线性代数讲义复习题.

1、线性代数复习题第一章矩阵一、填空题1.矩阵 A与 B 的乘积AB有意义，则必须满足的条件是。2.设 A ( aij )m s ,B(bij ) s n , 又 AB(cij )m n ，问 cij。3.设 A 与 B 都是 n级方阵，计算 ( AB)2, (A B)2,(A B)(AB)。12,试将 A 表示为对称矩阵与反对称矩阵的和4.设矩阵 A4。3（注意：任意 n 阶矩阵都可表示为对称矩阵与反对称矩阵的和）2015.设 X (1,2,1) , Y (2,1, 3)T , A013,计算 XAY。122（特别地，若X , Y 为字母向量时也应该会表达）6.设矩阵 AB 与 BA都有意义，问

2、 A与 B 的关系为；又若 AB 与 BA为同级方阵，问A与 B的关系为。7.设 是一个列向量，k 是一个数，分析 k与 k 的意义，两者是否相等？答：。8.设向量1,2,3 ,(1,1,1)T ，则，。202009.设矩阵 A，则100。10.设矩阵 A011。03A2 ，则A03511.设准对角矩阵 AA10。0, f (x) 是多项式，则 f ( A)A212312.设矩阵 A456，则 R(A)。13. 设 A*是矩阵 A 的伴随矩阵， 则 AA*A* A_.78914. 设 A*是 n 阶方阵 A 的伴随矩阵 , Ad , 则 A A。12315. 矩阵 A235的秩为 _， A 的

3、伴随矩阵 A*=。47116.设 A 是 3 阶可逆方阵， B 是 3 4 矩阵且 R(B) 2 ，则 R(AB)。10217.设 A040，B是34 矩阵且 R(B)2 ，则 R( AB)。20318.试写出 n阶方阵A 可逆的几个充分必要条件（越多越好）。12319.设矩阵A 235 ，试写出行列式A 中 (2,1) -元的代数余子式， A 中第三行471元素的代数余子式之和=。20.设B是34 矩阵且 R(B) 2 ，则 B 的等价标准形为。设 R( Am n )n，则 A的等价标准形为12， f ( x)x22 ，则 f ( A)21.。22.设 A1。1120123.设 A 2013

4、，则 A的等价标准形为。52251200000a24.34001。 25.00b0。设 A034，则 A0c0000057d00026.已知矩阵 A满足 A22A 3E0，则 A1。27.设 n 阶矩阵 A可逆，则A*。28.试写出矩阵秩的定义。29.试写出 n阶行列式按第一列展开的定义。30.已知行列式 D 中第三列元素依次为 -1,2,0,1，其代数余子式分别为5,-3,-7,-4，则D=_ _。31.已知 A,B,C 为同阶方阵 ,且 C 可逆,若 C 1ACB , 则 C 1 AmC(m 是整数 ) 。32.设 A, B, C , D 均为 n 阶方阵，且 ABCDE ，则 (BC)T

5、 (DA)T_ 。33.设 A,B,C均为阶方阵，且 ABCE ，则TT。nB()_CA34.若 A ， B 都是 n 阶方阵， A1 ， B3 ，则3A*B 1_ _ 。12335.设 A200 , 则A 1_。36. 设 A 是 n 阶方阵， R( A)n 2 ，则 A*。74937. 设 A 是 n 阶可逆方阵， 则 R( A*)。38. 设 A是 n 阶方阵， R( A)n1 ，则 R( A*).39. 试写出两个分块矩阵乘法有意义的条件。40. 设分块矩阵 AA1A2，则 AT。A3A441.已知行列式 D 中第三列元素依次为 -1,2,0,1，其余子式分别为 5,-3,-7,-4，

6、则 D =_。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.设矩阵 A, B 满足 AB0，则 A 0或B0 。2.矩阵乘法适合交换律。3.设 A, B 是 n 级方阵，则 (AB) 2A22 ABB2, A2B2( AB)( AB) 。4.设 A, B, C 是同级非零方阵，若ABAC，则BC 。5.设 1, 2 是方程组 AX的解，则12是 AX的解，12是 AX0的解。6.设1, 2 是线性方程组7.设1, 2 是线性方程组AX0 的解，则 12是 AX0 的解。AX的解，则 k 1(1 k )2是 AX的解， k 是任意常数。0101001028.矩阵 100可逆，且其逆为其本身

7、。类似有030，010同样问题。0010010019.设非零矩阵A, B,C 满足 ABAC，则BC 。10.若一行列式为零，则该行列式中必有两行或两列称比例。（或必有一行或一列为零）11.若方阵A 可逆，则其伴随矩阵A* 也可逆。 12. n 阶方阵 A 满足 A2A2E0，则 EA 可逆。13.若 A20，则必有 A 0。14.设 A 是 n 阶方阵， 且 A a0，则 A*11。Aa15.设 A2A，则 AE 或 A0 。 16. 设 A , B 都是 n 阶方阵 , 若 A ,B都可逆,则AB 可逆。17. 若矩阵 A 的秩为 r ，则 A 中必有某一个 r 1阶子式不等于零。18.

8、若 n 阶方阵 A 的秩 R( A)n 1，则其伴随阵A*0。 19.设 A 是 n 阶矩阵，则 kAk A 。20. 设矩阵 A, B, C 满足 ABAC ，且 A 可逆，则 BC 。三、解答题325112130111211110310114123012111.求 A12，2341，341，12。1021132042130124111122141312.已知矩阵 A， B012 ，计算 AB, ABABT 。1131313.设 3阶方阵 A 的伴随矩阵为A，且A1，求 (4A) 12A。2aba b101021204. 求Dbaba。 5.已知 A，求A1。abab001011112312

9、32136.设 A121 42，求A。1211283211101117.设 A1101, B111。试用矩阵分块方法求BT,AB。002000100020018. 用两种方法求下列矩阵的逆012211A234, B001 .4791009.利用初等变换与初等矩阵的关系计算下列矩阵的乘积100100 a1 1a1 2a001020 a2 1a 2 2a010001 a3 1a 3 2a1 32 33 311101000110.写出下列矩阵的等价标准形21111321311111211101k1k11（对 k 讨论）462,1110， 1221k23743131210111211.设矩阵 A312

10、的秩为 2，求，。5362x1x23x3x1x22x3x4222x2x32x4512.求解线性方程组（1） x1x23x32 x11 ；（2）2x23x34 x4。2x1x24x3x129x27x35x4173x123221313.设3A11342，求A。211131322814.设 A100， B124，求 BTA 。11114215.设 A 是 n 阶方阵 , 且A2,求3A12A ,其中 A*是 A 的伴随矩阵。16.教材中的例题和不带* 的习题。第二章线性方程组一、填空题1.试写出线性方程组有解的一个充分必要条件。2.设 A 是 n 阶方阵，且秩 ( A)rn，则齐次线性方程组Ax 0

11、 的基础解系中含个解向量。3.方程组2x13x23x32x40个解向量。的基础解系中含7 x1 2x2x33x404.设1 ,2 是 n(n3) 元齐次线性方程组 Ax0 的基础解系，则秩 ( A )=。5.矩阵 Am n 的秩为 r ，则 AX0 的基础解系一定由 _个线性无关的解向量构成。10x106.若方程组111x20有非零解，则0 或。02x307.设 A 是 n 阶方阵 , 若线性方程组AX0 有非零解 , 则必有 A。8.设 A 是 n 阶方阵 , R An2 , 则线性方程组AX0 的基础解系所含向量的个数是。9.1(1,3,5) ,2(1,1,3),3(1,a,6)线性相关,

12、则 a 的值为 _。10.若向量 (2,3,1, 0,1) 与 (4, 6, 2, a, 2)线性相关，则a 的取值为。11.设向量组1(1, 2,3)， 2(2,1,3) ， 3(1,1,0), 则向量组1, 2,3 的秩是。12.设向量组I ：1 , r的秩为 p ， 向量组 II ： 1 , s 秩为 q ， 且向量组 I能由向量组 II线性表出，则p 与 q的大小关系是 _。13.设向量组 I:1 , s线性无关，而 1 , 2 都能由 I线性表出， 则秩 ( 1 , s,1, 2)=。14.已知一个向量组含有两个或两个以上的最大线性无关组, 则各个最大线性无关组所含向量的个数必定。二

13、、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1. n 元线性方程组Axb(b0) 当 R( A)n 时有无穷多解。2.设 A 是 n 阶方阵 , 若方程组AXb 满足 R( A)R( A,b) , 则 AXb 有唯一解。3.对于线性方程组 Axb (这里 A 为 n 阶方阵 ) ，如果该方程组有解，则必有R( A) n 。4. n 维向量组1, 2,s 与 n 维向量组1,2 , s 秩相等，则这两个向量组必能互相线性表出。5.若一个向量组线性相关，则该向量组中必含有零向量。6.如果向量组1, 2,s 线性相关，那么这个向量组中一定有两个向量成比例。7.包含零向量的向量组是线性相关的。8.3

14、维向量组1,2, 3,4 必线性相关。9. 若两个向量构成的向量组线性相关，则它们必成比例。三、解答题1.求下列各非齐次线性方程组的通解及对应齐次线性方程组的一个基础解系。x1x2x3x41x1x25x1x22x46(1)x1x2x3x40 ；(2)2x1x2x32x41；(3)x1x2x3x41x1x2 2x32x415x13x22x32x43x1x2x332x1x2x3x402.求齐次线性方程组x1x2x33x40 的基础解系与其通解。x1x22x33x40x1x2x3x413.已知线性方程组x13x25x3x43x1x23x35x4，求 k ，使得上述方程组有解，并求出所有的解。3x15

15、x2 11x312x4k4.讨论下列方程组中的参数，研究方程组的解。x1x2x33x1x2x3uux1x31(1)x1x2x32； (2)2x1x2x31 ；(3)x1ux2x3 1x1 x2x32x1 vx30x1x3v5. 求下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示(1)0,T, 1,1,2T, 1,0,1T1, 1；(2)T, 0,1,1,2TT, 1,1,1,1T3,3,1,2, 3,2,0,0；(3)1,1,T1,2,1,5T1,1,0, 3T3, 1,2, 5T12,1，2，3，4。TT3,T1,2, 2,T(4)11,0,1, 2，22, 4,0,3，34

16、, 3,5，41 ，T52,10,1,06. 判断下列向量组的等价性TTTTT(1)11,0,1 , 20,1,0 , 31,1,1 与 11,1,1,21,0,0 。21112112147.设矩阵 A622，求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组，并把不属于最大无关4436979组的列向量用该最大无关组线性表示。8.设1(6, a1, 3),2( a, 2,2),3(a, 1, 0) ，求 a 为何值时，（1）1 ,2 ,3 线性相关？（ 2）1,2 ,3 线性无关？9. 教材中的例题和不带 * 的习题。第三章相似矩阵与二次型一、填空题1. 3 阶方阵A 的特征值为 3,1,2 ，则 A_。

17、2.若3是可逆方阵 A 的一个特征值，则A 1 必有一个特征值为。3.设1,2 是分别属于方阵A 的不同特征值1 ,2的特征向量，则1, 2 必线性。02NM3QP_。的两个特征值为4.实对称矩阵 A LO25.设实数是实矩阵 A 的某个特征值，则可知矩阵BA32A2E 的某个特征值_ 。6.若已知 n 阶方阵 A 的行列式A2 ，2 是矩阵 A 的一个特征值，则其伴随矩阵A* 必有一个特征值为 _ 。7.若 n 阶方阵 A 与 B 相似，且A2，则 BA。8.设向量(1,5, k,1)T与向量(2k,3,2,k )T相互正交，则 k =。9.向量(1, 2,3) T与(1, 2, b) T

18、正交，则 b_。10.已知 3阶矩阵 A 的特征值为 1,1,2，则矩阵 BA32 A2的特征值为 _ 。1设对称矩阵A1，则与 A 对应的二次型为 _ 。11.112.设1 , 2 , n 是 n 阶矩阵 A 的 n 个特征值，则 A_ 。13.2312相似，则 x， y若x与4。y314.已知(1,1,0, 1),(1,2,0,1) 。则内积 (3,)。15.与 n 阶单位矩阵 E 相似的矩阵是。16.设1,2,a,4 ,4, b,2,1,若与正交 , 则 a,b 应满足的关系为。17.设 A 是幂零矩阵 , 即存在正整数 k ，使得 Ak0，则 A 的特征值为。18.设 A 为 n 阶方

19、阵，且 A25A6EO ，则 A 的特征值只能是_ _ 。1119.设向量11 和20 都是矩阵 A 对应特征值2 的特征向量，且向量12 2 ，01则向量 A。20.设 A 为 n 阶正交阵，则A 必可逆，且 A 1_ 。21.已知 2 是 A 的一个特征值，则| A2A6E |_ 。22.二次型 f5x26y24z24xy4xz 的秩为。21023.设实对称矩阵 A11a是二次型f ( x1 , x2 , x3 ) 的矩阵，则二次型f (x1, x2 , x3 )0a3(写成 x , x , x的多项式 ) 。12311a2324.11a为正交矩阵，则矩阵元素a, b 分别为 _。已知矩阵

20、 A3201b325.二次型 f ( x1 , x2 , x3 )2 x12x224 x1 x24 x2 x3 的秩为 _ 。26.二次型 f ( x1 , x2 , x3 )x123x22x322x1 x22x1x33x2 x3 的矩阵 _。127.设对称矩阵 A1，则与 A 对应的二次型为 _。128.设 A 为 n 阶正交阵，则A 必可逆，且 A 1_ 。29.设向量,分别为实对称阵A 的两个不同特征值1 , 2 所对应的特征向量，则(,) =_。二、判别说理题（错误的请举例说明，正确的请证明）1.相似矩阵的行列式相等。2.可逆矩阵的特征值一定不为零。3.若 是 n 阶矩阵 A 的特征值

21、，则2是 A2的特征值。4.设 A 为正交阵，则矩阵A 的实特征值满足等式：21 。5.设 A 为 n 阶方阵，则 A 与 AT 有相同的特征值。6.设矩阵 A 相似于矩阵 B , 则 A2与 B2也必相似。7.设 A , B 都是 n 阶方阵 , 若 A 与 B 相似 , 则 A 与 B 有相同的特征值。8.设 A , B 都是 n 阶方阵 , 若 A ,B 有相同的特征值 , 则 A 与 B 相似。9.若 A是正交方阵 ,则 A 1AT 也是正交阵，且A1或 1。10.设 A , B 都是 n 阶正交方阵 , 则 AB 也是 n 阶正交方阵。11.设 1 ,2 是矩阵 A 的两个不同的特征值 ,1,2 是对应的特征向量 , 则 12 也是 A 的特征向量。13.设 A ,B , C 都是 n 阶方阵 , 若 A 与 B 相似 ,B与C相似,则A与C相似。15.方阵 A 满足 A2A，则 AE 或 A0。16. 设 A , B 是 n 阶方阵 , 若 A , B 可逆 , 则 AB 可逆。17. 若矩阵 A 的秩为 r ，则