北京大学数学物理方法(下)课件_12 数学物理方程和定解条件

1、 12.4 边界条件与初始条件 初始条件 研究质点的性质时嬬 单由微分方程嬬 并不能求出质点性质随时间的变化孼 即任何时刻质点的性质嬮 例如嬬 根据 孎孥孷孴孯孮 定律并不能确定质点的运动孼 它在任意时刻的位置和速度嬬 我们还需要知道质点的初始位置和 初始速度嬮 对于描述介质运动的偏微分方程嬬 同样需要给出介质的初始状态嬬 才能决定介质以后任意时刻的物理状态嬮 介质的初始状态即由初始条件给出嬮 对于波动方程嬬 它是关于时间的二阶偏微分方程嬬 所以应该给出介质初始时刻各点的位移 u|t=0 嬽 嬨x, y, z 嬩 和初始时刻各点的速度嬬 即对时间的一阶偏导数 u t 嬽 嬨x, y, z 嬩

2、t=0 对 于 热 传 导 方 程嬬 由 于 方 程 中 只 出 现 对 t 的 一 阶 偏 导 数嬬 所 以 初 始 条 件 只 需 给 出 初 始 时 刻 各 点 温 度 u嬨x, y, z 嬩 的值 u|t=0 嬽 嬨x, y, z 嬩 稳定问题与时间无关嬬 则没有初始条件嬮 边界条件 对于介质嬬 情况比质点还要复杂嬺 除了初始条件嬬 还需要有边界条件嬮 这是因为介质有内部和表面嬮 在推导 介质满足的数理方程时嬬 只考虑了介质内部的点嬮 介质表面的点与介质内部的点不同嬺 首先嬬 它只在一侧与介 质内其它点相互作用嬻 其次嬬 在另一侧与外界有相互作用嬮 因此介质表面所满足的方程与介质内部所

3、满足的方 程不同嬬 应另外推导嬮 我们把介质表面各点满足的方程称为边界条件嬮 先以一维振动为例嬬 其边界由两端点组成嬮 Example 12.4 Solution 弦的横振动 如果弦的两端 嬨由外界嬩 固定嬬 那么边界条件就是 u|x=0 嬽 嬰 u|x=l 嬽 嬰 Example 12.5 Solution 杆的纵振动 如果 x 嬽 嬰 端固定嬬 而另一端 x 嬽 l 受 嬨x 方向的嬩 外力作用嬬 设单位面积上的力是 F 嬨t嬩 P 嬨l 孤x嬩S O l 孤x u|x=0 嬽 嬰 l F 嬨t嬩S x 嬽 嬰 端边界条件仍是 嬨嬱嬳嬩 x 嬽 l 这一端的边界条件并不能直接看出嬮 模仿推

4、导方程的方法嬬 在端点 x 嬽 l 处截取一小段杆嬬 长度为 孤x嬮 根据 孎孥孷孴孯孮 定律 2u 2u F 嬨t嬩S P 嬨l 孤x, t嬩S 嬽 孤m 2 嬽 S 孤x 2 t t 因为 孤x 嬰 F 嬨t嬩 嬽 P 嬨l, t嬩 嬶 根据 孈孯孯孫孥 定律 P 嬽E 所以 u x 如果 x 嬽 l 端是自由的嬬 F 嬨t嬩 嬽 嬰嬬 则 u x 如果外力为弹簧提供的弹性力嬬 F 嬨t嬩 嬽 k 孛u嬨l, t嬩 u0 孝 u0 为端点的平衡位移嬬 则 u k 嬫 u x E 再举一个三维例子嬬 其边界为一闭合曲面嬮 Example 12.6 Solution 热传导问题 嬽 x=l u

5、 x 嬱 F 嬨t嬩 E 嬨嬱嬴嬩 嬽 x=l 嬽嬰 x=l 嬨嬱嬵嬩 k u0 E 嬨嬱嬶嬩 第一种类型是边界上各点的温度已知 嬨由外界给定嬩 u| 嬽 嬨嬆, t嬩 嬨嬱嬷嬩 这里嬬 我们用 嬆 表示边界上的各点嬬 同时也表示相应点的坐标嬮 第二种类型是介质与外界通过表面嬨边界嬩有热量的交换嬬 单位时间内嬬 通过单位面积的边界面流入的热量 已知嬬 为 嬨嬆, t嬩嬬 由外界给定 qn | 嬽 嬨嬆, t嬩 n 为表面的法向嬬 负号表示方向与法向相反嬮 qn n qn 嬆 嬆 这时嬬 我们可在边界 嬆 的内侧截取一小薄层的介质嬬 它的另一个底面在介质内部嬬 其上的点用 嬆 表示嬮 当介 质薄

6、层的厚度 d 嬰 时嬬 则两底面的面积相等嬬 而侧面面积可忽略嬮 所以流入介质薄层的热量为两底面流入 热 量 之 和嬮 根 据 能 量 守 恒 定 律嬬 应 该 等 于 这 一 块 介 质 薄 层 温 度 升 高 所 需 要 的 热 量嬮 假 设 薄 层 的 底 面 积 为 单 位 面 积 qn | qn | 嬽 热容量 × 温度升高 但介质薄层的厚度 嬰 时嬬 显然其热容量 嬰嬬 所以 qn | qn | 嬽 嬰 嬷 即通过介质表面流入的热量嬬 应当全部通过薄层的另一底面流向介质内部嬮 由 孆孯孵孲孩孥孲 定律嬬 热流密度矢量 q 嬽 k u 而 qn 嬽 q · n 嬽

7、 k n · 嬨u嬩 嬽 k 其中法向导数定义为 n· n 所以 k k 嬆 嬆嬬 故 u n 如果边界绝热嬬 嬽 嬰嬬 则 u n 嬽嬰 u n u n qn | 嬽 嬰 u n 嬫 嬨嬆, t嬩 嬽 嬰 嬽 嬱 嬨嬆, t嬩 k 嬨嬱嬸嬩 嬨嬱嬹嬩 第三种类型则是介质通过边界散热嬮 散热按 孎孥孷孴孯孮 冷却定律嬺 单位时间通过单位面积的表面和外界交换 的热量嬬 和介质表面温度 u| 与外界温度 u0 之差成正比 嬨嬆, t嬩 嬽 H 嬨u| u0 嬩 H 为比例系数嬮 边界条件就是 u 嬫 hu n h嬽 H k 嬽 hu0 嬨嬲嬰嬩 总结 在上面的讨论中出现的边界条

8、件有一个共同特点嬺 就未知函数而言嬬 它们都是线性的嬮 再进一步细分嬬 可以 分成三类嬺 1 第一类边界条件 给出边界上各点的函数值 u| 嬽 嬨嬆, t嬩 第二类边界条件 给出边界上各点函数的法向导数值 u n 嬽 嬨嬆, t嬩 嬨嬲嬱嬩 嬨嬲嬲嬩 第三类边界条件 给出边界上各点函数值与法向导数值之间的线性关系 u 嬫 hu n 1 另外还有周期性边界条件, 嬽 嬨嬆, t嬩 嬨嬲嬳嬩 它是做数学处理时人为引进的. 嬸 边界条件和初始条件统称为定解条件嬮 在处理实际的数学物理方程时嬬 归结为在一定的定解条件下求解一 定的偏微分方程嬮 定解条件必须是适当的嬬 应使问题求解满足嬺 解的存在性孼问

9、题一定有解嬻 解的唯一性孼问题的解是唯一 的嬻 以及解的稳定性嬮 如果在求解数理方程的过程中 嬨假设方程是合理的嬩嬬 解不存在嬬 则可能是定解条件过多嬮 若解出几个解嬬 则可能是定解条件太少嬮 Problems 嬱嬮 一长为l、横截面积为S 的均匀弹性杆，已知一端嬨x 嬽 嬰嬩固定，另一端嬨x 嬽 l嬩 在杆轴方向上受拉力F 作 用而得到平衡嬨见图嬱嬩在t 嬽 嬰时，撤去外力F 试列出杆的纵振动所满足的方程、边界条件和初始条 件 F x嬽嬰 x嬽l 孆孩孧孵孲孥 嬱嬺 嬲嬮 在铀块中，除了中子的扩散运动外，还存在中子的吸收和增殖过程设在单位时间内、单位体积中吸 收和增殖的中子数均正比于该时刻、该处的中子浓度u嬨r , t嬩，因而净增中子数可表为u嬨r , t嬩， 为比 例常数试导出u嬨r , t嬩所满足的偏微分方程 嬳嬮 有长为l的均匀细杆，现通过其两端，在单