专题二平行四边形常用辅助线的作法排

1、专题讲义平行四边形+几何辅助线的作法、知识点和与外角和定理:四边形的1鼻内角和等于360°(2)四边形的外角和等于 360° .2.多边形的内角和与外角和定理:(1) n边形的内角和等于(n-2)180 ° ;(2) 任意多边形的外角和等于 360° .C1""b3.平行四边形的性质:性质四边形ABCD是平行四边形DC判定(1)两组对边分别平行; 两组对边分别相等; 两组对角分别相等; 对角线互相平分； 邻角互补.(2)(3)(4)(5)4、A平行四边形判定方法的选择5、和平行四边形有关的辅助线作法(1)利用一组对边平行且相等构造平行

2、四边形例1、如图，已知点0是平行四边形ABCD勺对角线AC的中点，四边形OCD是平行四边形.求证:OE与AD互相平分.说明：当已知条件中涉及到平行，且要求(2)利用两组对边平行构造平行四边形证的结论中和平行四边形的性质有关， 可例2、如图，在 ABC中，E、F为AB上两点I试通过添加辅助线构造平行四BC分别为D, G. 求证：ED+FG=AC.(3)禾用对角线互相平分构造平行四边形 例3、如图，已知 AD是 ABC的中线，BE交A说明：当图形中涉及到一组对边平C于时,交可通过作平行线构造另一证BF=AC.对边平行，得到平行四边形解决问(4)连结对角线，把平行四边形转化成两个全等二角形:。本题通

3、过利用对角线互相平分构造平行 四边形，实际上是采用了平移法构造平行四边 例4、如图，在平行四边形ABCD中，点E,F在对角线AC上，且AE CF ,请你以F为一 形.当已知中点或中线应思考这种方法.个端点,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)12，A、 1 m 11B 、2 m 22C、10 m 12(6)过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。例6、已知：如图，四边形 ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2(7)延长一边中点与顶点连线，把平行四边形转化为三角形。例7、

4、已知：如右上图4，在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF交A占八、图2于P点，求证：AP AB二、课堂练习:若平行四边形ABCDBE1、如图，E是平行四边形ABCD的边AB的中点，AC与DE相交的面积为S，则图中面积为丄S的三角形有(2A. 1个 B . 2个2、顺次连接一个任意四边形四边的中点，得到一个四边形.0明BEeAD=63、如图，AD, BC垂直相交于点 0, AB/ CD，BC=8则AB+CD勺长=4、已知等边三角形 ABC的边长为a，P是 ABC内一点，PD/ AB, PE/ BC PF / AC,点D、E、F 分别在 BC、AC AB上，猜想：P»

5、;PE+PF=猜想.图35、平行四边形ABCD中,E,G,F,H分别是四条边上的点，且厂AE CF , BC DH ,试说明：EF与GH相互平分.&如图，平行四边形 ABCD勺对角线AC和BD交于0, E、任作一直线分别交AB CD于G、H.试说明：GF/ EH7、如图，已知AB AC , B是AD的中点，E是AB的中点.试说明：CD 2CEDAHCBA8、如图，E是梯形ABC® DC的中点.试说明：S ABE 2S梯形ABCDE9、 已知六边形ABCDEF勺6个内角均为120°，CD= 2cm, BO8cm，巳5m 试flcD求此六边形的周长.10、已知 ABC是

6、等腰三角形，AB=AC D是BC边上的任一点，且DF AC,CH AB，垂足分别为 E、F、H,求证：DE DF CH11、已知：在 Rt ABC 中，AB BC ;在 Rt ADE 中，AD DE ;连结 E En二 G取EC的中点Fe答案:例4、连结DM和BM .若点D在边AC上，点E在边AB上且与点B不重合，如图,求证：BM DM 且 BM DM ；如果将图8-中的ADE绕点A逆时针旋转小于45°的角，如图，那么（1）中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明.图连结BFBFDE证明：连结DB,DF ,设DB, AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 AO

7、OC, DO OB AE FC AOAE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形 BFDE例5、解：将线段DB沿DC方向平移，使得DBCE , DCBE,则有四边形CDBE为平行在 ACE 中,AC12, CEBD10,AE 2AB 2m12 10 2m1210,即 22m22解得1 m 11故选A例6、证明：过A,D分别作AEBC于点E，DFBC的延长线于点F AC2 AE2 CE2AB2 BE2 (BCBE)2AB2 BC2 2BE BC贝U AC2 BD2 AB2BC2 CD2DA22BC CF 2BC BE四边形,四边形ABCD为平行四边形CD 且 AB二 AB /CD

8、, AD BCABC DCFAEBDFC90°二 BE CF二 ABE DCF AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2 例7、证明：延长CF交BA的延长线于点四边形ABCD为正方形 AB/ CD 且 AB CD,CD AD ,BADBCD900又D DAK90°, DF AFCDF 也 KAF AKCDAB CE CD DF2 ，-AD2 CEDFBCDD 900CDF90°3900CPB90°,则KPB 900二 AP AB二、课堂练习1、 C2 、平行、105、分析:形，根据平行四边形的对角线互相平分这一性质即可得到EF与GH相互平分。6分析

9、:观察图形，GF与 EH为四边形GEHF的对边，若能说明四边形EHG是平行四观察图形，EF与HG为四边形HEGF的对角线，若能说明四边形 HEGF是平行四边平行四边形具有对边平行的性质可得 GF/ EH7、分析:延长CE至F,使EF= CE连结AF、BF,得四边形AFBC是平行四边形，利用平行四边形的性质证明 DB0A FBC即可。8、分析:形,过点E作MN/ AB交BC于N,交AD的延长线于M,贝U四边形 AB百7Br -） abe与四边形abnm等底等高，所以Saabe= Is 平行四边形abnm 接下来说明 2S梯形ABCD= S平行四边形ABnMI卩可。9、10、证明：过D点作DGIC

10、H于 G11、又 DEI AB于 E, cm AB于 H四边形DGH为矩形 DE= GH EH / DG/ B=/ GDC/ B=/ ACB/ GD&/ ACB又/ DG&/ DFC= 90° CD3A DCF（AAS DF= CG又 CH= CG+ GHCH= DF+ DG （等量代换）CD = DC （公共边）平行四边形中常用辅助线的添法平行四边形（包括矩形、正方形、菱形）的两组对边、对角和对角线都具有某些相同 性质，所以在添辅助线方法上也有共同之处，目的都是造就线段的平行、垂直，构成 三角形的全等、相似，把平行四边形问题转化成常见的三角形、正方形等问题处理， 其

11、常用方法有下列几种，举例简解如下：连对角线或平移对角线: 过顶点作对边的垂线构造直角三角形 连接对角线交点与一边中点，或过对角线交点作一边的平行线，构造线段平行或中位线(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段，构造三角形相似或等积三角形。(5 )过顶点作对角线的垂线，构成线段平行或三角形全等第一类：连结对角线，把平行四边形转化成两个全等三角形。例1如左下图1，在平行四边形ABCD中，点E, F在对角线AC上，且AE CF ,请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中 已有的某一条线段相等(只需证明一条线段即可)连结BFBF DE证明：连结DB,DF ,

12、设DB, AC交于点0四边形ABCD为平行四边形 A0 0C, DO OB AE FC AO AE OC FC 即 OE OF四边形EBFD为平行四边形 BF DE第二类：平移对角线，把平行四边形转化为梯形。AC和BD相交于点0,如果AC 12，例2如右图2,在平行四边形ABCD中，对角线BD 10，AB m，那么m的取值范围是()D 5 m 6BE,则有四边形CDBE为平行四 2m1112DCA1 m 11 B 2 m 22 C 10 m解：将线段DB沿DC方向平移，使得DB CE,故选A边形，在 ACE 中，AC 12, CE BD 10, AE 2AB 12 10 2m 12 10，即

13、2 2m 22 解得 1 m 第三类：过一边两端点作对边的垂线，把平行四边形转化为矩形和直角三角形问题。 例3已知：如左下图3,四边形ABCD为平行四边形求证：AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2证明：过A,D分别作AE BC于点E，DFBC的延长线于点F AC2 AE2 CE2 AB2 BE2 (BC BE)2 AB2 BC2 2BE BC2BC CF 2BC BE贝 U AC2 BD2 AB2 BC2 CD2 DA2四边形ABCD为平行四边形 AB/ CD 且 AB CD , AD BCABC DCFAEBDFC 90° ABE DCF BE CF2 2 2 2- AC

14、BD AB BCCD2DA2第四类：延长一边中点与顶点连线,把平行四边形转化为三角形。例4:已知：如右上图4,在正方形ABCD中，E,F分别是CD、DA的中点，BE与CF 交于P点，求证：AP AB证明：延长CF交BA的延长线于点K四边形ABCD为正方形 AB/ CD 且 AB CD , CD AD , BAD BCD90°又D DAK 90°, DF AFCDF 也 KAF AKCDAB CE IcD DF2 ，-AD2 CEDFBCD0D 90CDF90°3900CPB90°,则KPB 900 AP AB第五类：延长一边上一点与一顶点连线，把平行四边形转化为平行线型相似三角形。例5如左下图5,在平行四边形ABCD中，点E为边CD上任一点，请你在该图基础上， 适当添加辅助线找出两对相似三角形。解：延长 AE与BC的延长线相交于 F，则有 AED s fEC , FAB s fEC , AED s FAB构造三角形中位线1ABCD 中，AN BN, BE - BC , nE 3第六类：把对角线交点与一边中点连结，例6已知：如右上图6,在平行四边形