Oy?y?OO也就包括在(2.4,则中，W而，也是(2.3)的解如果在(2.4此外J中允许c是 任意常数.人其中(2.3)的通解为(2.4C的选取保证(2.2)

5、式有意义.注：I.常数2方程的通解不-定是方程的全部解，有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解，即将遗漏的解要弥补上. y(x)?y的个解，表示微分方程的通解农示的是-族曲线，而特解衣示的是满足特定条件 3<H)(x,y)的曲线的是条过点.辺、可化为变量分离方程的类型1) 形如(25) ?dyy?gdxx?u)ug(的连续函数是的方程，称为齐次方程，这里的 dyM(x,y)?, 另外i)对于方程 yydxm)(b)xNN(tii)对力程 _ dxxt?O)yf(x,y有是的零次齐次函数,dxN(x,y)xint?O),yNM(x,y)

6、(xy有次齐次函数，即对都是和其中函数和的 mmtN(,)y?x)ytx(Ntyxt)/Mtxty?M(,), l?t,则方程可改写成形如爭实上，取(2.5)的方程._ X yymM( 1 9)M( 1 ,x)dy xx?xxdy?f(x,y)即对和 其中右端函数f(tx,ty)?f(x，y)则方程也可改写成形如(2.5)的方程dyy?f(Udxx对齐次方程(2.5)利用变量替换可化为变量分离方程再求解.y?u令_ xux?y 即.于是 dydu?x?u(2.7)dxdx将(2.6). (2.7)代入(2.5),则原方程变为diix)(u?u?g_ dx整理后”得到(2.6)(28_ xdx方

7、程(2.8)是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程(2.5)的解.dyyy?tg例4求解方程xdxxduydy,?u?x?u这是齐次方程，以程变为dxxdxdux?tgu?u?udutgu?dxx分离变虽:，即有dx?ctgudu解代入.则原方_ dx即(2.9)分，得到cusin?xln?lnu?g(u)du?c是任意的常数.整理后，得到这里的cx?usin ) 240inu?0sinu?0c?0s0tgu? (2.10则) 就包含在此外.方程(2.9)还有解 如果，即(2.10中允许 中，这就是说，方程(2.9)的通解为(2.10).代回原来

8、的变量，得到原方程的通解为y?sincx_ xdyj ?2xy0).?y(x?x 例 5 求解方程 dx匚解将方程改写为Ydyyy?2?(x?0)xxdxydydu?u,?x?u 代入.则原方程变为这是齐次力程，以dxxdxduJ- xu?2(241)dudx?_ dx分离变量，得到 x2u )的通解两边积分，得到(211U?111(?X)?C即;(lii(?x)?c?c?0)ln(u?x)(2.12)cu?0 )还有解是任意常数此外，(这里的2.11注意，此解不包括在通解(2.12)中.代回原來的变量，即得原方程的通解2(l?nx(?c)c?0)xy?xln?0?y0.及解原方程的通解还可表

9、为2?,lii(?x)c?c?0,xln(?x)y?0,?.它定义于整个负半轴上ydyy?u?g?y?ux”再对两边后，解出的求解方法关键的-步是令对于齐 次方程注：1.?xxcix?dydux?u?xu,x的可分离方程，再将其代入齐次方程使方程变为关于的导数得.求关于dxdxx?vx?vyy的导2 .而化为变量分离方程这吋齐次方程也可以通过变换“再对两边求关于_ y?dxxdvdx?v?y?fV,y的可分离方程使方程变为数得.将其代入齐次方程?dydydyy?dyy?g形状的解法小结：这讲我们主要讲解了 阶微分方程的可分离变量法和 齐次方程的？?dxx?而这齐次方程通过变量替换任然可化为可分

10、离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法2)形如ax?by?cdyin? 2.13) dxax?by?C222a,a,b,b,c,c均为常数的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的.212121分三种情况来讨论yxax?bdx?22y?u.即可化为变量c?c?O情形(1) 4这时方程(2.13)属齐次方程，有ax?byydy?ng?_ababmPO?的情形2，即(babamabiWk?,则方程可可分离方程.此时，令_ X写成设 _ ba22k(ax?by)?cdys:;?f(ax?by) 22dX 这:x?(cixaby)?C222ax?by?Ut 则方程化为 令:du?a?bf(u) 是

11、一变量分离方程.ab 11?0及c,c不全为零的情形(3).)2442iba22X,y的-次式，因此这时方程(2.13)右端的分了、分母都是 ax?by?c?O?in(?O?ca?ybx?222?)(,xy.平而上两条和交的直线，设交点为代衣.?c?c?OO?O?,这正是情形(或显然-1)(只需进行坐标平移，将坐标原点.否则必有2】?)(,(0,0)就行若:令移至?xX?(2J5)?yY?则(2.14)化为 aX?bY?0?n?aX?by?O?22从而(243)变为 aX?bYYdY?n?g(2.16)?dXaX?bYX?22因此，得到这种悄形求解的-般步骤如下：?y,x?：.设其解为 解联立

12、代数方程(2.14)作变换(2.15)将方程化为齐次方程(2.16)： Y?u将(2.1&(3)再经变换化为变量分离方程：_ X(4)求解上述变量分离方程.最后代回原 变量可得原方程(2.13的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程(2.13更般的方程类型?c?yax?bdyinf?cy?dxax?b?222 此外，诸如 dy)f(?cax?by dxy(xy)dx?xg(xy)dy?O?2xdx?以及dy2?f(xyx) dxdyy?xf?M(x,y)(xdx?ydy)?N(x,y)(xdy?ydx)?OM,Nx,y的齐次函数，次数可以不相同)等-些方程类型，均可通过适当的变量变换化为(其中 为变量分离方程.例6求解方程(247)dyx?y?l?y?Y?2?代入方 3y?xxd x?y?l?0?x?l,y?2.得 解 解力程组?x?y?3?0?x?X?l?令程(217).则有Y?dYX?YdXX再令(2.18_ X则（218）化为Yu?X?uY即dX