浙江省名校协作体2020届高三数学上学期第一次联考试题

1、浙江省名校协作体2020 届高三数学上学期第一次联考试题（含解析）参考公式：柱体的体积公式：锥体的体积公式：台体的体积公式：表示台体的高；V Sh，其中 S表示柱体的底面积， h 表示柱体的高；1v sh ，其中 S 表示锥体的底面积， h 表示锥体的高；31VS1S1S2S2 h ，其中 S1 ， S2 分别表示台体的上、下底面积，h3球的表面积公式： S 4 R2 ，球的体积公式： V4R3 ，其中 R表示球的半径；3如果事件 A，B 互斥，那么 P ( A B)P( A)P(B) ；如果事件 A，B 相互独立，那么 P( AB)P(A) P( B) ；如果事件 A在一次试验中发生的概率是

2、p，那么 n 次独立重复试验中事件A 恰好发生 k 次的概率 Pn (k) Cnk pk (1 p) n k (k 0,1,2, n)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 M x | x 0 ， N x | 1x, 2 ，则CRMN 等于（）A.(1,)B. (0,1)C.( 1,0D. ( 1,1)【答案】 C【解析】【分析】先求得 M 的补集，然后求补集与N 的交集 .【详解】依题意可知CRM(,0 ，所以 CR MN1,0 ，故选 C.【点睛】本小题主要考查集合补集、交集的概念和运算，属于基础题.2. 设 i 为虚数单位，z 表示复数 z 的共轭

3、复数，若z1i ，则 z z（）zzA.iB. 2 iC.1D. 1【答案】 A【解析】【分析】- 1 -先求得 z ，然后利用复数减法、除法、乘法的运算，化简所求表达式.z z12 -i 21i【详解】依题意z 1 i ，故2ii ii ，故选 A.z zi【点睛】本小题主要考查共轭复数的概念，考查复数乘法、除法、减法运算，属于基础题.3. 若函数 f ( x)2x22ax b 的图象总在 x 轴上方，则（）A.ab 2B.a1b2C.a1D.a12b2b44【答案】 D【解析】【分析】根据二次函数图像总在x 轴上方，利用特殊点的函数值，求出正确选项.【详解】由于二次函数图像总在11ab 0

4、 ，化简得 2 2b1x 轴上方，故 f82，故44选 D.【点睛】本小题主要考查二次函数的图像与性质，属于基础题.x1,4. 已知 x ， y 满足约束条件 xy2, 若 2xy m 恒成立，则 m 的取值范围是（）x3 y0,A. m 3B. m 377C. mD. m23【答案】 D【解析】x1,作出满足约束条件xy2, 的可行域如图所示：x3y0,- 2 -平移直线172x y 0 到点 A(1, ) 时， 2xy 有最小值为33 2x ym 恒成立7 m(2 xy)min ，即 m3故选 D点睛：线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想. 需要注意的是：一、准确无误地作出可

5、行域；二、画标准函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三、一般情况下，目标函数的最大或最小会在可行域的端点或边界上取得.5. 已知函数f ( x)x x2x ，则下列结论正确的是A.f (x) 是偶函数，递增区间是0,B.f (x) 是偶函数，递减区间是(,1)C. f (x) 是奇函数，递减区间是D. f (x) 是奇函数，递增区间是【答案】 C【解析】1,1,0将函数 f(x) x|x| 2x 去掉绝对值得x22x, x0，画出函数 f(x)的图像， 如图，f(x) 22x, xx0观察图像可知，函数f(x) 的图像关于原点对称，故函数f(x)为奇函数，且在

6、 ( 1,1) 上单调递减- 3 -6. 已知平面 与平面交于直线 l ，且直线 a，直线 b，且直线 a，b，l不重合，则下列命题错误的是（）rrl B. 若， brrA. 若， ab ，且 b 与 l 不垂直，则 al ，则 abrrl ，且 a 与 l 不平行，则D. 若 al ， bl ，则C. 若 ab ， b【答案】 D【解析】【分析】根据面面垂直、线面垂直有关定理，对四个选项逐一分析，由此得出命题错误的选项.【详解】根据面面垂直的性质定理可知，A,B 两个选项命题正确. 对于 C 选项，根据线面垂直的判定定理可知b平面，由于 b，所以，故 C 选项命题正确 . 对于 D选项，命题

7、不满足面面垂直的判定定理，,可以不垂直，故D 选项错误 . 综上所述，本小题选D.【点睛】本小题主要考查线面垂直、面面垂直有关定理的运用，考查逻辑推理能力，属于基础题 .7. 已知等比数列an11115，则中 a51 ，若 a2a4a6a8a2a4a6a8（）A. 4B. 5C. 16D. 25【答案】 B【解析】【分析】11115，由此求得表达式的值 .根据已知化简a4a6a8a2q3q1153115 ， 而【详解】依题意得a5a5a5q a5q3， 即q q3q q- 4 -a2 a4 a6 a8a5a5a5q a5 q3q3115 .q3qqq3q【点睛】本小题主要考查等比数列通项基本量

8、计算，属于基础题 .8. 已知 a，b 为实数，则 “不等式 | axb |1对任意 x R 成立 ” 是 “ |a |1且 |b |1 ” 的（）A. 充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】 A【解析】【分析】将两者相互推导，根据相互推导的结果判断充分、必要性，由此得出正确选项.【详解】当 | axb |1时，1axb1，令 x 0 得1 b1 即 b1，令 x1b，a1bb1，即1 a1 ，也即 a 1 ，故 | a |1 且 |b |1. 当 “ | a | 1 且 | b |1”a 1a时，不妨设 ab 1，此时 axbx11 对任意 xR

9、 不恒成立 . 综上所述， “ 不等式| axb | 1对任意 xR 成立”“| a |的1且|b|1”A.充分不必要条件，故选【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值不等式，属于中档题.9. 已知正数 a， b 满足 ab2 (a b)4，则 2ab 的最小值为（）A. 12B. 8C.22D.3【答案】 C【解析】【分析】根据 ab 2 ( a b)4 解出 a ，代入2ab ，然后利用基本不等式求得最小值 .【详解】由 ab2 (ab) 4 ，得 b2 a2b3a 40 ，依题意，这个方程有解，且a0 ，故解是-5-得 ab2b416 ， 所 以 2a bb4 16b216

10、2 b2 162 2.此时2bbb2b2a222,b2 . 故选 C.【点睛】本小题主要考查一元二次方程的根，考查基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.2210. 已知椭圆 : x2y2 1(a b0) 内有一定点 P(1,1)，过点 P 的两条直线 l1 ， l2 分别与椭圆abuuuruuur uuruuur交于 A、C和 B、D两点，且满足变化时，直线 CD的斜率APPC，BPPD ，若总为1的离心率为（），则椭圆4A.31C.2D.52B.225【答案】 A【解析】【分析】设出 A, B, C , D 四点的坐标，将A, B 两点坐标代入椭圆方程并化简，同理将C

11、, D 两点坐标代1b2入椭圆方程并化简，根据kABkCD的值，进而求得化简上述两个式子，由此求得4a2椭圆离心率 .A x1, y1 , B x2 , y2, Cx2 , y2 , Dx2 , y2,因为 P 1,1uuuruuur【详解】设，且 APPC ，所以x1x31x2x41y1y31， 同 理y4. 将 A,B两点坐标代入椭圆方程并化简得y21b2 x1x2x1x2a2 y1y2y1y20 ，即 b2 x1x2a2 y1y2kAB0 ，同理 b2x3x4a2y3y4 kCD0uuuruuuruuruuurkCD1，由于 APPC ，BPPD ，所以 kAB，4b2 x1x2a2 y

12、1y210b2 x1x2a2 y1y210即4，即4，两11b2 x3x4a2 y3y40b2x3x4a2y3y4044- 6 -式相加得b2 x1x3 x2x4a2y1y3 y2y40，即4a20 ，所以 b21 ，所以2b2 222 2e1b33 ，故选 A.4a24a42【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查定比分点坐标公式，考查点在曲线上的运用，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，考查椭圆离心率的求法，难度较大，属于难题 .二、填空题。11. 计算：14_， log 4 2 2log2 3 1_842【答案】(1). 2(2). 2【解析】【分析】利用指数运算公式

13、、对数运算公式对所求表达式进行化简.【详解】（ 1）原式113123 4242442 ；1 log 2313（ 2）原式 log 22 22log 2 3log 2 22 2log 2 22 .222【点睛】本小题主要考查指数运算公式，考查对数运算公式，考查运算求解能力，属于基础题 .- 7 -12. 设函数f ( x)cos2 xsin x ，则 f5_，若 f (x)0，则实数 x 的取值范围6是 _【答案】(1).0(2).2k 7, 2k ( kZ )66【解析】【分析】5根据特殊角的三角函数值计算出f ，利用二倍角公式， 结合一元二次不等式的解法， 求 6得 x 的取值范围 .【详解

14、】依题意f5cos 5 sin 5 110 .f (x)cos2 xsin x2sin 2 xsin x 1 ， 令63622tsin x1,1，则函数变为 y2t 2t1 t1,1，画出函数图像如下图所示，由图可 知 y2t 2t 1 0的 解 集为1t1， 即1 sin x1， 解 得22x72k, 2k(k Z ) .66- 8 -【点睛】本小题主要考查特殊角的三角函数值，考查二倍角公式，考查二次函数图像与性质，考查一元二次不等式的解法，考查三角不等式的解法，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.13. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体中的最长的棱长等于_；该几何体的体积为_【答案

15、】(1).2 2(2).3 (8)6- 9 -【解析】分析】根据三视图判断出组合体的结构特征，并由此计算出最长的棱长，并求得几何体的体积.【详解】由三视图可知，该几何体是由半个圆锥和一个四棱锥组合而成. 其中半圆锥的母线长为 13 2，四棱锥的底面为正方形， 且边长为2 ，四条侧棱， 其中两条长度为13 2 ，另外两条长度为1 4 38 2 2.所以几何体最长的棱长为2 2.体 积 为1 1 123122 33 4 33 8 .233636点睛】本小题主要考查三视图还原为原图，考查圆锥，棱锥体积计算，属于基础题.14. 已知点 P 在椭圆 C : x2y21 上，点 Q，R分别在圆 O1 :

16、( x 1)2y21和圆43O2 : ( x1)2y21上运动，若过点 P 存在直线 l 同时与两圆相切，这样的点P的个数为；当点 P在椭圆上运动，则|PQ| PR |的最大值为 _【答案】(1).6(2).6【解析】【分析】画出图像，根据圆O1 和圆 O2 公切线的情况，确定P 点的个数 . 将 | PQ | PR |的最大值，转化为 PO11PO21来求解 .【详解】椭圆 a2, b3, c1，圆 O1 的圆心为 O1 1,0 ，为椭圆的左焦点，半径为 1，圆 O2 的圆心为 O21,0，为椭圆的右焦点，半径为1. 画出椭圆和圆的图像如下图所示，由图可知，两个圆外切， 公切线为 y1, y

17、1,x0 ，这三条切线与椭圆相交于A, B,C, D, E, F6个点，当 P 位于这 6 个点时，过点P 存在直线l 同时与两圆相切 . | PQ | PR |的最大值为| PQ |max| PR |maxPO11PO21PO1PO2 2，根据椭圆的定义可知PO1PO2 22a26 .-10-【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和几何性质，考查两个圆外切的公切线，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.15. 已知数列an 为等差数列，公差为d ( d 0) ，且满足 a3a4 2a4 a6 a5a122019d ，11_ 则a6a5【答案】42019【解析】【分析】11根据等差数列的通项公式化

18、简已知条件，化简后求得的值 .a5 a6【详解】由于等差数列公差为d ，故由 a3a42a4a6a5a12 2019d 得a5 2d a6 2d 2 a5d a5 d a5a6 6d2019d-11-4a5 a62019 a6 a5 ，依题意 a6 a5 da6 a540 ，故上式可化为，即a5a62019114a5a6.2019【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算，考查化归与转化的数学思想方法，考查运算求解能力，属于中档题.16. 已知 ABC 的面积等于 1，若 BC 1 ，则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时，sin A_【答案】817【解析】【分析】设三条高分别为ha

19、, hb , hc ，根据面积计算出三条高，并将三条高的乘积的最大值问题，转化为 sin A 最大来求解 .1 aha12【详解】依题意可知a1 ，三条高分别为ha , hb ,hc ，根据三角形面积公式有1 bh1 ，故2b1 chc12ha2，hhh88，而1 bcsin A 1， 即1sin A，所 以abcabcbc2bc28hahbhc4sin A . 故当 sinA 取得最大值时，三条高乘积取得最大值 . 作平行于 BCbc且与 BC 距离为 2 的平行直线 l ，作 BC 的垂直平分线AD ，交直线 l 于 A . 过 AD 上一点 O 作圆 O ，使圆经过 A, B, C 三个

20、点，由于由于圆外角小于圆周角，故此时BAC 取得最大值，也即 sinBAC 取得最大值. 在三角形ABC 中， ABAC17 ,BC1 ，由余弦定理得217171158cosBAC44，sin BAC1cos2BAC. 即三角形的三条高21717 171722-12-的乘积取最大值时8sin A.17【点睛】本小题主要考查三角形的面积公式，考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.r rr rrrrrr17. 已知非零的平面向量 a,b 满足 a b0 ，又平面向量 c 满足 ca2 cb 2，若rrr1r| cab |,，则 | c | 的取值

21、范围是 _2【答案】19,52【解析】分析】r rrr设出 a,b, c 三个向量的坐标，根据题目所给条件列方程或不等式，由此求得|c |的取值范围 .rrr rra,0r0, b ，【详解】由于ab 0 ，以a, b 为基底建立平面直角坐标系，设a， b-13-rr rr rr rr1 得24 ，cx, y . 由 c a 2 c b2 ， 及 | c ab |,x ay22x2yb 21x2y25xa，2y b21.由+得x a4r222y25 .将代入得y b5 ， 即cx4y2 1x21，化简得 x2y219rx2y 219r，故 c. 所以则 | c |的取值范围442是19 ,5

22、.2【点睛】本小题主要考查坐标法求向量模的取值范围，考查平面向量模的坐标运算，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.三、解答题 .18. 在 ABC 中，设角 A，B，C的对边分别为a，b， c，且满足 casin C sin B cbsin A（ 1）求角 B 的大小；（ 2）求 3cos2 Csin A cos A 的取值范围222【答案】 (1) B； (2)33 cos2 Csin A cos A33342224【解析】【分析】（ 1）用正弦定理化简已知条件转化为边的形式， 再由余弦定理求得 cosB 的值，进而求得 B 的大小 . （ 2）利用降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式

23、，化简所求表达式，利用三角函数值域的求法，求得表达式的取值范围.【详解】（ 1）由 casin C sin B 得到 cac bcbsin Acba即 a2c2b2ac所以 cosB1，从而 B23（ 2）3cos2 Csin A cos A3 (cos C1)1 sin A22222-14-3 cosC1 sin2C322323 cosC1 sin C34421 cos C6322因为所以C56663cos C3226所以33 cos2 Csin A cos A3 342224【点睛】本小题主要考查利用正弦定理和余弦定理解三角形，考查降次公式、三角形内角和定理和辅助角公式，考查三角函数值域的

24、求法，属于中档题.19. 如图，四面体中，2，ABAC 1，二面角DAC B的大小为60，ABCDADBACDACuuuruuur1)120 ， APAD(0（ 1）若 1，M是 BC的中点， N在线段 DC上， DN2NC ，求证： BP 平面 AMN；2（ 2）当与平面所成角最大时，求的值BPACD【答案】 (1)见证明； (2) 516【解析】【分析】（ 1）取 DN 的中点 E ，连接 PE, BE ，利用中位线的性质以及面面平行的判定定理证得平面PBE / / 平面 AMN ，由此证得 BP / / 平面 AMN . （2）作出直线 BP与平面 ACD 所成的角，-15-根据所成角的

25、最大值，求得的值 .【详解】（ 1）取 DN的中点 E，连接 PE、BEPE AN ， BEMN ， PE、BE是平面 AMN外两条相交直线，所以平面 PBE平面 AMN，所以 BP平面 AMN.（ 2）作BGAC与，在平面内作GHGC交于，二面角DACB的平面GDACADH角为HGB60o, 因为 AD2 AB ，所以 H为 AD的中点，得 V BGH 是正三角形易得平面 BGH平面 DAC，作 BIGH ，则 I 为 GH的中点， BGBHHG3 ,2连接 PI，根据面面垂直的性质定理，有BI平面 ACD.则BPI是 BP与平面 ACD所成角在 Rt BPI 中， tanBI， BI 为定

26、值，故当 IPAD 时，即 IP 最短时， tan取得PI最大值，取得最大，在RtHGA 中 PIHA ,GHA30o , HI1 HG3 ，故24PHHI cos30o333，AP1PH135, 故 PA542888AD16【点睛】本小题主要考查面面平行的判定定理、面面平行的性质，考查线面角的作法，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.-16-20. 已知等差数列an与数列bn满足 a21， b1a30 ，且 an bn的前 n 项和Sn (n 2) 2n 14 ， n N * （ 1）求 an， bn 的通项公式；（ ）设bn的前 n 项和为Tn，若 Tn2018，求 n 的最小值2

27、abnabn 12019【答案】 (1)ann1； bn2nn N *； (2)10【解析】【分析】（ 1）利用已知条件求得a1 的值，结合 a2 的值求得数列an的通项公式 . 利用 an bn SnSn 1bn的通项公式 .（ 2）利用裂项求和法求得2018求得 n求得数列Tn 的表达式， 解不等式 Tn2019的最小值 .【详解】解：（ 1） a1b1S10，所以 a10 ，又 a2 1，所以 ann1n 2时， anbnSnSn 1( n1) 2n ，此时 bn2n ，又 b1a32，所以 bn2nnN*b2n11（ 2）n，abab2n1 2n 112n1 2n 111nnn1112

28、018所以 Tn12i12n 1 1，i 12i 1 12019得 2n1 12019 ， n 最小值为 10【点睛】本小题主要考查等差数列通项的基本量计算，考查已知Sn 求 an ，考查裂项求和法，考查指数不等式的解法，属于中档题.21. 如图，过点 P(1,0) 作两条直线 x 1和 l 分别交抛物线 y24x 于 A，B 和 C，D（其中 A，C位于 x 轴上方， l 的斜率大于 0），直线 AC，BD交于点 Q-17-（ 1）求证：点Q在定直线上；（ 2）若 S PQC，求的最小值S PBD【答案】 (1)见证明； (2)2 2 3【解析】【分析】（ 1）设出 C, D 两点的坐标和直线l 的方程，将直线l 的方程代入抛物线方程，写出根于系数S关系.洗出直线AC, BD 的方程，化简后求得Q点在直线x 1. 2上（ ）先求得SPQCPQAS，SPBD，PQB根据 S PQA S PQB 以及 S PQC的表达式，利用换元法和基本不等式求得的最，求得S PBD小值 .【详解】（ 1）设 Cc2, c， Dd 2, d， l : x ty144代入 y24x 得 y24ty40 ，所以 cd4 AC : 4x (c2) y2c0， BD : 4x(d2) y2d 0 ，消 y 得 xcdcd1 ，故点 Q在 x1 上cd4（2） S PQCc211d 24