相似三角形分类整理(超全)

1、第一节：相似形与相似三角形基本概念：1.相似形：对应角相等，对应边成比例的两个多边形， 我们称它们互为相似形。=> 2.相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形。1.几个重要概念与性质(平行线分线段成比例定理(1)平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例已知a / b /c,AB可得BCcDE-AB DE _ BC EF- BC EF或 或 或 EF AC DF AB DF AC DF DE EF 等(2)A推论：平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例AD AE BD EC AD或或DE/ BC可得：DB

2、EC AD EA AB AC .此推论较原定理应用更加广泛条件是平行.(3)推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边 例.那么这条直线平行于三角形的第三边.(或两边的延长线)所得的对应线段成比此定理给出了一种证明两直线平行方法，即：利用比例式证平行线.(4)定理：平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线 ，所截的三角形的三边与原三角 形三边对应成比例.(5)平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。比例线段：四条线段a ca, b, c, d中，如果a与b的比等于c与d的比，即一=一,b d那么这四条线段a, b, 2 .比例的有关性质c, d叫做成比例线段，简称

3、比例线段。比例的基本性质:如果ad=bc。如果 ad=bc (a, b, c, d 都不等于 0),那合比性质：如果等比性质：如果 = ?=' (b+d+ ? ? ? +n 0),那么 d na c ? m ab d ? n bb是线段a、d的比例中项，则 b2= ad.典例剖析例1:在比例尺是1: 38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约7cm,则它的实际长度约为 Km.b 3贝U a： b=a 2b 9=2ab 5相似三角形的判定如果两个三角形的两角分别于另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似。两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。三边对应成比例的两个三

4、角形相似。补充：相似三角形的识别方法(1)定义法：三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形相似。(2)平行线法：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。注意：适用此方法的基本图形，(简记为A型，X型)(3)三边对应成比例的两个三角形相似。(4)两边对应成比例并且它们的夹角也相等的两个三角形相似。(5)两角对应相等的两个三角形相似。(6)一条直角边和斜边长对应成比例的两个直角三角形相似。(7)被斜边上的高分成的两个直角三角形与原直角三角形相似。【基础练习】(1)(2)(3)如图如图如图1,2,3,时，AABCs A ADE时， AABCs AAEDo

5、时， AABCs AACDo小结：以上三类归为基本图形：母子型或（3）如图4,如图1,当AB/ED时，则4（4）如图5,当时，则4O小结：此类图开为基本图开：兄弟型或X型典例剖析例1:判断所有的等腰三角形都相似.所有的直角三角形都相似.所有的等边三角形都相似.所有的等腰直角三角形都相似.) ) ) )例2:于F求证:如图， ABC中，AD是/ BAC的平分线，AD的垂直平分线交 AD于E,交BC的延长线 ABFs ACAF.例3:如图：在 Rt ABC 中， /ABC=90° , BD± AC 于 D,若 AB=6 ; AD=2;AC=例3:如图：在 Rt ABC中， /A

6、BC=90° , BDLAC于D ,若E是BC中点, 长线交BA的延长线于F,求证：AB : AC=DF : BF第二节：相似三角形的判定（一）相似三角形：定义1、对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.温馨提示：当且仅当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；对应中线之比、对应高之比、对应角平线之比等于相似比。两个钝角三角形是否相似，首先要满足两个钝角相等的条件。2、相似三角形对应边的比叫做相似比.温馨提示：全等

7、三角形一定是相似三角形，其相似比k=1 .所以全等三角形是相似三角形的特例.其区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.相似比具有顺序性.例如ABCs A A B'的对应边的比，即相似比为k,则 A' B'CABC的相似比上，当且仅当它们全等时，才有 k=k' =1相似比是一个重要概念，后继学习时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边 形.4、相似三角形的预备定理：如果一条直线平行于三角形的一条边，且这条直线与原三角形的两

8、 条边（或其延长线）分别相交，那么所构成的三角形与原三角形相似.温馨提示：定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：DE/ BC, ABCs ADE;这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理.它不但本身有着广泛的应用，同时也是证明下节相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理”；有了预备定理后，在解题时不但要想到上一节见平行，想比例”，还要想到 见平行，想相似” .（二）相似三角形的判定1、相似三角形的判定：判定定理（1）:两角对应相等，两三角形相似.判定定理（2）:两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.判定定理（3）:三边对应成比例，两三角形相似. 温馨提示：有平行线

9、时，用上节学习的预备定理；已有一对对应角相等（包括隐含的公共角或对顶角）时，可考虑利用判定定理 1或判定定理2；已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理2或判定定理3.但是，在选择利用判定定理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.例1.如图三角形ABC中，点E为BC的中点，过点 E作一条直线交 AB于D 点，与AC的延长 线将于F点，且FD=3ED,求证：AF=3CF2、直角三角形相似的判定：斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.温馨提示：由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理 1,或两条直角边对应成比例，用判定

10、定理2, 一般不用判定定理 3判定两个直角三角形相似；如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为 母子相似三角形”,其应用较为广泛.直角三角形的身射影定理：AC2=AD*ABCD2=AD*BD如图，可简单记为：在RtAABC中，CD, AB,则 ABCs CBMAACD.BC2=BD*AB总结：寻找相似三角形对应元素的方法与技巧正确寻找相似三角形的对应元素是分析与解决相似三角形问题的一项基本功.通常有以下几种方法：(1)相似三角形有公共角或对顶角时，公共角或对顶角是最明显的对应角；相似三角形中最 大的角(或最小的角)一定是对应角；相似三角形中，一对相等的角是对应角，对应角所

11、对的边是 对应边，对应角的夹边是对应边；(2)相似三角形中，一对最长的边 (或最短的边)一定是对应边；对应边所对的角是对应角；对 应边所夹的角是对应角.2、常见的相似三角形的基本图形：学习三角形相似的判定， 要与三角形全等的判定相比较，把证明三角形全等的思想方法迁移到相似三角形中来；对一些出现频率较高的图形，要善于归纳和记忆；对相似三角形的判定思路要善于总结，形成一整套完整的判定方法.如：(1)平行线型”相似三角形，基本图形见上节图.见平行，想相似”是解这类题的基本思路；(2)相交线型”相似三角形，如上图.其中各图中都有一个公共角或对顶角.见一对等角，找另一对等角或夹等角的两边成比例”是解这类

12、题的基本思路；(3)旋转型”相似三角形，如图.若图中/1 = /2, / B=/D(或/ C=/ E),则 ADEsABC,该图可看成把第一个图中的ADE绕点A旋转某一角度而形成的.第三节 相似三角形中的辅助线一、作平行线例1.如图， ABC的AB边和AC边上各取一点 D和E,且使AD=AE, DE延长线与BC延长线BF相交于F,求证：BDCE例2.如图， ABC中, 明：AB DF=AC - EF。AB<AC,在AB、AC上分别截取 BD=CE DE, BC的延长线相交于点 F,证ADCF二、作垂线例3.如图从OABCD顶点C向AB和AD的延长线引垂线 CE和CF,垂足分别为 E、F,

13、求证:AB AE AD AF AC2三、作延长线例4.如图，在梯形 ABCD中，AD/BC,若/ BCD的平分线 CHXAB于点H, BH=3AH,且四边形 AHCD的面积为21,求AHBC的面积。例5.如图,Rt ABC中，CD为斜边 AB上的高，E为CD的中点，AE的延长线交 BC于F, FG AB于G,求证:2_FG =CF?BFc四、作中线例6如图,ABC 中，AB± AC, AE± BC 于 E, D 在 AC 边上，若 BD=DC=EC=1 求 AC。五、过渡法（或叫代换法）过渡”，其主要类型有三种,有些习题无论如何也构造不出相似三角形，这就要考虑灵活地运用 下

14、面分情况说明.等量过渡法（等线段代换法）遇到三点定形法无法解决欲证的问题时，即如果线段比例式中的四条线段都在图形中的同一条直线上，不能组成三角形，或四条线段虽然组成两个三角形，但这两个三角形并不相似，那就需要根据已知条件找到与比例式中某条线段相等的一条线段来代替这条线段，如果没有，可考虑添加简单的辅助线。然后再应用三点定形法确定相似三角形。只要代换得当，问题往往可以得到解决。当然，还要注意最后将代换的线段再代换回来。例1:如图3, AABC中，AD平分/ BAC, AD的垂直平分线 FE交BC的延长线于 E.求证：DE2 =BE CE.等比过渡法（等比代换法）当用三点定形法不能确定三角形，同时

15、也无等线段代换时，可以考虑用等比代换法，即考虑利用第三组线段的比为比例式搭桥，也就是通过对已知条件或图形的深入分析，找到与求证的结论中某个比相等的比，并进行代换，然后再用三点定形法来确定三角形。例2:如图4,在AABC中，/ BAC=90 , ADXBC, E是AC的中点，ED交AB的延长线于点 F.求、工 AB DF证：AC AF3、等积过渡法（等积代换法）思考问题的基本途径是：用三点定形法确定两个三角形，然后通过三角形相似推出线段成比例;若三点定形法不能确定两个相似三角形，则考虑用等量（线段）代换，或用等比代换，然后再用 三点定形法确定相似三角形，若以上三种方法行不通时，则考虑用等积代换法

16、。例3:如图5,在AABC中，/ ACB=90 , CD是斜边 AB上的高，G是DC延长线上一点，过B作BEX AG,垂足为 E,交CD于点F.求证：CD2= DF DG.六、证比例式和等积式的方法：对线段比例式或等积式的证明： 常用 三点定形法”、等线段替换法、中间比过渡法、面积法等.若 比例式或等积式所涉及的线段在同一直线上时，应将线段比转移”必要时需添辅助线），使其分别构成两个相似三角形来证明.例1 如图5在AABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，DF,AB于F,交AC的延长线于 H, 交BE于G,求证：（1）FG / FA= FB / FH （2）FD是FG与FH的比例中项.例

17、2 如图在 AABC中，AD是BC边上的中线,AN: AB的值；M是AD的中点，CM的延长钱% AB于E.求:B 图 5 D CBDC例3如图过 ABC的顶点C任作一直线与边AB及中线AD分别交于点F和E.过点D作DM IIFC交 AB于点 M . (1)若 Saef： S四边形 mdef=2: 3,求 AE: ED;(2)求证：AE XFB= 2AF>ED第四节 相似三角形难题集一、分类讨论：例1如图在正方形 ABCD的边长为1,P是CD边的中点，Q在线段BC上，当BQ为何值时，AADP 与 QCP相似例2 如图在梯形 ABCD中，AD/BC, /A= 900, AB= 7 , AD=

18、2, BC= 3.试在边 AB上确定点 P 的位置，使得以 P、A、D为顶点的三角形与以 P、B、C为顶点的三角形相似.:相似三角形中的动点问题:1 .如图，在 RtAABC中，/ACB=90°, AC=3, BC=4,过点B作射线 BB1/AC.动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动.过点D作DHLAB于H,过点E作EF, AC交射线BB1于F, G是EF中点，连接DG.设点D运动的时间为t秒.(1)当t为何值时，AD=AB,并求出此时 DE的长度;(2)当ADEG与AACB相似时，求t的值.2 .如图，在 A

19、ABC中，/ABC= 90°, AB=6m, BC=8m,动点P以2m/s的速度从 A点出发，沿 AC向点C移动.同时，动点 Q以1m/s的速度从C点出发，沿 CB向点B移动.当其中有一点到达终点时，它们都停止移动.设移动的时间为t秒.(1)当t=时，求ACPQ的面积； 求ACPQ的面积S (平方米)关于时间 t (秒)的函数解析式；(2)在P, Q移动的过程中，当 ACPQ为等腰三角形时，求出 t的值.3 .如图 1,在 RtAABC 中，/ACB= 90°, AC= 6, BC= 8,点 D 在边 AB上运动，DE平分 ,CDB交边BC于点E, EM± BD,

20、垂足为 M, ENXCD,垂足为N.(1)当 AD=CD时，求证：DE/ AC;(2)探究：AD为何值时， ABME与ACNE相似4 .如图所示，在 ABC中，BA= BC= 20cm, AC= 30cm ,点P从A点出发， 沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动；同时点 Q从C点出发，沿 CA以 每秒3cm的速度向A点运动，当P点到达B点时，Q点随之停止运动. 设 运动的时间为x.(1)当x为何值时，PQ/ BC(2) AAPQ与 CQB能否相似若能，求出 AP的长；若不能说明理由.5 .如图，在矩形 ABCD中，AB=12cm, BC=6cm,点P沿AB边从A开始向点 B以2cm/s的速度移

21、 动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果 P、Q同时出发，用t (s)表示 移动的时间(0<t<6)。(1)当t为何值时，AQAP为等腰直角三角形(2)当t为何值时，以点 Q、A、P为顶点的三角形与 AABC相似7.在 ABC 中，AB=2"弓，AC=4,三、构造相似辅助线 双垂直模型6 .在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(2, 1),正比例函数 y=kx的图象与线段OA的夹角是45。，求这个正比例函数的表达式.BC=2,以AB为边在C点的异侧作 AABD,使AABD为等腰直角三角形，求线段 CD的长.8.在AABC中，AC=BG / ACB=90°,点M是AC上的一点，点 N是BC