《概率论与数理统计》期末考试试题及解答

1、、填空题(每小题3分，共15分) 1设事件代B仅发生一个的概率为0.3,且P(A) P(B) 0.5,则代B至少有一个不发生的概率为答案：0.3解:P(AB AB) 0.30.3 P(AB) P(AB) P(A) P(AB) P(B) P(AB) 0.5 2P(AB)所以P(AB) 0.1P(A B) P(AB) 1 P(AB) 0.9.2),则 P(X 3)2.设随机变量X服从泊松分布，且P (X 1) 4P答案:3.设随机变量X在区间 解答：(0,2)上服从均匀分布,2mil唏知亦畐丫 Y :Zurzini f n /I > 山餡刃加玄P(X1) P(X 0)P(X1)eA'

2、 P(X 2)pP(X 1)4P(X 2)知h故P(X 3) P6密度为fY (y)0y4,答案:J(y) Fy4y0,其它.解答：设丫的分布函数为FY(y), X的分布函数为Fx(x),密度为fx(x)则Fy(v) P(Y y) P(X2 y) P( y X Jy) Fx(J) Fx(.?)因为 X 7(0, 2),所以 Fx(环0, 即 Fy(y) FxG. y)所以另解在(0,2)上函数y"丿4,设随机变量答案:5.设总体Xi,X2,答案:解答：似然函数为4- ° f0,其它-2X严格单调，反函数为 h(y) 3X,丫相互独立，且均服从参数为,Pmin(X,Y)2,

3、Pmin( X,Y)X的概率密度为1=11e-4P(X 1) 1 P(XPmi n(X,Y) 1f(X),Xn是来自X的样本，则未知参数L(Xl,L,Xn；)解似然方程得的极大似然估计为4用0,其它.的指数分4,P(X1)e2,则1)e e 2,故Pmin( X,Y)P(X 1)P(Y4e0x1,其它的极大似然估计量为1)Xi (In L nln(1 Inx211)1)SL ,Xn)1)In XiIn X 09In Xi(B)若 P (C)1,则AUC与B也独立.(C)若 P (C)0,则AUC与B也独立.、单项选择题(每小题3分，共15分)1 设A, B,C为三个事件，且A, B相互独立，则

4、以下结论屮不正确的是(A)若 P (C)1,则AC与BC也独立.(D )若。B,则A与C也独立.答案：6)解答：因为概率为1的事件和概率为0的事件与任何事件独立，所以(A ) ,( B) ,( C)都是正确的，只能选(D).事实上由图可见A与C不独立S©A2 设随机变量X(A) 21(C)2答案：(2)(2).N(0,1), X的分布函数为(D)12(|X|2)的值为(2).解答:XN(0,1)所以 P(2) (2)X I 2)1P(|X| 2)1 2 (2) 1 21 (2)P(2X2)应选(A).3设随机变量X和丫不相关,(A) X与丫独立(0 D(X Y) DX DY .则下列

5、结论屮正确的是 D(X Y) DX DY .)D(XY) DXDY.答案：(B)解答：由不相关的等价条件知,xy 0 COV (X,y)D(XY)DXDY+2cov(x, y)应选(B).(A)(A)(D)1829.118(1,1) (1,2) (1,3) (2,1) (2,2) (2,3)4设离散型随机变量X和丫的联合概率分布为 (X,Y)1 169183若X,Y独立，贝U,的值为12311111I69183112331112918答案：（A）解答：若X,Y独立则有5 设总体X的数学期望为,Xi,X2 丄正确的是(A) X侥(C) Xi 是的无偏估计量.的相合（一致）估计量.P(X 2, Y

6、 2) P(X 2)P(Y 2)JV-9、2 1、V 匕)3929,故应选（A）.,Xn为来自X的样本,则下列结论屮（B(DXi是的极大似然估计量.Xi不是的估计量.（）答案：（A）解答：EXi,所以Xi是的无偏估计，应选一个合格品被误认为是次品的概率为三、（7分）已知一批产品屮90%是合格品，检查时,0. 05, 个次品被误认为是合格品的概率为0. 02, 求（1） 一个产品经检查后被认为是合格品的概率;（2）个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率解：设A '任取一产品，经检验认为是合格品'B则(1) P任取一产品确是合格品'(A) P (B) P (A|B)

7、 P (B) P (A|B)0.9 0.95 0.10.02 0.857.P(AB)P(A)四、（12分） P(B|A)0.9 0.95 0.9977 0.857从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立 的，并且概率都是2/5.设X为途屮遇到红灯的次数,求X的分布列、分布函数、数学期望和方差解；X的概率分布为p(x k) C3k(5)k(5)3k0,123.X的分布函数为p27125541251258125F(x)0, 辽 125'81125'1170,2,EXDX3五(10分)设二维随机变量(X,Y)在区域均匀分布.求(1)(X,Y)关

8、于X的边缘概率密度;密度.X利用公式fz(Z)其中f(x,zx) 0,0其它125'25356J51825(x,y)|x(1) (X ,Y)的概率密度为f(x,y) 0, (X, y)其它.3.0,3,0, xy 1上服从Y的分布函数与概率fx(X)x)dx1,02,0,fz2X,00x1其它0其 它.1, XZ 1.fz2Zdx 2x0 2z011Xz的分布函数为fzzfz (y)dy或利用分布函数法Fz(z) P(Z z) P(X Y0,2Z ,故z的概率密度为fz(Z)0,zo2ydy,六、(10分)向一目标射击,2乙 0 z 1,0,其它z 11,12dxdy,D0,Fz(z)

9、2z,0,0其它，zz目标屮心为坐标原点,已知命屮点的横坐标X和纵坐标Y相互独立，且均服从N (0,2?)分布.求(1)命屮环形区域D ( X, y) |1 f 2的概率;(2)命屮点到目标屮心距离ZXY?的数学期望.X(1)PX,Y) Df(X, y) dxdy22re8 dxdy22 e 8 rd rd2 8e cl(dxdy严rdrd严8 Qdr15区间；(2)检验假设H。:(附注)応(16) 1.746, to.o50.1 (显著性水平为0.05).(15) 1.753,如25(15) 2.132,2e Tdr02七、(11分)设某机器生产的零件长度(单位：cm) X-N (,)，今抽

10、取容量为16的样本，测得的置信度为0. 95的置信样本均值X 10,样本方差S 0.16.( 1)求2220.05(16) 26.296,X10, sO.4, n16,0.05,2025(15) 2.1320.05(15) 24.996, 。八(佝 27.488.解：(1) 的置信度为1 下的置信区间为S(X t/2 (n 1) JX t/2 (n 1222n 1).所以的置信度为0.95的置信区间为(9.7868, 10.2132)(2) Ho :0.1的拒绝域为15S224,95(15)24.9962H-15 1.622 0-1 因为0/10/1 QQC帝1、1 垛国 U概率论与数理统计期

11、末考试试题(A)专业、班级:姓名:学号:单项选择题(每题3分 共18分)1 . D 2. A 3. B 4. A 5. A & B题号-四五_ > 八七八九十十一十二总成绩得分、单项选择题（每题3分 共18分）设随机变量X其概率分布为X-1012P0.2 0,3 0.1 0.4则 PX 1.5 0 O(A)0.6(B) 1(C) 0(D)设事件A与人同时发生必导致事件A发生，则下列结论正确的是（(a) P(A) p (aaJ(b)P(A)P(AJ(C)P(A) P(Ai A2)(D)P(A)P(A)P(A2)1设随机变量x N（3,1), N(2,V则Z(X与丫相互独(A) N(

12、0, 5);(B)N(O, 3);(C)N(0,46);(D) N(0, 54).设Xl,X2,未 知，贝U(n(A)11为正态总体N(,)是一个统计量。(B)(D)设样本Xi, X2,为Ho :0已知)比:、填空题(每空3分共15分)如果 P(A) 0, P(B) 0, P(AB) P(A),设随机变量X的分布函数为F(x)0,1 (1的一个简单随机样本，其中n(Xi)N(,),2未知。统计假设%则所用统计量为(B)T(D)2P(B A)x)e X,X 0,X 0.2,P(X 2)则X的密度函数f(x)(4)设总体X和丫相互独立，且都服从N (0,1), Xi,X2, X9是来自总体 X的X

13、9Xi样本，丫 1, T 2, 丫 9是来自总体丫的样本，则统计量：丫服从分布(要求给出自由度)。、填空题（每空3分共15分）1. P(B) 2. f(x)Xxe03.14. t(9)三、（6分）设彳弋B相互独立,P(A) 0.7,解：088=P(A B) P(A) P(B) P(AB)P(A B)0.88,求 P(AB)=P(A) P(B) P(A)P(B)（因为A, B相互独立）.2分.4分=0.7 P(B) 0.7P(B)贝 U P(B) 0.6P(A B) P(A) P(AB) P(A) P(A)P(B)0.7 0.7 0.60.28四、（6分）某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某

14、时刻T,各电梯在运行的概率均为07,求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率解：用X表示时刻T运行的电梯数，则Xb（4,07）所求概率PX11 PX06分五、（6分）设随机变量X的概率密度为f（X）0,其它1 C0(07)0(1 0.7)=0.9919求随机变量丫 -2X+1的概率密度。解：因为y2x1是单调可导的，故可用公式法计算1分.2分当X0时，丫 1yi从而丫的密度函数为2）5分6分4分(2)因为PXO,YO OPXOPYO 所以 X与丫不相互独立七、（8分）设二维随机变量（X,Y）的联合密度函数为12e（3x4% xO,y0,其他.求：（1）P（0X 1,0 Y0,求X的边缘密度。解：（

15、O(1) pX1,0 Y 2)1 2dx 12e(3x4y)dy002分i3e3xOJdy0 =3x=e 0=1 囲1 e84分12e (3x4y)dy八、（6分）一工厂生产的某种设备的寿命X （以年计）服从参数为铀勺指数分4布。工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换。若工厂售出一台 设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台 设备净 盈利的期望。解：因为X-e （）4得 f(X)4 4eOxX00.2分用丫表示出售台设备的净盈来11X1100Yinn nnnn则P(Y100)X24°dx1©4X1P Y200* 4 dx1 匕404e 44

16、分所以EY11 00 ©4 /200) (1e 4；6分300/200 33.64(元)九、（8分）设随机变量X与Y的数学期望分别为2和2,方差分别为1和4,解:十、而相关系数为已知EX则 E(2XD(2X Y)2,Y)0.5,求 E(2X Y), D(2XEY 2, DX 1, DY 4,2EX EY 2 ( 2)D(2X) DY 2cov(2X,Y)2DX DY 4cov(X,Y)2DX DY4DX DY xy=12Y)oXY 0.54分5分6分.8分（7分）设供电站供应某地区1 000户居民用电，知每户每日用电量（单位：度）服从0, 20上的均匀分布，禾U用中心极限定 理求这1

17、 000户居民每日用电量超过10 100度的概率。（所求概率用标准正 态分布函数（X）的值表示）.各户用电情况相互独立。已解：用Xi表不第i户居民的用电量，贝U Xi0,20EXi 10 DXi(20 0)21210031000则1000户居民的用电量为X Xi,由独立同分布中心极限定理PX 101001 P X1010010100 1000 101000 型1000 6分10100 1000 101001000 -3=1卜一、（7分）设X1,X2, ,Xn是取自总体X的一组样本值，X的密度函数为Ox 其其中 0未知,tx解:最大似然函数为的最大似然估计。L(Xi, ,Xn,)nf(Xi)1)

18、Xi.2分=(ir(xi,Xn)In L(Xi, ,Xn, )nln(1)4分In (Xr,d In Ln令dT.曰占人曰.亠小I幻4厶4上丄.7分In In （Xi, ,Xn）十二、（5分）某商店每天每百元投资的利润率X-N （ ,1）服从正态分布，均值为,长期以来方差2稳定为1,现随机抽取的WO天的利润，样本均值为X5,试求 的置信水平为95%的置信区间。（t0.05（100） 1.99,(1.96)0.975)X解：因为已知，且一N(0,1)/Jn依题意0.05, U 1.96, n 100,21,x5则的置信水平为95%的置信区间为xU ，xu2 i n即为4.801,5.199概率论

19、与数理统计课程期末考试试题（B）题号四五六七八九十十一十二总成绩得分专业、班级:姓名:学号:一、单项选择题（每题3分共15分）离散型随机变量X的分布律为PXkb kj (k 1,2,）的充分必要条件是（）(A)b>0 且 0 V < 1(B)0 < < 1；1 且 <1；(D)b>0连续随机变量X的概率密度为X,2 X,0,Ox1 x2其它则随机变量X落在区间（04,12）内的概率为（(A) 0.64 ;(B) 0.6;(C) 0.5;(D) 0.42.设随机变量XN（3, 1），丫N2 1）,且X与丫相互独 立，令ZX2Y7,贝 VZ(D) N(0, 54

20、).(A) N(0, 5);(B)N(O,3);(C)N(O, 46);:、填空题（每空2分共12分） 设样本(Xi,X2, ,Xn)抽自总体XN ( ,2) 均未知要对作假设检验，统计假设为Ho：(0已知),Hi：0，则要用检验统计量为给定显著水平,则检验的拒绝区间为2三、(7分)已知P(A) 0.5, P(B) 06条件概率P(B A) 0.8,试求P(AB).四、(9分)设随机变量X的分布函数为F(X)A Barctan x,求：(1)常数代B； (2) P (X1) ；(3)随机变量X的密度函数。五、（6分）某工厂有两个车间生产同型号家用电器，第1车间的次品率为0.15, 第2车间的次

21、品率为012两个车间生产的成品都混合堆放在一个仓库中，假设 1、2车间生产的成品比例为2：3,今有一客户从成品仓库中随机提台产品，求该产品合格的概率六、（8分）已知甲、乙两箱装有同种产品，其中甲箱中装有3件合格品和3件次品，乙箱中仅装有3件合格品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后，求乙箱中 次品件数的分布律及分布函数F（X）.七、（7分）设随机变量X的密度函数为xO其它求随机变量的函数Yex的密度函数fY （y）八、（6分）现有一批钢材，其中80%的长度不小于3 m,现从钢材中随机取出100根，试用中心极限定理求小于3 m的钢材不超过30的概率。（计算结果 用标准正态分布函数值表示）九、(10分

22、)设二维随机变量(X,Y)的联合密度函数为0,其他.12e(3x4% x0,y f(x, y)0,求：(I) P(0X 1,0 Y 2) ； (2)求X, 丫的边缘密度；判断X与丫是 否相互独立十、(8分)设随机变量(X,Y)的联合密度函数为2 f(x, y) 12 y2,0 y X 1,zs+ /iL求E(X), E(Y), E(XY),进一步判别X与丫是否不相关。X的密度函数（X,）0,其他,（7分）.设Xl,X2,Xn是来自总体X的一个简单随机样本,求的矩估计量十二、（5分）总体XN（,1）测得样本容量为100的样本均值X 5,数学期 求X的望的置信度等于095的置信区间。（怕05（100）（1.96）0.975）I、2、3、4、5、单项选择题：（15分）DDBAC填空题：（12分）t,9；2、3、4、X_S (Xt/2 (n 1) s,xt/2 (n1) sS/> > nn三、（7分） 解：P(AB) P(A)P(B I A)