探究圆锥曲线中离心率的问题

1、探究圆锥曲线中离心率的问题探究圆锥曲线中离心率的问题离心率是圆锥曲线中的一个重要的几何性质，在高考中频繁出现，下面给同学们介绍常用的四种解法。一、直接求出一、直接求出 a、c，求解，求解 e已知标准方程或 a、c 易求时，可利用离心率公式来求解。ace 例例 1. 过双曲线 C：的左顶点 A 作斜率为 1 的直线 ，若 与双曲线 M 的两条渐)0b( 1byx222ll近线分别相交于点 B、C，且|AB|=|BC|，则双曲线 M 的离心率是（ ）A. B. C. D. 10531025分析：这里的，故关键是求出，即可利用定义求解。1b，c1a22b解：易知 A（-1，0） ，则直线 的方程为。

2、直线与两条渐近线和的交点分l1xybxybxy 别为 B、C，又|AB|=|BC|，可解得，则故有，)1bb,1b1()1bb,1b1(9b210c 10ace从而选 A。二、变用公式，整体求出二、变用公式，整体求出 e例例 2. 已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为（ )0b, 0a ( 1byax2222x34y ）A. B. C. D. 35344523分析：本题已知，不能直接求出 a、c，可用整体代入套用公式。ab34解：由（其中 k 为渐近线的斜率） 。这里，22222222k1ab1abaabaace34ab则，从而选 A。35)34(1ace2三、第二定义法三、第二定

3、义法由圆锥曲线的统一定义（或称第二定义）知离心率 e 是动点到焦点的距离与相应准线的距离比，特别适用于条件含有焦半径的圆锥曲线问题。例例 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为 1，则该椭圆2的离心率为（ ）A. B. C. D. 2222142解：由过焦点且垂直于长轴的弦又称为通径，设焦点为 F，则轴，知|MF|是通径的一半，xFM 则有。由圆锥曲线统一定义，得离心率，从而选 B。22|MF|22d|MF|e四四. 构造构造 a、c 的齐次式，解出的齐次式，解出 e根据题设条件，借助 a、b、c 之间的关系，构造出 a、c 的齐次式，进而得到关于 e 的方程，

4、通过解方程得出离心率 e 的值，这也是常用的一种方法。例例 4. 已知、是双曲线的两焦点，以线段 F1F2为边作正，若1F2F)0b, 0a ( 1byax222221FMF边的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ）1MFA. B. C. D. 324 13 213 13 解：如图，设的中点为 P，则点 P 的横坐标为，由，由焦半11MF, c|OF|2cc|FF|21|PF|211径公式，即，得，有，解得aex|PF|p1a)2c(acc0ac2a2c2202e2e2（舍去） ，故选 D。31e, 31e练一练练一练设椭圆的两个焦点分别为 F1、F2，过 F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点 P

5、，若为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是（ 21PFFD ）A. B. C. 22212 22 D. 12 解：由222222221021bPFcacacaeee 化为齐次式高考试题分析高考试题分析1.（2009 全国卷）设双曲线22221xyab（a0,b0）的渐近线与抛物线 y=x2 +1 相切，则该双曲线的离心率等于( C )（A）3 （B）2 （C）5 （D）6 解：渐进线的斜率与抛物线切线的斜率相等。设切点00(,)P xy，则切线的斜率为00|2x xyx.由题意有0002yxx又2001yx，解得: 2201,2,1 ( )5bbxeaa .由题双曲线222200 xyabab1

6、，的一条渐近线方程为abxy ，代入抛物线方程整理得02 abxax，因渐近线与抛物线相切，所以0422 ab，即5522 eac，2.（2009 浙江理）过双曲线22221(0,0)xyabab的右顶点A作斜率为1的直线，该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为,B C若12ABBC ，则双曲线的离心率是 ( )A2 B3 C5 D10答案：C 【解析】对于,0A a，则直线方程为0 xya，直线与两渐近线的交点为 B，C，22,(,)aabaabBCab ababab，22222222(,),a ba bababBCABababab ab ，因此222,4,5ABBCabe 3.（2009

7、浙江文）已知椭圆22221(0)xyabab的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BFx轴， 直线AB交y轴于点P若2APPB ，则椭圆的离心率是（ ）A32 B22 C13 D12 【解析】对于椭圆，因为2APPB ，则12,2 ,2OAOFace 4.(2009 山东卷理)设双曲线12222byax的一条渐近线与抛物线 y=x2+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ). A. 45 B. 5 C. 25 D.5【解析】:双曲线12222byax的一条渐近线为xaby ,由方程组21byxayx,消去 y,得210bxxa 有唯一解,所以=2( )40ba,所以2ba,2221 (

8、 )5cabbeaaa,故选 D5.（2009 安徽卷理）下列曲线中离心率为62的是 （A）22124xy （B）22142xy （C）22146xy （D）221410 xy 解析由62e 得222222331,1,222cbbaaa，选 B6.（2009 江西卷文）设1F和2F为双曲线22221xyab(0,0ab)的两个焦点, 若12FF，(0,2 )Pb是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 A32 B2 C52 D3【解析】由3tan623cb有2222344()cbca,则2cea,故选 B.7.（2009 江西卷理）过椭圆22221xyab(0ab)的左焦点1F作x轴的垂线交椭

9、圆于点P，2F为右焦点，若1260FPF，则椭圆的离心率为 A22 B33 C12 D13 【解析】因为2(,)bPca，再由1260FPF有232 ,baa从而可得33cea，故选 B8.（2009 全国卷理）已知双曲线222210,0 xyCabab：的右焦点为F,过F且斜率为3的直线交C于AB、两点，若4AFFB,则C的离心率 (A) A65 B. 75 C. 58 D. 959. （2008 福建理 11）双曲线（a0,b0）的两个焦点为F1、F2,若 P 为其上一点，且22221xyab|PF1|=2|PF2|,则双曲线离心率的取值范围为（B）A.(1,3)B.C.(3,+)D.1,

10、33,利用第二定义及焦半径判断0 xa10.（2008 湖南理 8）若双曲线（a0,b0）上横坐标为的点到右焦点的距离大于它22221xyab32a到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B )A.(1,2) B.(2,+) C.(1,5) D. (5,+)解析：利用第二定义22233(),352022aaaaeeecc-+-整理得11.（2008 江西理 7）已知1F、2F是椭圆的两个焦点，满足120MF MF 的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是（C）A(0,1) B1(0, 2 C2(0,)2 D2,1)2解析：满足120MF MF 的点M总在椭圆内部，所以 c17.（20

11、07 全国 2 理）设12FF，分别是双曲线2222xyab的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使1290F AF且123AFAF，则双曲线的离心率为（ B ）A52B102C152D5解12222212222102()()(2 )10AFAFAFacaeAFAFc-=+= 18（07 全国 2 文） 已知椭圆的长轴长是短轴长的 2 倍，则椭圆的离心率等于（ D ）ABCD1333123219（07 江苏理 3） 在平面直角坐标系中，双曲线中心在原点，焦点在轴上，一条渐近线方程xOyy为，则它的离心率为（A）20 xyA B C D55232（注意焦点在轴上）y20设12FF，分别是椭圆2222

12、1xyab（0ab）的左、右焦点，若在其右准线上存在,P使线段1PF的中垂线过点2F，则椭圆离心率的取值范围是（ D ）A202，B303，C212，D313，2232323acacccec+=21（07 湖南文） 设12FF，分别是椭圆22221xyab（0ab）的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为3c（c为半焦距）的点，且122| |FFF P，则椭圆的离心率是（ D ）A312B12C512D2222（07 北京文 4） 椭圆22221(0)xyabab的焦点为1F，2F，两条准线与x轴的交点分别为MN，若12MNFF，则该椭圆离心率的取值范围是（D）102，202，112，212，23

13、.（2009 重庆卷文）已知椭圆22221(0)xyabab的左、右焦点分别为12(,0),( ,0)FcF c，若椭圆上存在一点P使1221sinsinacPFFPF F，则该椭圆的离心率的取值范围为 【答案】21,1. 解法 1，因为在12PFF中，由正弦定理得211221sinsinPFPFPFFPF F则由已知，得1211acPFPF，即12aPFcPF设点00(,)xy由焦点半径公式，得1020,PFaex PFaex则00()()a aexc aex记得0()(1)()(1)a caa exe cae e由椭圆的几何性质知0(1)(1)a exaae e 则，整理得2210,ee

14、解得2121(0,1)eee 或，又，故椭圆的离心率( 21,1)e24.(2009 湖南卷理)已知以双曲线 C 的两个焦点及虚轴的两个端点为原点的四边形中，有一个内角为 60 o，则双曲线 C 的离心率为62【解析】连虚轴一个端点、一个焦点及原点的三角形，由条件知，这个三角形的两边直角分别是, (b c b是虚半轴长，c是焦半距)，且一个内角是30，即得tan30bc，所以3cb，所以2ab，离心率3622cea25.（2008 全国一理 15）在ABC中，ABBC，7cos18B 若以AB，为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的离心率e 382626（20102010 辽宁文数）辽宁文数）设双曲

15、线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（A）2 （B）3 （C）312 （D）512x轴上，设其方程为：22221(0,0)xyabab，则一个焦点为( ,0), (0, )F cBb一条渐近线斜率为：ba，直线FB的斜率为：bc，()1bbac ，2bac220caac，解得512cea.27（2010 四川理数）四川理数） （9）椭圆22221()xyabab 的右焦点F，其右准线与x轴的交点为 A，在椭圆上存在点 P 满足线段 AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（A）20,2 （B）10,2 （C） 2 1,1

16、 （D）1,12解析：由题意，椭圆上存在点 P，使得线段 AP 的垂直平分线过点F，即 F 点到 P 点与 A 点的距离相等而|FA|22abccc ， |PF|ac,ac，于是2bcac,ac即 acc2b2acc2222222accacacacc1112caccaa 或 又 e(0,1)故 e1,12答案：D28（20102010 广东文数）广东文数）7.若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A.54 B.53 C. 52 D. 51（20102010 全国卷全国卷 1 1 文数）文数）(16)已知F是椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交C

17、于点D， 且BF2FDuu ruur，则C的离心率为 .33【命题意图】本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识，考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：“数研究形，形助数” ，利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.【解析 1】如图，22|BFbca,作1DDy轴于点 D1,则由BF2FDuu ruur，得1|2|3OFBFDDBD,所以133|22DDOFc,即32Dcx ,由椭圆的第二定义得2233|()22accFDeaca又由| 2|BFFD,得232,caaa33e【解析 2】设椭圆方程为第一标准形式22221xyab，设22,D xy，F 分 BD 所

18、成的比为 2，22223022333 0;122212222ccccybxbybbxxxc yy ，代入222291144cbab，33e（20102010 全国卷全国卷 1 1 理数）理数）xOyBF1DD（2010 辽宁理数）辽宁理数）(20)（本小题满分 12 分）设椭圆 C：22221(0)xyabab的左焦点为 F，过点 F 的直线与椭圆 C 相交于 A，B 两点，直线 l 的倾斜角为 60o,2AFFB .(I)求椭圆 C 的离心率；(II)如果|AB|=154，求椭圆 C 的方程.解：设1122( ,), (,)A x yB xy，由题意知1y0，2y0.（）直线 l 的方程为

19、3()yxc，其中22cab.联立22223(),1yxcxyab得22224(3)2 330abyb cyb解得221222223(2 )3(2 ),33b cab cayyabab因为2AFFB ，所以122yy.即 2222223(2 )3(2 )233b cab caabab得离心率 23cea. 6 分（）因为21113AByy，所以22224 315343abab.由23ca得53ba.所以51544a ，得 a=3，5b .椭圆 C 的方程为22195xy. 12 分（2010 全国卷全国卷 2 文数）文数） （22） （本小题满分 12 分）已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线

20、 C：22221(0,0)xyabab相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为M（1.3）（） （）求 C 的离心率；（） （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆与 x 轴相切。【解析解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。（1 1）由直线过点（）由直线过点（1 1，3 3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为（两点的中点为（1 1，3 3） ，可利用，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,BA,B 的关系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。（2 2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|