有理数及其运算知识点及练习.

1、一对一授课讲义授课科目学生姓名授课教师授课时间授课内容有理数及其运算知识点 1：有理数的概念及其分类（ 1）整数可以分为正整数，零，负整数（ 2）分数可以分为正分数和负分数（ 3）整数和分数统称为有理数例 1. 把下列各数填入相应的大括号内0.05,1,-5 ,-126,72.1,0,-12, 5 ,+729,-628,-33 ,3. 14 ,-1000.0133248（1）正整数集合：（）（2）负分数集合：（）（3）整数集合：（）（4）非负数集合：（）知识点 2：数轴(1) 数轴的 三要素：原点、正方向、单位长度（三者缺一不可） 。(2) 任何一个有理数，都可以用数轴上的 一个点来表示。（反

2、过来，不能说数轴上所有的点都表示有理数）(3) 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。（0 的 相反数是 0）(4) 在数轴上，表示互为相反数的 两个点，位于原点的侧，且到原点的距离相等。(5) 数轴上两点表示的数，右边的总比左边的大。正数在原点的右边，负数在原点的左边。例 1. 如果数a 和b 在数轴上的位置如图所示，那么下列式子中成立的是（）（） a b （） a b （ab 0 （）a0b0ab例 2. 已知 a 是最小的正整数， b 的相反数还是它本身， c 比最大的负整数大3，计算1 （2a+3c）b 的值基 知识点 3：绝对值础 1

3、. 绝对值的定义：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离。数 a知的绝对值记作 |a| 。识 2. 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的数；0 的绝对值是 0。2a(a0)a(a0)| a | 0( a0)或| a |0)a(a0)a(a越来越大-3-2-10123题 3. 绝对值的性质：除 0 外，绝对值为一正数的数有两个，它们互为相反数；互为相反型 数的两数（除 0 外）的绝对值相等；任何数的绝对值总是非负数，即|a| 0讲 4. 比较两个负数的大小，绝对值大的反而小。比较两个负数的大小的步骤如下：解 先求出两个数负数的绝对值；比较两个绝对值的大小；根据“两个负数，

4、绝对值大的反而小”做出正确的判断。5. 绝对值的性质：对任何有理数a，都有 |a| 0；若 |a|=0 ，则 |a|=0 ，反之亦然；若 |a|=b ，则a=±b；对任何有理数a, 都有 |a|=|-a|例 1. 实数 a，b 在数轴上的位置如图所示，则化简代数式aba 的结果为（）b 0a例 2.绝对值最小的数是（）例 3.3 =（）例 4.若 a3，则 a=（）例 5.已知 a3b 30, 求 ab 的值。ab例 6. 已知 x=8，y=-4 ，求 x2 y的值知识点 4：有理数的加法 有理数加法法则： 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加。异号两数相加，绝对值相等时和为 0

5、；绝对值不等时取绝对值较大的数的符号，并用较大数的绝对值减去较小数的绝对值。一个数同 0 相加，仍得这个数。 加法的交换律、结合律在有理数运算中同样适用。灵活运用运算律，使用运算简化，通常有下列规律：互为相反的两个数，可以先相加；符号相同的数，可以先相加；分母相同的数，可以先相加；几个数相加能得到整数，可以先相加。例 1. 下列结论不正确的是（）A. 若 a0，b0，则 a+b0B.若 a0，b0，则 a+b 0C.若 a0，b0，则 a b ，则 a+b0 D. 若 a0，b0，且 a b ，则 a+b0例 2. 已知 a 的相反数是 3 ，b 的绝对值为 4，c 是最大的非正数，求a+b+

6、c 的值。5例 3. 已知 a =5， b =6，且 ab，求 a+b 的值知识点 5：有理数的减法 有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数。有理数减法运算时注意两“变”：改变运算符号；改变减数的性质符号（变为相反数）有理数减法运算时注意一个“不变”：被减数与减数的位置不能变换，也就是说，减法没有交换律。例1.若xy=0，则 ()Ax=yBx=-yCx=y=0Dx=y或x=-y例 2. a =5， b =8 且 a b =- （a+b）求 a-b 的值abcabc 的值。例 3. 思考题已知 a，b，c 都是有理数，且满足b1，求代数式acabc知识点 6：有理数的混合运算有理数的

7、加减法混合运算的步骤：写成省略加号的代数和。在一个算式中，若有减法，应由有理数的减法法则转化为加法，然后再省略加号和括号；利用加法则，加法交换律、结合律简化计算。 （注意：减去一个数等于加上这个数的相反数，当有减法统一成加法时，减数应变成它本身的相数。）例 1. 已知 a =3， b =1， c5 ，且 abab, ac(ac) ，求 a-b+c 的值例 2. 若数轴上的三个点 A，B，C表示的数分别为 a，b，c 且点 c 在点 A，B，之间，试说明 a cc ba b知识点 7：有理数的乘法有理数乘法法则： 两数相乘，同号得正，异号得负，绝对值相乘。任何数与 0 相乘，积仍为 0。如果两个

8、数互为倒数，则它们的乘积为 1。 乘法的交换律、结合律、分配律在有理数运算中同样适用。有理数乘法运算步骤：先确定积的符号；求出各因数的绝对值的积。乘积为 1 的两个有理数互为倒数。注意：零没有倒数求分数的倒数，就是把分数的分子分母颠倒位置。一个带分数要先化成假分数。正数的倒数是正数，负数的倒数是负数。例1.已知a 与b 互为相反数，x 与y 互为倒数，c 的绝对值等于2，求abxy1 c 的23值例 2. 已知： a 与 b 互为相反数， x 与 y 互为倒数， m =5，求： m（a+b）+xy-2m知识点 8：有理数的除法有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。

9、0 除以任何非 0 的 数都得 0。0 不可作为除数，否则无意义。例 1.已知 a，b 互为相反数， c，d 互为倒数， m3,求 - 4 ab m - cd9例 2.用字母 x，y，z 表示任一数，若 x 0， y 0，则 x （）0yzz例 3.已知非零的有理数 a，b，c，满足 abc1,则 abc （）abcabc知识点 9：有理数的乘方n个aa aaaan指数 有理数的 乘方底数幂注意：一个数可以看作是本身的 一次方，如 5=51；当底数是负数或分数时，要先用括号将底数括上，再在右上角写指数。乘方的运算性质：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；任何数的偶数

10、次幂都是非负数； 1 的任何次幂都得 1，0 的任何次幂都得 0；-1 的偶次幂得 1；-1 的奇次幂得 -1 ；在运算过程中，首先要确定幂的符号，然后再计算幂的绝对值。例 1. （1）已知： x 5 ( y 6)20, z216,2008z 的值求（ x - y）（2）已知 x3 ，y 的平方等于16，求 x2y 2 的值例 2. 若 x2( 4) 2 , y 3( 2)3 , a2 ，求代数式 5x+4y-2a 的值5知识点 10：有理数的混合运算及科学记数法有理数混合运算法则：先算乘方, 再算乘除 , 最后算加减。如果有括号 , 先算括号里面的。科学记数法： 一般地，一个大于 10 的

11、数可以表示成a×10n 的形式，其中 1a<10，n 是正整数，这种记数方法叫做科学记数法。例 1. （1）（-10 2)53 1 5( 4)539399（2）112211222353（3）279912311241123412例 2. 已知 a，b 互为相反数， c，d 互为倒数， m24,求 abm - a b 2008cd 2009 的值cd例 3. 已知 a 1 (b 2)20, c3, 求（ a5的值b） - 4c例 4. 若（ a+1） 2 (2b 3) 2c 10, 求 aba c 的值3cb例 5. 用科学记数法表示下列各数（1）579 900 000（2）5 9

12、00000 000（3）350 000 000（4）0.000005 13把下列各数填入分别填在相应的大括号内1.1,- 4 ,8.9,5 ,-3.2,+1008, ,-0.05,0,-9,2856正整数集合：（）负整数集合：（）正分数集合：（）负分数集合：（）3 2. 在数轴上距离原点为2 的点所对应的数为（），它们互为（）3. 已知 m与 n 互为倒数， a 与 b 互为相反数， c 的绝对值为 3，求 amn-5c+b的值随堂4. 1 -7×22192222757练710.5123 2(2)-14习711212(3)-321 92 33335.4课后作业13 690 00020

13、.0973300 000 0001.-1 4.3 +72 01-1257 26 1223 -6.46 26347 .2.3.02-1 01-1 012 34.abb0a（）ab（）a b （）ab 0 （）a0b5.如果 aa ，那么a 是，如果 aa ，那么a 是6.若a ，则 a；若a ，则 a 17.设a1，b1 ， c 是的相反数，则a, b, c 的大小关系是（）（） abc（） ab c（） a b c（） a b c8.若一个数a 的绝对值是，且a 在数轴上的位置如图所示，试求a 的相反数a0 19. 若a2 ，给出下面4 个结论：aa ；aa ； 1a ； 1a 其中不正确的有

14、aa10.若 m 1 m1，则m1 ；若 m 1m 1，则m1 ；若 x4 ，则x；若 x1 ，则x2b0a c11.已知 a2,b2,c3，且有理数在数轴上的位置如图所示，计算b c的值a, b, ca12.已知 x5， y3，且 x yx y ，求 xy 的值13.若 a3 , b2 ,则 ab14.（1）若m0 , n 0 ，则m n0；（2）若m 0 , n0，则m n（3）若a0 , b 0 ，且 ab ，则a b0；（4）若a0 , b 0 ，且 ab ，则a b015.已知ab0 ，且a0b ，则 ab 16.已知 a2b 30 ，则 ab 的相反数是17.若a ,bc , d互为倒数，则 a b2a bcdcd互为相反数，0；18.(1)111111112334200720082(2).41311；3 5 0.125537827(3). 01211612773a 0 , b 0，那