材料力学7-第七章应力状态分析强度理论汇总

1、第七章应力状态分析强度理论1 7.1应力状态概述、工程实例1.2.3.4.5.压缩破坏弯曲拉伸破坏弯曲剪切破坏铸铁扭转破坏 低碳钢扭转破坏/斜冋王-ZH X才拉应力垂直裂缝斜裂缝t tit tthH卄和艸t、应力状态的概念1. 点的应力状态过一点所作各斜截面上的应力情况，即过一点所有方位面上的应力集合。2. 一点应力状态的描述以该点为中心取无限小三对面互相垂直的六面体 （单元体）为研究对象，单元体三对互相垂直的面上 的应力可描述一点应力状态。3. 求一点应力状态（1）单元体三对面的应力已知，单元体平衡（2）单元体任意部分平衡（3）截面法和平衡条件求得任意方位面上的应力， 即点在任意方位的应力。

2、三、应力状态的分类6X丄宀 i /7 I1. 单元体：微小正六面体2. 主平面和主应力：主平面：无切应力的平面主应力：作用在主平面上的正应力。3.三种应力状态单项应力状态：三个主应力只有一个不等于零，如 二向应力状态：三个主应力中有两个不等于零，如 三向应力状态：三个主应力都不等于零A、E点B、D点四、应力状态分析的方法1. 解析法2. 图解法 7.2应力状态分析的解析法、解析法图示单元体,已知应力分量b y、T xy 和 I yx Oyyn（一）任意截面上的正应力和切应力：利用截面法，考虑楔体bef部分的平衡。设ef面的面积为dA，Z Fn =0o护A +（TxydAcosa）si n a

3、_ （cdA cosa） cosa +（TyxdA si na）cosa -（bydAs in a） si na =0Z Ft =0根据切应力互等定理:TdA (TxydA cosoQcosa (bxdAcosa)s in a +(bydAsi not) co的 + (lyxdAsi na)si na =0I xy = I yx，Sin 加=2sina 论三角函数关系：cos丁，sin2解得:bx+by byJ =+cos2a _TxySin2a22yCTx CTa 2ysin 2。+Txy cos2a(7-1)(7-2)（二）主应力即主平面位置 将式（8-1）对取一次导数,令 a = a0时

4、，=0dot并令其等于零可确定正应力的极值和所在平面的位置。dbbx-by=一2 Isin 2%+Txy cos2% 1 = 0dat 2yJ即:丄c2珂tan 20=-j by 将和o0+907弋入（8-1），求出最大及最小的正应力为: c + c（oO c c=计（计）2+篇bmaxbmin11（三）最大切应力及其作用平面的位置将式（8-2）对a取一次导数，并令其等于零可确定切应力的极值和它所在平面的 位置。即:b -Od T令八时，一=0daTmaxTmin *胡（弋JI所以有：2% =2% +，% =%2，4即最大和最小切应力所在平面与主平面的夹角为45例题主应力的大小并确定主平面的方

5、位。1.如图a所示受力杆件内单元体各面上的应力分量。试用解析法求出单元体在 a =30 倾斜面上的应力，解：（1）斜截面上的应力如图a，有：6 =50MPa , by=-100MPaixy = -70MPa a =30所以，J +by j -CTy +cos2a T sin 2a 2 2 y=50 -100 + 50十 100cos60”-70sin60 = 73.1MPa2 2J30。= -by50+100re论二一sin60 -70cos60 =30MPa(2)主应力及主平面的方向bx +by( O -G-y 22亠=彳(一)+Txy =77.6MPa或-127.6MPabmaxmin（3

6、）主平面位置为或111.5见图b）.= 77.6MPa，CT2=0MPa，3 = -127.6MPaxy2X(70)tan2% =-_- = 0.933J-by 50 + 100叫=21.5誠a0 =111.5，即主平面外法线与x轴的夹角为21.5该单元体是主单元体。2.已知圆轴直径d=15mm,在外力偶Me=100N m作用下，发生扭转。试分析圆轴表面上A点的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。解：(1) A点处横截面上的切应力为Mt 16MeT =16X100N E33.14X (0.015)3m3 150.97MPabmin J(2)主应力为6tan 2a 0 =2xy_J -=c

7、y在A点周围截取单元体，单元体各面上的应力如图b，J y =0,Txy所以,6 J)2 + =T =150.97 MPa= 150.97MP aq =0化=150.97M Pa主平面位置为:20 = 9020 = 270(3)由上分析可知，圆轴扭转时表面上各点均处于纯剪切应力状态，而且各点b max所在的平面连成一个倾角为45的螺旋面，由于铸铁抗拉强度低，试件将沿这一螺旋面上因抗拉能力不足而发生断裂破坏。二、主应力迹线F两边缘各点均处于单向拉伸或压缩外，横截 现利用应力圆来确定这些点处主应力的数值梁在横力弯曲时，除横截面上、下面其他各点处的正应力就不是主应力。和主平面的位置。如图a,表示一个受

8、均布荷载q作用的矩形截面梁，在梁的某一 横截面m-n上，围绕2、4两点各取出一个单元体。设此横截面上的剪力和弯矩都是正值，则此二单元体各面上的应力状态如 b图所示。单元体的x平面是梁的横截*面。其上的正应力6牛和切应力5 =竺。单元体的y平面是梁的水平纵截面，IzI zb其上的by =0， Txy和Tyx等值反号。根据这些已知应力，就可以作出相应的应力圆。求出梁截面上一点主应力方向后，把其中一个主应力的方向延长与相邻横截面相 交，求出交点的主应力后，再将其延长线与下一个相邻横截面相交，依次类推，所 做出的折线。折线上任一点的切线方向表示该点的主应力方向。梁内任意一点的主应力的表达式为：-J（邑

9、）2中篇2 飞25迹线。如图实线表示主应力W由上式知，梁内任意一点处的两个主应力必然一个为拉应力，另一个为压应力， 两者的方向任意垂直。所以在梁的 xy平面内可以绘制两组正交的曲线，在一组曲 线上每一点处切线的方向是该点处主应力 F （拉应力）的方向，而在另一组曲线上 每一点处切线的方向则为主应力S （压应力）的方向。这样的曲线称为梁的主应力 迹线，前者称为主应力F迹线，后者则称为主应力 迹线，虚线表示主应力 6迹线。由于主拉应力的存在，混凝土抗拉强度不足而沿着所在的主平面的方向开裂。在 梁跨中的底部，主拉应力 巧方向是水平或接近水平的，所以裂隙方向是垂直的。在 两端主拉应力W方向是倾斜的，所

10、以裂隙也是与主应力正交而倾斜。正因为这样， 在钢筋混凝土受弯构件中，主要承受拉力的钢筋应大致按照主应力 6迹线来配置排 列，以承担梁内各点处的最大拉应力。7.3应力状态分析的图解法、应力圆方程由式（7-1）（ 7-2）可知在二向应力状态下，在法向倾角为a的斜截面上的正应力与切应力均为a的函数。现消去a，则有，bx+DyDx-by. cb =COS 2a T sin 2aa 22bx b y% =-sin 2a + Txy cos 2a以上两式等号两边平方，然后相加，得v）弋=（旨尹）y上式时一个以bq和咕为变量的圆周方程，圆以横坐标表示b，以纵坐标表示T，C + O心的横坐标为一L ；纵坐标为

11、零。2圆的半径为（应力圆。又称摩尔应力圆，简称摩尔圆。）22。这一圆周称为、应力圆的作法b -I直角坐标系，按一定（见图B ）。量取OB=cry，以图a所示单元体为例说明应力圆的做法。先建立 比例尺量取横坐标 OA =ux， AD xy,先确定D点 BD=Txy，确定D ，根据前节符号规定，Tyx为负，所以D点与D点分别位于横坐 标的上下边。连接D、D 与横坐标交于C点。以C点为圆心，CD为半径作圆，显 然圆心C的纵坐标为零，横坐标为 0D =丄（0人+0B） =v，所以，C点即是2 2三、应力圆的应用（一）二向应力状态单元体与应力圆的对应关系1. 点面对应 应力圆上某一点的坐标值对应着单元体

12、某一截面上的正应力和切 应力值。2. 二倍角对应 单元体上任意两个斜截面的外法线之间的夹角若为 a，则对应在应力圆上代表该斜截面上应力的两点之间的圆弧所对应的圆心角必为2。3. 转向对应 应力圆半径旋转时，半径端点的坐标随之改变，对应地，单元体上 斜截面的法线亦沿相同方向旋转，才能保证斜截面上的应力与应力圆上半径端点的 坐标相对应。（二）确定单元体斜截面上的应力根据以上的对应关系，可以从作出的应力圆确定单元体内任意斜截面那个的应力值。注意上图a、b若求法线n与x轴夹角为逆时针a角的斜截面的应力 J *， 则在应力圆上，从D点也按逆时针方向沿圆周转到 E点，且使DE弧所对应的圆心 角2*，则E点

13、的坐标就代表以n为法线的斜面上的应力咕。证明：OF =0C +CEcos(2a o + 2a)=OC +CEcos2aoCOs2a -CEcos2aosin2aOF =CEsi n( 2% +2a)= CEsin2aocos2a +CEcos2aosin 2因为CE =CD一一一 j-CTyCEcos2ao = CDcos2ao = CA =2CEsin2ao =CDsin2ao =AD xy C -C b +(5所以OF = + co 犁TxySi na =cr22xya一 bx-cryF E= si i2a +TxyC02f =*这就是式(7-1)( 7-2)，证毕。（三）主应力的数值和主

14、平面的方位由于应力圆上Ai点的横坐标（正应力）最大，纵坐标（切应力）等于零，所以 Ai 代表最大主应力，即：CTmax = 0A1 = 0C + CA1同理，Bi点表示最小正应力，即：crm.OBOC-CB1。OC是应力圆的圆心横坐标，而ca1则和CBI都是应力圆的半径，则:2 r 2bmaxbminy)2 Fy在应力圆上有D点到Ai点所对圆心角为顺时针的针量取a0，这就确定了 CT max所在平面的法线位置，的是负的，2%应为负值，所以ta2% =ADCA2o，在单元体中由X轴也顺时按照关于a的符号规定，顺时针2xybx -by（四）确定最大切应力及其作用平面位置由应力圆可知，Gi和G2两点

15、的纵坐标分别代表最大和最小切应力。因为CG1和cg!都是应力圆的半径，故有bmin J 、2在应力圆上，由Ai到Gi所对圆心角为逆时针主平面的 兀/2，所以在单元体内，最 大切应力所在平面与CTmax所在主平面的夹角为逆时针的 兀/4。也可以在应力圆上直接标出主应力的方向、主平面的位置和最大切应力平面的方 向。如下图c所示，只需延长直线DA与圆周交于另一点K，连KAi，它就是与b max 所在的主平面平行的方向，连KBi，即为CT max的方向。因为D、K两点是对称于X 轴的，所以，KAi =DAi,NAiCK =NAiCD=2Go,由于 N AiBiK 和 N AQK 分别是同 一圆弧所对的

16、圆周角和圆心角，因此 NAiBiK =i（2ao）o，于是由AiK和BiK两xb max线的方向，就能画出主平面单元体，明确地表明了主平面和主应力的方向。同理， 直线KGi则与最大切应力所在的平面平行。例题：试用应力圆求出下图所示单元体在 口0=30 斜截面上的应力，主应力的大小并确定主平面的方位。 7.4广义胡克定律、广义胡克定律在第二章讨论了单向拉伸或压缩时，由各向同性材料在线弹性范围之内的应力 应变关系的实验结果，得到单向应力状态下应力与应变的关系是：、 c(a)b=Es 或 e=e此外，轴向的变形还将引起横向尺寸的变化，横向应变还可以表示VS = -V，其中，v为材料的泊松比。E在纯剪

17、切的情况下，实验结果表明，在线弹性范围之内，切应力和切应变之间 的关系是(c)T =GY 或 Y在最普遍的情况下，描述一点的应力状态需要九个应力分量，如图根据切应力互等定理，在九个应力分量中，独立的应力分量只有六个，即b x、b y J、和Txy、T xz、yz。这种普遍情况可以看做三组单向应力和三组纯剪切的组合。 对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围之内时，线应变只与单向应力有关, 而与切应力无关；切应变只与切应力有关，而与正应力无关。利用(a)(b)(c)三式求出应力分量各自对应的应变，然后进行叠加。如在Jby、CTz共同作用下得到x方向的线应变：+ 歧=空 _v-E E E同理，可

18、以求出沿y和z方向的线应变，所以有=1 匕-Vy +6)fy=右 Z -V(cr y + CTz)(7-11)=己 tz-VLy +5同时在xy、yz和zx三个面内的切应变分别为：W Y =上 7xy G ， yzG ， zx式(7-11)和式(7-12)称为一般应力状态下的广义胡克定律。 当单元体的三个主应力已知时，广义胡克定律化为 =1 匕vg + )=1 VO3)b=右43 -V(b2 +cr1)=皂-G(7-12)Y =0 Y =0xy u， yz u，其中 勺、客2、电分别为沿着正应力J、yzxby、=0S方向的主应变。二、体积胡克定律如右图所示单元体，边长分别是 dx、dy、 变形

19、前单元体体积：V = dxdydz变形后三个棱边分别为dx += (1 + 1dx)dy + .dy = (1 + .dy)dz+ 电dz = (1 + Sdz)dz。dxdy则变形后体积为Vi = (1 + 1 )(1 + 呂 2 )(1 + 3 )dxdydz展开上式，并略去含高阶微量的各项，得:y = (1 + 引 + 2 中 3)dxdydz单位体积的体积改变为(1-2V)E 01 22+%)3(1- 2v儿 1 22 + %) bm E3K3 ( 1 2 V )6+(52 +3-E ，bm =K称为体积弹性模量，bm是三个主应力的平均值。改写为其中例题2.如图所示槽形刚体，其内放置一

20、边长为a = 10mm的钢块，钢块顶面承受合力为= 8kN的均布压力作用，试求钢块的三个主应力，已知材料的弹性模量 = 200GPa，泊松比 V =0.3。2.如图所示的薄壁圆筒，壁厚6 =10mm、外径D =60mm，在表面A处与其轴线 成45和135角即xy方向分别贴上应变片。然后在圆筒两端作用外力偶矩Me，已知材料的弹性模量E=200GPa，泊松比v = 0.3，若该圆筒的变形在弹性范围之内， 且泊松比Tmax = 80MPa。试求圆筒A处的线应变J和gy以及变形后筒壁的厚度。 7.5强度理论、失效：屈服和断裂材料在静载作用下失效的形式主要有两种： 一种是断裂破坏，如铸铁在拉伸时, 没有

21、显著地塑性变形就发生突然断裂；另一种是屈服破坏，如低碳钢在拉伸时，发 生显著地塑性变形，并出现明显的屈服现象。二、强度理论:材料按某种方式（屈服和断裂），是应力、应变或变形能等因数中某一因数引 起的，无论是简单或复杂应力状态，引起失效的因数是相同的，而与应力状态无关。 引起构件失效的假定因数的理论即强度理论。三、四种常用的强度理论1、最大拉应力理论（第一强度理论）最大拉应力是引起断裂的主要因素。无论是什么应力状态，只要最大拉应力W 达到材料单向拉伸时的抗拉强度 就导致断裂。按第一强度理论建立的强度条件 为：其中，为许用应力，n为安全因数试验表明，该理论适用于解释脆性材料的受拉断裂 破坏，如铸铁

22、在单向拉伸下，断裂发生于拉应力最大的 横截面。脆性材料的扭转也是沿拉应力最大的斜截面发 生断裂。但这一理论没有考虑其他两个应力的影响， 且 对没有拉应力的状态（如单向压缩、三向压缩等）也无 法应用。2、最大拉应变理论（最大伸长线应变理论）设材料直至断裂破坏都服从胡克定律，则材料在单向拉伸至断裂时伸长线应变 极限值应为=首。按照这一理论，只要最大拉应变引达到极限值-E材料就发生 断裂。故得断裂准则为g-%引E由广义胡克定律，复杂应力状态下最大拉应变为 =右匕-g+S）代入断裂准则,bi -vd +6)=crb将bb除以安全因数的许用应力b ,按照第二强度理论建立强度条件是W _V(O2 十口 t

23、 根据最大拉应变理论建立的强度条件只适应于材料直至断裂破坏都服从胡克 定律的情况。该理论与石料、混凝土等脆性材料受轴向压缩时沿垂直于压力的方向 开裂的现象是一致的。并且铸铁在拉-压二向应力，且压应力较大的情况下，试验结 果也与这一理论一致。3、最大剪应力理论(第三强度理论)这一理论认为最大切应力是引起屈服的主要因素。即认为无论什么应力状态， 只要最大切应力达到材料的某一极限值，材料发生屈服。该极限值就是试件在单向 拉伸试验中达到屈服时，与轴线成45为勺斜截面上的最大切应力，即 任意应力状态下最大切应力T max =出巴，又2 2 2将bs除以安全因数得到许用应力 b,按照第三强度理论建 立的强

24、度条件是试验表明，该理论与塑性材料出现塑性屈服的实验现象 相吻合。但该理论未考虑中间主应力 b2对材料屈服的影响， 且按照该理论计算的结果和试验结果相比是偏于安全的。4、形状改变比能理论(第四强度理论)这一理论认为形状改变比能(畸变能)密度是引起屈服的主要因素。 的极限值是通过单向拉伸实验求得。材料在单向拉伸下屈服时正应力为1 +v _2畸变能密度为 (2bs)。在任意应力状态下，只要畸变能密 度达到 6E畸变能企，相应的仝bS)6ES 丿，故得屈服准则为bd在任意应力状态下,二2对。6E1 +v6EG -G2 +(cr2 -ct) (3 -S)2便引起材料的屈服。27整理后的屈服准则为1 S

25、)2(2 2 F2 +2 3bi)2s把耳除以安全因数的许用应力 b,于是按第四强度理论得到的强度条件是：1 -&2)2 ( 2-巳)2 ( 3-&1)2氏 k 试验表明，该理论对于塑性材料如钢、铜、铝的薄管试验结果能较好吻合，且 比第三强度理论更能符合试验结果。把四个强度理论的强度条件写成以下统一形式：6兰】式中，fer为材料的许用应力；CTr为复杂应力状态下按不同强度理论，由三个 主应力按一定形式组合而成的应力值，称为相当应力。=6=6 -V（b2 +6）=W dg从第一强度理论到第四强度理论的顺序，相当应力分别为：662%二1 (cT r -2)2 +(cr 2 -6)2 +(cr 3

26、-crj2 V2J这些强度理论均仅适用于常温、静载条件下的均质、连续、各项同性的材料。 一般情况下，对于铸铁、石料、混凝土、玻璃等脆性材料，破坏通常表现为断裂的 形式，故对脆性材料宜采用第一和第二强度理论。对于碳钢、铜、铝等塑性材料， 破坏时通常表现屈服的形式，因此对于塑性材料宜采用第三和第四强度理论。即使是同一材料，其破坏形式也会随应力状态的不同而不同。例如，低碳钢材 料的试件在单向拉伸下以屈服的形式失效，但在三向拉伸应力状态下，且三个主应 力值接近时，发生脆性断裂。又如，铸铁单向受拉时以断裂的形式失效，但将淬火 后的钢球压在铸铁板上，接触点附近的材料处于三向受压状态，随着压力的增大， 铸铁

27、板会出现明显的凹坑，引起塑性变形。以上例子说明材料的失效形式是与应力 状态有关的。无论是塑性或是脆性材料，在三向拉应力相近的情况下，都以断裂的 形式失效，宜采用第一或第二强度理论。在三向压应力相近的情况下，都可以引起 塑性变形，宜采用第三或第四强度理论。例题1.由Q235钢制成的两端封闭的圆柱形薄壁容器，外径 D=1m，壁厚6 =10mm , 容器内承受蒸汽内压p=3MPa, Q235钢的许用应力为&】=160MPa ,试校核该容器 壁的强度。解：(1)圆筒横截面上的正应力b2jiD2沿取其上部2511 - pID =063x10 Pax1m“仆=2 = 150 MPa2咒1x10 m于是得到

28、二薄壁圆筒满100kN100kNA1Cp1D rB9.55卓130P6,F 4 PD 3x10Pax1m ”一CT= 一 = =2 = 75M P aA;rD6464x1x10 m(2)圆筒纵向截面上的应力匚”由圆筒及其受力的对称性可知，所有过圆筒轴线的纵向截面都是对称面，纵向 截面上切应力为零，只有正应力bX由于圆筒壁厚远小于直径，可认为正应力 壁厚均匀分布。现从圆筒中取出一端相距 I的圆环，并沿直径方向截开， 分，由平衡条件得：i PD2在圆筒壁上任取一点A周围截取单元体，忽略内壁的压强P作用, 向应力状态，并且b”和L皆为主应力。円=cr =150MPaCT2 = CT = 75M P a(3)强度校核r3用第三强度理论进行校核：J =6=150-0=150MP ad0-8m4最大正应力发生在C、D截面的上下边缘各点，其值为：M maxVmax100 汉10 咒16 咒 10CJmax I；11075.5x10满足正应力强度条件。(3)校核切应力强度计算横截面上中性轴以下面积对中性轴2-=144.5MPa M03x298x10= = 28.3 MPaIzb11075.5咒 10 咒 0.95x10/其中Sz是截面的下翼缘面积对中性轴的静矩，S； =13.0咒10咒1.50咒10 -14.5 +15)10, =29