电磁场二章的习地的题目解答

1、实用标准文档第二章习题解答2.1一个平行板真空二极管内的电荷体密度为40U0 d4 3x2 3，式中阴极板位于9x 0 ，阳极板位于 xd ，极间电压为 U 0。如果 U040V 、 d1cm 、横截面 S10cm 2 ，求：（ 1） x0 和 x d 区域内的总电荷量 Q ；（ 2） xd 2 和 xd 区域内的总电荷量Q 。d4 0U 0d 4 3 x 2 3 )S d x4解 （1）Qd(0U 0S 4.72 10 11 C093dd4 (11 ) 0U0S（ 2）Qd( 40U 0 d 4 3 x 2 3 )S d x0.97 10 11 Cd 293d322.2一个体密度为2.32

2、10 7 C m3 的质子束， 通过 1000 V 的电压加速后形成等速的质子束， 质子束内的电荷均匀分布，束直径为 2 mm ，束外没有电荷分布， 试求电流密度和电流。解质子的质量 m1.710 27 kg 、电量 q 1.610 19 C。由1 mv2 qU2得v2mqU1.376m s10故Jv0.318A m2IJ(d26A2.32)10一个半径为 a 的球体内均匀分布总电荷量为Q 的电荷， 球体以匀角速度绕一个直径旋转，求球内的电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球内任一点P 的位置矢量为r ，且 r 与z 轴的夹角为，则 P 点的线速度为vrer sin球内的电

3、荷体密度为Q4 a33故Jve4Q33r sine3Q 3 r sina4 a2.4一个半径为 a 的导体球带总电荷量为Q ，同样以匀角速度绕一个直径旋转，求球表面的面电流密度。解以球心为坐标原点，转轴（一直径）为z 轴。设球面上任一点P 的位置矢量为 r ，且 r与 z 轴的夹角为，则 P 点的线速度为vrea sin球面的上电荷面密度为QQ4 a2Q故JSve4 a2a sine4 a sin精彩文案实用标准文档2.5两点电荷 q18C 位于 z 轴上 z4 处， q24C 位于 y 轴上 y4 处，求 (4,0,0)处的电场强度。解电荷 q1在 (4,0,0)处产生的电场为E1q1r r

4、12 ex 4 ez 443(4 2)30r r10电荷 q2在 (4,0,0) 处产生的电场为E2q2r r21 ex 4 ey 44 0r3(4 2)3r20故 (4,0,0) 处的电场为EE1exeyez 2E223202.6一个半圆环上均匀分布线电荷l，求垂直于圆平面的轴线上za 处的电场强度E (0,0, a) ，设半圆环的半径也为a ，如题 2.6 图所示。解半圆环上的电荷元l d lla d在轴线上 za 处的电场强度为l ar rzdE40 ( 2a)3 ddElez(excoseysin)P82ad0在半圆环上对上式积分，得到轴线上za处的电场强度为rE (0,0, a)d

5、Eary2l (ezex 2)lez(ex cosey sin )d8 2 0a 28 20 axdll2.7 三根长度均为 L ，均匀带电荷密度分别为l1、l 2和 l 3题 2.6图地线电荷构成等边三角形。 设 l1 2 l 22 l 3 ，计算三角形中心处的电场强度。解建立题 2. 7 图所示的坐标系。三角形中心到各边的距离为dL tan303 Ly则26ey 4l13l1E10d (cos30cos150)ey 20 L3 l 1E13 l 2l 3l 2E2(ex cos30ey sin30 )(ex3ey)E2E320 L8 0L3 l 33 l1ol1xE3(ex cos30ey

6、 sin30 ) 20 L(ex3ey )8 0L题2.7图精彩文案实用标准文档故等边三角形中心处的电场强度为EE1E2 E33 l 13 l 13l13l1ey 2 0L( ex3 ey ) 80 L(ex 3 ey ) 80Ley 40 L2.8点电荷q 位于 (a,0,0)处，另点电荷2q 位于 (a,0,0)处，空间有没有电场强度 E0 的点？q 在 ( x, y, z) 处产生的电场为解电荷E1q ex (x a) ey y ezz40 ( x a)2y2z2 3 2电荷2q 在 ( x, y, z) 处产生的电场为E 22q ex ( x a) ey y ez z4 0 ( x a

7、) 2y2z2 3 2( x, y, z) 处的电场则为 E E1E 2。令 E0 ，则有ex( x a) ey y ez z2ex ( x a) ey y ezz( x a)2y 2z2 3 2( x a) 2y 2z2 3 2由上式两端对应分量相等，可得到( xa)( xa)2y 2z2 3 22(x a)( xa) 2y2y( xa)2y2z2 3 22 y( xa)2y2z2 3 2z( xa)2y2z2 3 22z( xa) 2y2z2 3 2当 y0 或 z0 时，将式或式代入式，得 a0 。所以， 当当 y0且 z0 时，由式，有z2 3 2y 0 或 z0 时无解；解得( xa

8、)( xa)32( xa)( x a)3x(322) a但 x3a2 2a 不合题意，故仅在(3a2 2a,0,0) 处电场强度 E0 。29 一个很薄的无限大导电带电面，电荷面密度为。证明： 垂直于平面的 z 轴上 zz0 处的电场强度 E 中，有一半是有平面上半径为3z0 的圆内的电荷产生的。解半径为 r 、电荷线密度为ld r 的带电细圆环在 z 轴上 z z0处的电场强度为rz0 drd Eez 2 0 (r 2z02 )3 2z故整个导电带电面在z 轴上 zz0 处的电场强度为r z0 drz01ez 2 0E ez 0 2 0(r 2z02 )3 2ez 2 0 (r 2z02 )

9、1 20b而半径为3z0 的圆内的电荷产生在z 轴上 zz0 处的电场强度为dIaoQ精彩文案题 2.10 图实用标准文档3z0rz0 drz013z01E ezezez0 2 0 (r223 22212Ez0 )2 0 (rz0 )04 022.10一个半径为 a 的导体球带电荷量为Q ，当球体以均匀角速度绕一个直径旋转，如题 2.10 图所示。求球心处的磁感应强度B 。解球面上的电荷面密度为Q4a2er a 点处的电流面密度为当球体以均匀角速度绕一个直径旋转时，球面上位置矢量rJ Sv rezer aea sineQ sin4a将球面划分为无数个宽度为d la d 的细圆环，则球面上任一个

10、宽度为d l a d细圆环的电流为d IJS d lQ sind4细圆环的半径为ba sin，圆环平面到球心的距离da cos，利用电流圆环的轴线上的磁场公式，则该细圆环电流在球心处产生的磁场为d B0b2 d Iez 80Qa2 sin3d0 Q sin 3dez 2(b2d 2 )3 2(a2 sin 2a2 cos2)3 2ez8 a故整个球面电流在球心处产生的磁场为Bez0Q sin3d0Q08 aeza62.11两个半径为 b 、同轴的相同线圈， 各有 N 匝，相互隔开距离为d ，如题 2.11图所示。电流 I 以相同的方向流过这两个线圈。（ 1）求这两个线圈中心点处的磁感应强度B

11、ex Bx ；（ 2）证明：在中点处 d Bx d x 等于零；（ 3）求出 b 与 d 之间的关系，使中点处d 2 Bx d x 2也等于零。解 （ 1）由细圆环电流在其轴线上的磁感应强度Bez 2(a20Ia 2z2 )3 2得到两个线圈中心点处的磁感应强度为Bex (b20 NIb2d 24)3 2（ 2）两线圈的电流在其轴线上x (0xd ) 处的磁感应强度为Bex0 NIb 20 NIb 22(b2x2 )3 22b2(dx)2 3 2d0 NIb2 x3 0 NIb 2 (d所以d Bx3x)bd x2(b2x2 )5 22b2(dx) 2 5 2故在中点 xd2 处，有bx精彩文

12、案II题 2.11 图实用标准文档d Bx30 NIb 2 d 230 NIb2 d 20d x2b2d 245 22b2d245 2（ 3）d2 Bx150 NIb 2 x230 NIb 2d x22(b2x2 )7 22(b2x2 ) 5 215 0 NIb 2 (dx)23 0 NIb 22b2(dx)2 7 22b2(dx) 2 5 2令d 2 Bx0，有5d 2410d x 2x d 2 b 2d 2 4 7 2 b2d 2 45 2即5 d 24b 2d 24故解得db2.12一条扁平的直导体带，宽为2a ，中心线与z 轴重合，通过的电流为I 。证明在第一象限内的磁感应强度为Bx0

13、 I，By0 Ir2式中、r1和 r2如题 2.12 图所示。4a4lnar1yd B解将导体带划分为无数个宽度为d x的细条带，每一P( x, y )I细条带的电流 dIdx。由安培环路定理， 可得位于 x处2r22a的细条带的电流dI 在点 P(x, y) 处的磁场为R r10 I d x1d B0 d I0 I d xaax2 R4aR4a( xx )2y 2 1 2I0Iy d x则d Bxd B sin4a( xx )2y2 d Byd B cos0 I ( xx )d x题 2.12 图4 a( xx )2y 2 所以a0 Iy d x0 Ixx aBxa 4 a( xx ) 2y

14、2 4arctanyaa0 Iarctana xarctana x0 Iarctanx aarctanx a4ayy4ayy40 I(21 )40 Iaaa0 I (x x )d x0 Ia0 I(x a)2y20 Ir2Byln( x x )2y24a( xx )2y28alna)2y2lnr1aa8 a(x4 a2.13如题 2.13图所示， 有一个电矩为p1 的电偶极子， 位于坐标原点上， 另一个电矩为p2的电偶极子，位于矢径为r 的某一点上。试证明两偶极子之间相互作用力为F3p1p2(sin1sin2cos 2cos1cos2)r40r 4精彩文案实用标准文档式中 1r , p1， 2

15、r, p2，是两个平面 (r , p1) 和 (r, p2 ) 间的夹角。并问两个偶极子在怎样的相对取向下这个力值最大？解电偶极子 p1 在矢径为 r 的点上产生的电场为zE11 3(p1 r)r p1p240r5r32pp2 之间的相互作用能为所以 1与r13(p1 r)( p2 r) p1 p2p11Wep2 E10 r 3 4r 5y因为 1r, p1， 2r, p2，则p1rp1r cos 1x题 2.13 图p2rp2r cos 2又因为是两个平面 (r, p1 ) 和 (r, p2) 间的夹角，所以有(r p1 ) (rp2)r 2 p1 p2 sin 1 sin2 cos另一方面

16、，利用矢量恒等式可得(r p1 ) ( r p2 )( r p1 ) r p2 r 2 p1(r p1)r p2r 2 ( p1 p2 )(r p1 )( r p2 )因此( p1 p2 )12 ( rp1 ) (rp2 )(rp1)( rp2 )p1 p2 sin 1 sin 2 cosp1 p2 cos 1 cos 2rp1 p2于是得到We3 (sin 1 sin 2 cos2cos1 cos 2 )40r故两偶极子之间的相互作用力为Wp1 p2d1Fre(sin 1 sin 2 cos2cos 1 cos 2 )rq const4(r3 )0dr3p1 p22cos 1 cos 2 )

17、40r4 ( sin 1 sin 2 cos由上式可见，当120时，即两个偶极子共线时，相互作用力值最大。2.14两平行无限长直线电流I1和 I 2 ，相距为 d ，求每根导线单位长度受到的安培力F m 。解 无限长直线电流I1 产生的磁场为B1e0 I12 r10I1I2直线电流 I2 每单位长度受到的安培力为Fm12I 2ez B1 d ze12d02式中 e12 是由电流 I1 指向电流 I 2 的单位矢量。同理可得，直线电流I1 每单位长度受到的安培力为Fm21Fm12e120I1I22 d2.15一根通电流 I1 的无限长直导线和一个通电流I 2 的圆环在同一平面上，圆心与导线的距离

18、为 d ，如题 2.15 图所示。证明：两电流间相互作用的安培力为精彩文案实用标准文档Fm0I 1I 2 (sec1)这里是圆环在直线最接近圆环的点所张的角。解无限长直线电流I1 产生的磁场为zB1e0 I1I 12 rI 2 d l2I 2d l2 受到的安培力为圆环上的电流元oa0I 1Ix2dd FmI 2 d l 2 B1d l2 ey 2 x由题 2.15 图可知d l2(ex sinez cos)a d2x da cos题 2.15 图0 aI1I 2所以F m( ez sinex cos )d2 (d a cos0)ex0 aI1I 22cosdex0 aI 1I 2(2d2)ex0 I1I 2 (sec 1)2(da cos)2aad 20a22.16证 明 在 不 均 匀 的 电 场 中 ， 某 一 电 偶 极 子 p 绕 坐 标 原 点 所 受 到 的 力 矩 为r