2020-2021天津市双菱中学高三数学上期中第一次模拟试卷(及答案)

1、2020-2021 天津市双菱中学高三数学上期中第一次模拟试卷( 及答案)一、选择题xy1101 设 x ， y 满足不等式组7 xy50 ，若Zaxy的最大值为3xy102a9 ，最小值为a 2 ，则实数 a 的取值范围是（） .A (,7B 3,1C 1,)D 7,32. 已知等比数列 an 的各项均为正数，且a5a6a4a718 ，则log 3 a1log 3 a2log3 a3log 3 a10（）A 10B 12C 1log 3 5D 2log 3 53. 下列函数中， y 的最小值为 4 的是（）A. yx4 xB. y2(x23)x22C. yex4e xD ysin x4(0x

2、)sin x4. 已知 an为等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 a372a5 ，则S13（ ）A 49B 91C 98D 1825. 已知等差数列an 的前 n 项为Sn ，且 a1a514 ， S927 ，则使得Sn 取最小值时的 n 为（）A 1B 6C 7D 6 或 76. 设an是公差不为 0 的等差数列，a12 且 a1, a3 ,a6 成等比数列，则an 的前 n 项和Sn =（ ）n 27nA44n25nB33n 23nC24D. n 2n7. 在 ABC 中，角A, B,C 的对边分别是a, b, c ，cos2Abc22c，则 ABC 的形状为A直角三角形B等腰三角形或直

3、角三角形C等腰直角三角形D正三角形xy208 若 x ， y 满足xyy040 ，则 zy2 x 的最大值为（）A 8B4C 1D 29. 已知等差数列an 的前 n 项和为Sn ，若 a3a4a1118 则 S11（）A 9B 22C 36D 6610. 若函数f ( x)1x(xx22) 在 xa 处取最小值，则 a 等于（）A 3B 13C 12D 411. 设 an是首项为a1 ，公差为 - 2 的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若S1 ， S2 ， S4 成等比数列，则 a1()A 8B - 8C 1D - 112. 在 ABC 中，内角cA, B, C 所对的边分别为a,b, c

4、 ，若b sin 2 A3asin B0 ，b 3c ，则的值为（）aA 1B33C. 5D. 7二、填空题xy213. 若变量 x， y 满足2x3 yx09 ，则 z 2x+y 的最大值是14. 若 a>0,b>0,a+b=2 ，则下列不等式对一切满足条件的a， b 恒成立的是(写出所有正确命题的编号 ) ab1； a +b 2 ； a2+b22； a3+b3 3;112 .ab15. 已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a3 329， S3，则 a1 的值为216. 已知在 ABC 中，角围为 A, B,C 的对边分别为a, b,c ，若 ab2c ，则C 的取

5、值范17. 若数列an通项公式是2nann1,1n2 ，前 n 项和为Sn ，则 lim Sn.3,n3n18. 已知数列an 的前 n 项和为Sn ， a11，且 Snan1（为常数）若数列bnn n满足 a bn29n20 ，且bb ，则满足条件的 n 的取值集合为n1n19. 如图所示，位于 A 处的信息中心获悉：在其正东方向 40 海里的 B处有一艘渔船遇险， 在原地等待营救信息中心立即把消息告知在其南偏西 30°，相距 20 海里的 C处的乙船， 现乙船朝北偏东 的方向即沿直线 CB前往 B 处救援，则 cos20. 在锐角 ABC 中, 内角A, B, C 的对边分别为a

6、,b, c , 已知a2b4, asinA4bsinB6asinBsinC , 则 nABC的面积取最小值时有c2.三、解答题21. 为了美化环境，某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪，休闲草坪的形状为如图所示的四边形 ABCD其中 AB 3 百米， AD 5 百米，且 BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC，BD（路的宽度忽略不计），设 BA D ，(，)2（1） 当 cos55时，求小路 AC的长度；（2） 当草坪 ABCD的面积最大时，求此时小路BD的长度22. 在等差数列an中， a2a723 ， a3a829 .（1） 求数列an 的通项公式；（2） 设数列 a

7、nbn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求bn 的前 n 项和Sn .23. 已知等差数列an的前 n 项和为Sn ，各项为正的等比数列bn 的前 n 项和为Tn ，a11 ， b11， a 2b22 .（1）若 a3b35 ，求bn的通项公式；（2）若 T321，求 S3a,sinxbv113v24. 已知向量cos x与1, y共线，设函数 yfx .222（1） 求函数 fx 的最小正周期及最大值.（2） 已知锐角ABC的三个内角分别为A, B,C ，若有 fA33 ，边BC7,sin B21 ，求ABC的面积 .725. 在 VABC中，角 A，B， C的对边分别是 a， b， c

8、，且3acosC2b ( ) 求角 A 的大小；3c cosA( ) 若 a2，求VABC面积的最大值26. 已知等比数列an的各项均为正数， a28， a3a448 ( ) 求数列 an 的通项公式；( ) 设 bnlog 4an. 证明：bn为等差数列，并求bn的前 n 项和Sn 【参考答案】 * 试卷处理标记，请不要删除一、选择题1 B解析： B【解析】【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z 的最大值 .【详解】作出不等式组xy7xy3xy11050 对应的平面区域（如图阴影部分）， 10目标函数 zaxy的几何意义表示直线的纵截距，即yaxz ，

9、（1） 当 a取得，0 时，直线 zaxy 的斜率为正，要使得z 的最大值、最小值分别在C, A 处则直线 zaxy 的斜率不大于直线3xy10 的斜率，即a3 ，3a（2） 当 a0 .0 时，直线 zaxy 的斜率为负，易知最小值在A处取得，要使得 z 的最大值在 C 处取得，则直线 zaxy 的斜率不小于直线x y110 的斜率a1，0a1.（3） 当 a0 时，显然满足题意 .综上：3, a1.故选： B.【点睛】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键.2A解析： A【解析】【分析】利用

10、对数运算合并，再利用等比数列【详解】an的性质求解。因为 log3 a1log 3 a2log 3 a3 Llog 3 a10 = log3a1a2a3 La10= log 35a1a10,又 a4 a7a5 a6a1a10 ，由 a4a7a5 a618 得 a1a109 ，所以logalog aloga L loga= log95 =10 ，故选 A 。313233310【点睛】本题考查了对数运算及利用等比数列3an 的性质，利用等比数列的性质：当kmnpq,( m, n,p, qN) 时， amanap aq ，特别地 mn3C2 k,( m, n, kN) 时， am ana 2 ，套用

11、性质得解，运算较大。解析： C【解析】【分析】由基本不等式求最值的规则：“一正，二定，三相等”，对选项逐一验证即可.【详解】选项 A 错误， Q x 可能为负数，没有最小值；x221x2，2x221x22选项 B 错误，化简可得 y2由基本不等式可得取等号的条件为，即 x1 ，2显然没有实数满足x21 ；选项 D 错误，由基本不等式可得取等号的条件为sin x2 ，但由三角函数的值域可知sin x1；选项 C 正确，由基本不等式可得当ex2 ，即 xln 2 时，y ex4e x 取最小值 4 ，故选 C.【点睛】本题主要考查利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理

12、解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或 时等号能否同时成立） .4B解析： B【解析】 a372a5 ， a12d72( a14d ) ，即a16d7 ，S135B13a713(a16d )13791 ，故选 B 解析： B【解析】试题分析：由等差数列的性质，可得，又，所以，所以数列的通项公式为，令，解得，所以数列的前六项为负数，从第七项开始为正数， 所以使得取最小值时的为，故选 B考点：等差数列的性质.6A解析

13、： A【解析】【分析】【详解】设公差为 d 则解得，故选 A.7A解析： A【解析】【分析】先根据二倍角公式化简，再根据正弦定理化角，最后根据角的关系判断选择.【详解】因为 cos2Abc，所以22c1 cosAbc , ccosAb,sinCcosAsinBsin AC ,sinAcosC0 ,因此22ccosC0， C2【点睛】, 选 A.本题考查二倍角公式以及正弦定理，考查基本分析转化能力，属基础题.8D解析： D【解析】作出不等式组xy20xy40 ，所表示的平面区域，如图所示，y0当 x0 时，可行域为四边形OBCD 内部，目标函数可化为zy2 x ，即 y2 xz ，平移直线 y2

14、 x 可知当直线经过点D (0,2)时，直线的截距最大，从而z 最大，此时，zmax2 ，当 x0 时，可行域为三角形AOD ，目标函数可化为 zy2 x ，即 y2 xz ，平移直线 y2x 可知当直线经过点D(0,2)时，直线的截距最大，从而z 最大，zmax2 ，综上， zy2 x 的最大值为 2 故选 D 点睛：利用线性规划求最值的步骤：(1) 在平面直角坐标系内作出可行域(2) 考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形常见的类型有截距型（axby 型）、斜率型（ yb 型）和距离型（xa 2xa2yb型）(3) 确定最优解：根据目标函数的类型，并结合可行域确定最优解(4) 求最值：

15、将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值 注意解答本题时不要忽视斜率不存在的情形.9D解析： D【解析】分析：由 a3a4a1118 ，可得a15d6 ，则化简S1111 a15d，即可得结果 .详解：因为 a3a4a1118 ，所以可得3a115d18a15d6 ，所以 S1111 a15d11 666 ，故选 D.点睛：本题主要考查等差数列的通项公式与等差数列的求和公式，意在考查等差数列基本量运算，解答过程注意避免计算错误.10A解析： A【解析】【分析】将函数 yfx 的解析式配凑为fxx12 2 ，再利用基本不等式求出该函x2数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出 a 的值

16、.【详解】当 x2 时， x20 ，则4 ，fxx1x2x2122x2x212x2当且仅当 x2【点睛】1x2 时，即当 xx23 时，等号成立，因此，a3 ，故选 A.本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.11D解析： D【解析】【分析】利用等差数列的通项公式，以及等比中项公式和前n 项和公式，准确运算，即可求解.【详解】由题意，可得等差数列 an 的通项公式为 ana1( n1)(2)a12(n1) ，所以 S1a1, S22a12, S44a1因为 SSS12 ，(2a2) 2a (4 a

17、12)a1 .1 ， 2 ， 4 成等比数列，可得故选： D.【点睛】111，解得 1本题主要考查了等差数列通项公式，以及等比中项公式与求和公式的应用，其中解答中熟记等差数列的通项公式和等比中项公式，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题 .12D解析： D【解析】分析：由正弦定理可将bsin2 A3asinB0 化简得cosA3 ，由余弦定理可得2222abc2bccosA7c2 ，从而得解 .详解：由正弦定理，bsin2 A3asinB0 ，可得sinBsin2 A3sinAsinB0 ，即 2sinBsinAcosA3sinAsinB0由于：sinBsinA0 ，所以

18、 cosA3 ：，2因为 0 A ，所以 A56又 b3c ，由余弦定理可得 a 2b2c22bccosA3c2c23c27c2 .即 a27c2 ，所以 c7 .a7故选： D点睛：在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式 时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理； 以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到二、填空题135【解析】【分析】由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解联立方程组求得最优解的坐标把最优解的坐标代

19、入目标函数得结论【详解】作出变量满足的可行域如图由知所以动直线的纵截距取解析： 5【解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.【详解】xy2作出变量x, y 满足2x3 yx09 的可行域如图，由 z2xy 知, y2 xz ，所以动直线 y2 xz 的纵截距 z 取得最大值时，目标函数取得最大值，xy2由得 A 3,1 ，2 x3 y9结合可行域可知当动直线经过点A 3, 1时，目标函数取得最大值【点睛】z2315 ，故答案为 5.本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于

20、简单题. 求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值. 14【解析】【分析】【详解】对于：因为所以所以故项正确；对于：左边平方可得：所以故项错误；而利用特殊值代入中式子也可得出错误的结论；对于：因为由知所以故项正确；对于：故项错误解析： 【解析】【分析】【详解】对于：因为，所以，所以，故项正确；对于：左边平方可得：，所以，故 项错误；而利用特殊值，代入中式子，也可得出错误的结论；22对于：因为，由知

21、，所以， 故项正确；33对于： ab(ab) aabb22( ab)3ab86ab862 , 故项错误；对于 1+ 1 = ab = 22，故项正确；aaabab故本题正确答案为：.15. 或 6【解析】【分析】由题意要分公比两种情况分类讨论当q1 时 S33a1 即可求解当 q1时根据求和公式求解【详解】当q1 时 S33a1 3a33×符合题意所以 a1；当 q1时 S3 a1(13解析：或 62【解析】【分析】由题意，要分公比 q1,q1两种情况分类讨论，当q 1 时， S3 3a1 即可求解，当 q 1时，根据求和公式求解.【详解】当 q 1 时， S3 3a1 3a3 3&

22、#215; 3 9，符合题意，所以a1 3 ；222a1q39当 q 1 时， S3 11q a1(1 q q2) ，2又 a3 a1q2 32得 a132q 2，代入上式，3得 2q 21(1 q q2) 9 ，即 12q211 q 2 0，解得 2 或q 1(舍去 )q3因为 q 1 ，所以 a1 261 ，222综上可得 a1 3 或 6.2【点睛】本题主要考查了等比数列的性质及等比数列的求和公式，涉及分类讨论的思想，属于中档题.16. 【解析】【分析】将已知条件平方后结合余弦定理及基本不等式求解出的范围得出角的范围【详解】解：在中即当且仅当是取等号由余弦定理知故答案为：【点睛】考查余弦

23、定理与基本不等式三角函数范围问题切入点较难故属解析： (0,3【解析】【分析】将已知条件平方后，结合余弦定理，及基本不等式求解出cosC 的范围 .得出角 C 的范围 .【详解】解：在VABC中， Q ab2c ，( ab) 24c2 ，a2b24c22ab2ab ，即 c2ab ，当且仅当 ab 是，取等号， 由余弦定理知，cosCa2b2c23c22ab3c211 ，2ab0C.32ab2ab2故答案为： (0, .3【点睛】考查余弦定理与基本不等式，三角函数范围问题，切入点较难，故属于中档题. 17【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数

24、列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题解析： 55 .18【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论.【详解】Q数列an通项公式是2nann1,1n2，前 n 项和为Sn ，当 n3 时，数列3,n3an是等比数列，n 3111273111 n 3Sn123n5531，111818318233lim Snli mn553155.nn故答案为：【点睛】18231855.18本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用， 是基础题 .18. 【解析】【分析】利用可求得；利用可证得数

25、列为等比数列从而得到进而得到；利用可得到关于的不等式解不等式求得的取值范围根据求得结果【详 解】当时解得：当且时即：数列是以为首项为公比的等比数列解得：又或满足解析： 5,6【解析】【分析】利用 a1S1 可求得2 ；利用 anSnSn1 可证得数列an 为等比数列，从而得到an =2 n- 1 ，进而得到bn ；利用bn+ 1 -bn <0 可得到关于 n 的不等式，解不等式求得n 的取值范围，根据 nN 求得结果 .【详解】当 n1 时， a1S1 Sn2an1a1111，解得：2当 n2 且 nN 时，Sn 12 an 11an = Sn -Sn- 1= 2an -2an- 1 ，

26、即： an2an 1数 列 an是以 1为首项， 2 为公比的等比数列an =2n- 1Q a bn 29n20n 29 n20n n2n19bnn 12n120n29n20n211n28bn 1bnn22n 12n0Q 2n0n211n28n4n70 ，解得： 4n7又 nNn5 或 6满足条件的 n 的取值集合为 5,6本题正确结果： 5,6【点睛】本题考查数列知识的综合应用，涉及到利用an 与 Sn 的关系求解通项公式、等比数列通项公式的求解、根据数列的单调性求解参数范围等知识；关键是能够得到而根据单调性可构造出关于n 的不等式，从而求得结果.bn 的通项公式，进19. 【解析】【分析】

27、在中由余弦定理求得再由正弦定理求得最后利用两角和的余弦公式即可求解的值【详解】在中海里海里由余弦定理可得所以海里由正弦定理可得因为可知为锐角所以所以【点睛】本题主要考查了解三角形实际解析： 2114【解析】【分析】在 ABC 中，由余弦定理，求得BC ，再由正弦定理，求得sin利用两角和的余弦公式，即可求解cos的值【详解】ACB ,sinBAC ，最后在 ABC 中 ， AB40 海里， AC20 海里，BAC120 o，由余弦定理可得BC 2AB2AC 22 ABAC cos120o2800 ，所以 BC207 海里 ,由正弦定理可得sinACBABsin BCBAC21 ，7因为BAC1

28、20o ，可知ACB 为锐角，所以cosACB27 ，7所以 coscos(ACB30o)cosACB cos30 osinACBsin 30o21 14【点睛】本题主要考查了解三角形实际问题，解答中需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，合理使用正、余弦定理是解答的关键，其基本步骤是：第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化；第三步：列方程， 求结果20. 【解析】由正弦定理及得又即由于即有即有由即有解得当且仅当a=2b=2 时取得等号当 a=2b=1S取得最小值易

29、得 (C 为锐角) 则则4解析： 553【解析】由正弦定理及asinA4bsinB6asinBsinC ,得 a24b26absinC ,又 S1 absinC ,即 a 224b 212S ,由于 a2b4 ,即有 a 24b 22a2b4ab164ab ,即有 4ab1612S ,由 4aba2b222,即有 1612S28 ,解得 S,3当且仅当 a= 2b=2 时,取得等号 ,当 a=2, b= 1,S取得最小值 2 ,3易得 sinC25(C 为锐角 ),则 cosC,33则 c2a 2b22 abcosC545 .3三、解答题21 （ 1） AC【解析】【分析】37 ；（ 2） B

30、D26（1） 在 ABD中，由余弦定理可求BD的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin ，根据正弦定理可求 sin ADB3 ，进而可求cos ADC的值，在 ACD中，利用余弦定理可求5AC的值2（2） 由（ 1）得： BD14 65 cos，根据三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用15可求 SABCD 7sin （），结合题意当2时，四边形 ABCD的面积最2大，即 【详解】，此时 cos 22，sin 51，从而可求 BD的值5（1）在 ABD 中，由BD 2AB2AD 22 ABADcos，得 BD 21465cos，又 cos5 ， BD525 2, sin1cos2152255

31、BDAB2533由sinBADsin得：ADB2sin5ADB ，解得：sinADB，5 BCD 是以 D 为直角顶点的等腰直角三角形CDB3且 CDBD252 cosADCcosADBsinADB25在 ACD 中 ，AC 2AD 2DC 22 ADDC cosADC225252525337 ，5解得： AC37（2）由（ 1）得：BD 21465cos，SABCDS ABDS BCD135sin1BD 2735sin35cos222735sin2cos715 sin，此时sin21， cos，且当cos220,2时，四边形 ABCD 的面积最大，即225225，此时25sin1 ，5 BD

32、146 5cos146526 ，即 BD265答：当cos5 时，小路 AC 的长度为37 百米；草坪 ABCD 的面积最大时，小路5BD 的长度为26 百米【点睛】本题主要考查了余弦定理，同角三角函数基本关系式，正弦定理，三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题22 （ 1） an【解析】【分析】3n2 （ 2） Sn3n2n 22n1（1） 依题意 a3a8a2a72d6 ，从而 d3 .由此能求出数列an 的通项公式；（2） 由数列 anbn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，求出nnb2 n 1a3n2

33、2n1，再分组求和即可.【详解】（1）设等差数列an的公差是 d .由已知 a3a8 d3 ，a2a72d6 ， a2a72 a17 d23 ，得 a11 ，数列an的通项公式为 an3n2 .（2）由数列 anbn是首项为 1，公比为 2 的等比数列，2n 1 anbn， bn2n 1a3n22n 1 ，n Sn1473n212222n 1n 3n123n 2nn21 ，2【点睛】2n1 .本题考查数列的通项公式和前n 项和公式的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化 .23 (1) bn2n 1, (2) s63【解析】【分析】（1） 首先设出等差数列的公差与等比数列的公比，根据题中所给的式子，得到关于d 与 q的等量关系式，解方程组求得结果，之后根据等比数列的通项公式写出结果即可；（2） 根据题中所给的条件，求得其公比，根据条件，作出取舍，之后应用公式求得结果.【详解】(1) 设an 的公差为 d， bn的公比为 q，由 a2b22