高等代数课程习题

1、高等代数课程习题第1章行列式习题1.11 .计算下列二阶行列式:习题1.2(1)3 61 2cosx sinx(3) sin x cosxx 1x31 x2 x 12 a3 asin5)b2ab2(6)sin(2)2.计算下列三阶行列式:coscos2(1) 310a0(2)b0c0d0(7)1 lOga b logb a 3a 0 b(3) 0 e 0c 0 d(4)x1x20yy2000z1 4 7(5) 8 2 59 6 3011(6)1 011100 0 100 2 0 3(1)3 0 5 07 6 10 43.用定义计算行列式:(2)1 22123112003410100010002

2、00(3)030004000000005(4)0010c 11 dXiX2X32XiX2X302x1X23x30(2)Xi2x2X31Xi2x25x302x13 X2X324.用方程组求解公式解下列方程组1.计算下列行列式:101273041655211(2)446(3)582(4)565321108151063556(1)2 .计算行列式(1)(2)(3)1112203129813992(5)3 .用行列式的性质证明:(1)2aabb2a12b(ab)3a2a3b1b2b3b1 b2 b3C1c2C3C1a1a1c2a2a2C3a3a3b1 b2 b3c1c2C34 .试求下列方程的根：(2

3、)5 .计算下列行列(3)(4)abacaebdcddebfcfef(2)a1a10a2a2an1an1xaaaxa(5)aax1.解下列方程组5x1 2x2 3x32(1) 2x1 2x2 5x30(2)3x1 4x2 2x310(6)ab00ab000b00习题1.30000a b0 axix2x3x4 5xi2x2x34x422x13x2x35x423x1x22x311x402. k取何值时，下列齐次线性方程组可能有非零:x1x2kx30(1)x1kx2x30kx1(2)xix2kx2x3x3xi x2 2x303x1 x2 x3习题五1.41 .计算下列行列式(1)(2)(4)2.用克

4、莱姆法则解线性方程2x1 x2 x34(1) 3x1 4x2 2x3113x1 2x2 4x3113.当入为何值时，方程组可能存在非零解?(3)bb2Dn1(2)x1x2a1ab1x352x1 x2 xx1 2x2 xa2a2a23x41x1 2x3 3x4x4 23anananbnxix2x30xi2x2X30xix2x304.证明下列各等式abb22a2b(a b)22 a b22 c(a (b (c1)1)1)(a (b (c2)2)2)4(b a)(c a)(b c)a2 a4 abb2b4c2 c4 cdd2d4(ab)(ac)(ad)(b c)(b d)(c d)(a b cd)5

5、.试求一个2次多项式f(x)，满足f(1) 0, f( 1) 1,f(2)1.第2章矩阵2.2求 3A-2B+C。2.已知3X求矩阵X。3 .计算下列矩阵(1)(2)(3)(4)4.设(5)131022111121A 111, B 1311112 12求(1) AB 3B;(2) ABBA;5 .已知2_ 2(3) (A B) (A+B) ; (4) A B习题 2.51.用 A1设 f (x) =x22x1,求 f (A)。一 ，/一1 一6 .如果A (B E),证明a2=a的充要条件是b2=E。21217 .设 A 312020(1)计算行列式|(2AB)T+B|的值.(2)求行列式|A

6、3-A|.8 .证明：(ABC)T=CTBTAT习题 2.3用分块矩阵的乘法计算下列各题120 00010 001 A 002 100012100101求AB.2000002. A 0000 021 00 1B 1 00 13 20000001021211112 00000B000002求 ABA.4*求矩阵的逆矩阵 |A|123,其中 ad be* 0;(2)(3) A 12.用矩阵的初等变换求逆矩阵(2)(4)3.设Ak=0,其中A为方阵，k为大于1的某个正整数(2)5.若A为非退化矩阵，并且AB=BA,试证:A-1B=BA -12.61.求下列矩阵的秩(2) 2 7(E-A)-1=E+A

7、+A(1) 1+Ak-14.解下列矩阵方程1122102151(3)20313110412.问能否适当选取矩阵1A310100 11000(4) 0 1 1 0 0 00110 0101121363942kk 的值,使 (1) r(A)=1,(2) r(A)=2,(3) r(A)=3.3 .试证明：r(A) r(B).AO rOB题 2.7121.设 A 3 x , B4yu1v 3,C252w1 3 , 且 A+B=C , 求 x， y， u， v， w， t2t。2计算（1）3. 求逆矩阵:31001； ( 2)00n110010001n>0)(1) 3(2)320102211232

8、01214 . 求矩阵的秩:1122102151203131104131(1) 11130221 ; (2)444235 . 已知矩阵A 11 0123(1)设 AX-2A+5E=0,求 X.(2)设 AX=A+2X,求 X.0 ,P132 ,求 A 与 A100.116 .已知AP=PB,其中 B 007 .设A为3阶方阵,A*为A的伴随矩阵，AT为A的转置矩阵，A-1为A的逆矩阵，若行列式|A|二4,1 T 1求行列式|(AT) 1 (3A)* |的值.，一1(2)求行列式|(- A)* |.8 .设A是n阶方阵，E是n阶单位矩阵，A+E是可逆矩阵，且f (A)=(E-A)(E+A)-1,

9、求f (f (A).9 .证明cb2a d20,22b cd2b2、判断下列方程组是否有解，若有解,用高斯消元法求出一般解。4x1 2x2 x32(1) 3X1 X2 2x31011X1 3X282x1 x2(2)4x12x12X2X32X3X4X4X2X3X42x13x2X34X12x24x353x18x22X3134x1X29X36(3)(4)2x13x1X22x2X3.求齐次线性方程组3x12x15x23x2X14x2X33x3X4 3x4 5x4X14x17x15xX3 5x3 4x3 7x32x4X4 3x4 9x4的通解。d210 .设A为n阶满秩方阵(n> 2),A*为A的

10、伴随矩阵，求证(A*)*=|A|第3章线性方程组习题3.13 .问k取何值时，线性方程组kx1x2x3x1kx2x3kx1 x2kx3k 2无解？有唯一解？有无穷多个解？有解时并求出它的解。4当 k 取何值时，线性方程组(k2)x13x22x30x1(k8)x22x302x114x2(k3)x30有非零解？并求出它的一般解。习 题 3.21.设向量3, 5,7, 9 ,1, 5, 2,0(1)若 “+ 丫 = 3,求丫；(2)若 3a-2 丫 =5 3 ,求丫.2将下列向量用其余向量线 性表示：(1) “1=(1 ,1,-1)T, “2=(1, 2, 1)T , “3=(0,0, 1)T,3=

11、(1, 0, -2)T；(2) "1=(1,1,1, 1)T, a 2=(1, 1,-1, -1)T , a3=(1, -1,1, -1)T, “4=(1, -1, -1, 1)T3=(1, 2, 1, 1)T。3判断下列向量组 的 线 性相关性：(1) a 1=(1 , 1, 1)T, a 2=(0, 2, 5)T , a 3=(1 , 3, 6)T；(2) a1=(2, -1, 3)T,a2=(3, -1 , 5)T , a3=(1 , -4, 3)T(3) a1=(4, 3,-1,1,-1)T,a 2=(2, 1, -3,2, -5)T , a 3=(1 ,5,2,-2,6)T

12、,a 4=(1 , -3, 0, 1, -2)T。(4) 证：(1)若 oc1,a 2,3 3线性无关，则 2 a 1+ a 2, a 2+5a3,4 a 3+3 a1 线性无关。(2)右a1,a 2,3 3线性无关，则a 1, a 1+ a 2,a1+ a2+ a 3线性无关。习 题 3.31. 求下列向量组的秩和它的一个极大无关组:(1) "1=(2,1,1)T, “2=(1, 2, -1)T , “3=(-2, 3, 0)T；(2) "1=(2,1,3, -1)T, a 2=(3, -1, 2, 0)T , “3=(1, 3,4, -2)T,“4=(4, -3, 1,

13、 1)T2 求下列向量组的秩及其一个极大无关组, 并把其余向量用极大无关组表示：(1) "1=(1, -1, 2, 4)T, a 2=(0, 3, 1, 2)T , a 3=(3, 0, 7, 14)T, “4=(1, -1, 2, 3)T(2) "1=(1, 1, 1)T, a 2=(1 , 1, 0)T , “3=(1, 0, 0)T, “4=(1, -2, -3)T(3) 设向量组1 , 2, r 与向量组1 , 2 , , r , r 1 , s(s>r) 有相同的秩, 证明 : 向量组1, 2,，与向量组 1, 2, r, r 1, s 等价.习 题 3.4

14、Xn 11.V1X(X，X2,Xn )|X1，X2, Xn R俩XX2Xn0V2 x (x1,x2, ,xn)|x1,x2, ,xn R 满足 x1 x2问Vl,V2是否是向量空间？为什么？2 .试证：由向量“1=(0,1, 1)T,“2=(1, 0, 1)T ,"3=(1,1, 0)T所生成的向量空 间就是R3.3 .验证 a 1=(1 , -1 , 0)T,a 2=(2 ,1 , 3)T , a 3=(3,1 , 2)T 为R3 的一个基，并把 3 1=(5 , 0, 7)T,32=(-9， -8， -13)T 用 这个基线性表示。习 题 3.51求下列齐次线性方程组的一个基础解

15、系和它的通解：3x11)3x13x13)2x2 5x3 4x40x2 3x3 3x405x213x3 11x402x14x25x33x402)3x16x24x32x404x18x217x311x402x15x2x33x403x14x22x3x40x12x2x33x402x1 15x2 6x3 13x401)3x13)2x15x1x2x3x42x2 2x3 3x42x12x1x2x2x3 2x4x33x412142)x2x3x43x1 2x2 x3 3x4 42x1 3x2x35x45x1 10x2 2x3 x421x1 4x2 3x32x4 12x1 4x2 9x3 3x4162求下列方程组的

16、通解：x1 4x2 3x3 5x42题 3.61. 判断下列向量组的线性相关性, 并求秩和一个极大无关组:(1) a 1=(1, 2, -1,4)T, a 2=(9, 100, 10, 4)T , a 3=(-2, -4, 2, -8)T；(2) a 1=(1 ,2,1,3)T,a2=(4,-1, -5, -6)T , a 3=(1 , -3, -4,-7)T,a 4=(2, 1,-1 , 0)T(3) a 1=(1 ,1,1, 1)T,a2=(1 ,1,-1, -1)T , a 3=(1 , -1 , -1 ,1)T, a4=(-1 , -1 ,-1 , 1)T, 并将组中其余向量由极大无关

17、组线性表示2. 求下列向量组的一个极大无关组(1)“1=(1, 1, 3, 1)T, a 2=(-1, 1,-1, 3)T a 3=(-1 , 3, 1, 7)T, a 4=(-1 , 3, 1, 7)T(2) a 1=(1 , 1, 2, 3)T, a 2=(1 , -1,kx1x2 2x33x4k1 2x13x22x3 x43k x1x2 2x3x4有解 ？并求它的全部解4 .问a,b为何值时方程组Xi X2 X3 X4 X513xi2x2X3X43x5aX2 2X3 2X4 6X535Xi4x23x33x4X5b相容？相容时求出它的全部解.5 .试证两个等价向量组的秩必相等.6 .设刀1

18、,刀2,，r1s是非齐次线性方程组 AX=B的s个解，ki,k2,ks为实数，满足 匕+欧+ks=1,试证：X=ki刀i+k2刀2+ksr s也是所给非齐次线性方程组的7 .设A是m n矩阵，B是m p矩阵，若记分块矢I阵C=AB,试证：矩阵方程AX=B ,有解的充分必要条件是r(C尸r(A).8 .对m n非齐次方程组 Ax=B，已知r(A)=r,以及方程组的(n-r+i)个线性无关的解向量 刀i,刀2，刀n-r+i,试证：Y i Y n-r+i ,，刀n-r Y n-r+i是其导出组的一个基础解系第4章矩阵对角化与二次型习题 4.Ii2I,设有向量2,3iI(I)求内积(a+3, a -

19、3 )2.已知向量组(2)求长度 |2a -3 3 | 。I(I) I 2,2i试将它们先正交化，再标准化。3.指出下列矩阵是否是正交矩阵？说明理由。(i) A(2) A9894i.求下列矩阵的特征值及特征向量习题 4.212311341) A2)3)21335)A4)A2设A 是 n 阶可逆矩阵，证明它的特征根证明它的特征根而且01 是A-1 的特征根。20 是 A2 的特征根.是否可以对角化？若可以，将其对角化。(1)A 331(2) A1(3) A2 将下列实对称矩阵对角化1) A 24.43.设入0是A的特征根,k是实数，试证(1) k入0是kA的特征根；(2)4.31 矩阵1)f (

20、x1, x2 ,x3 ) x122x1 x23x225x322)f (x1, x2 ,x3 ) 2x122x1 x22x223x324x1x36x2x33)f (x1,x2 ,x3,x4)x1x2 3x1x34x2x32x2 x46x3x42用配方法化二次型为标准形，并求出所用的可逆线性变换1) f (x, y,z) x f (x1 , x2 ,x3,x4) 8x1x3 2x1x4 2x2x3 8x2x4 2y2 5z2 2xy 6yz 2xz22) f (x1 , x2 ,x3 ) x1 4x1 x2 2x1 x3 2x2x33 用正交变换化下列二次型为标准，并求出所用的正交变换221) f

21、 (x1 , x2 ,x3) 2x1 4x1x2 x2 4x2x3习题 4.51 .判定下列二次型的正定性2(1) f(Xi，X2，X3) 5X122X2 5X3 4XiX28X1X34X2X3(2) f(X1，X2,X3) 2X1X22X1X36x2x32 .求k的值，使二次型-.、. . 222、_2f(x, y,z,t)k(xy z )2xyyz 2xzt为正定的.习题4.61.将卜面向量组正交化，单位化.11111 , 20 , 300102.试证矩阵3313A 4333131331333正交矩阵.3 .设A,B都是n阶正交矩阵，求证AB也是正交矩阵4 .求下列矩阵的特征值和特征向量.

22、1 20222(1) 450,(2) 254.1 0 2245并问它们的特征向量是否两两正交？5 .求一个正交变换，将矩阵220A 212020化为对角矩阵.6 .求一个正交变换，化下列二次型为标准形.“天冬)2x； 3x23x24X2X322(2)f(X1，X2，X3，X4) X1X22X32X42印22印4 2X2X32X3X4 .7判定下列二次型的正定性22,2f(x1,x2,x3)2x16x24x32x1x22x1x32222f (x1,x2,x3 ,x4)x13x29x319x42x1x2(2)2x1x4 4x1x3 6x2 x412x3x48.设A是正定矩阵，试证AT, A 1也是

23、正定矩阵.线性代数课程习题答案第1章行列式习题1.11.计算下列二阶行列式：.5 43 6解：(1)10 122 (2)6 6 12cosx sinx 2. 2(3)cos x sin xsin x cosx1 233/x 1 x331(4)2(x 1) x 11 x x 123(5)；2a；2a3b2a3b20, 八 sincos_(6)sin cos cos sin sin(sincos1 log a b logbag33 logablogba 22.计算下列三阶行列式:213(1) 3211430 a 012 1 36 6 9 8 28 b 0 c0 d 0a 0 b(3) 0 e 0c

24、 0 dade bce (adbc)eXi(4)yi0x2 0 y 00 zXi zyiX2y2z(x1y2X2yi)i 4 7(5) 8 2 56 i80 322 126 96 309 6 3246011(6) i 0 i1i03.用定义计算行列式:0 0 100 2 0 3(1)3 0 5 07 6 10 40 2 313 0 07 6 430(2)1221231120034101201 223410210231112118 570390001000200(3)0300040000(4)0 0 2 00 3 0 04 0 0 00 0 0 50 3 024 0 00 0 564 5 120

25、ababcdabadcd1.4.用方程组求解公式解下列方程组11(1)2112211, i 010 213 22, 2513 14, 351 21 0 102 0Xi -22, X2-14, X3-101110117(2)11, 11 011101 113, 31212 2123 210, 210X1, X211X32.计算下列行列式:11(2)(4)10101543102.计算行列式101616101610101610(1)1010(2)901112726习题1.210104310301616101016013111311121111129032732(a1)(a1)(a 1)(4)2031

26、329813992100(5)3.用行列式的性质证明:abb2(1)(2)(1)2a2ba1a2a3(a-1)2(a-10)200 313001400220013300140022aabb22b2a10abb22b2a10(ba)21080(a b)3b1C1C1a1a1b1C1a1b1a1a1C1C1ab2C2C2a2a2b2C2a2b2a2a2C2C2ab3C3C3a3a3b3C3a3b3a3a3C3C3ab1C11C22C33biC1b2a2C2a2b1c1b1 b1a1b1 c1c1b1c1b2 C2b2 b2a?b2 C2C2b2 C2b3 C3b3 b3a3b3 C3C3b3 C3

27、b1b2b34.试求下列方程的根：a3b2b31)1)1)2(2)0,解得11,a1a2a3a3b3C31)3111231 2 x2 23(2)2315231 9 x22 113(1 x )1 3 x25.计算下列行列(1)abbdbfabcdefacaecddecfef1 512843 8110 1 x201012300313 3 x21 x2113(1 x2)(4 x2) 0,解得 x1 1, x210adf4abcdef1721101710abcdef1721101700313 3 x2-1, x 22, x 2-21810abcdef23410(4)从门1列开始,每一列加到它前一列上的

28、结果再加到前一列上，得a1aia2a2a10an1an1xx(n(n1)aa21)n2 /(n 1)aa2an(6)Dn3.(1)解axa0x a1)a(x0n 1a)x(nx(n1)a1)a解下列方程组I x n 2 ,1) b1.3nn na ( 1) b56,010112 ,010168,112，所以得解x1(2)解所以解得4.1421111142,X1284,11k取何值时,11426,卜列齐次线性方程组可能有非零:142(1)(k1)(k1)(4k)解得4.(2)(k1)2计算下列行列式五1.4(3)由范德蒙行列式有bb2(b45a)(ca)(cb).35211105(2)81101

29、3131011538216810(5) Dna1ab1a?a?aia?2.用克莱姆法则解线性方程60,11113.解:10008216101540.anana1b1a20an0bbbn.anbnbn111160，所以解得180 ,111160,X1,X21851101510115111118,2211136, 32112211121112220231223102102310230111151136,18,所以得解X11 , X22, X32,X4-1 .2( 2 1)0,解得11,214.证明下列各等式(1)左边(b a)22a1ba右边1222 ab aab a2b22b2aabb22b2a

30、(2)(4)2 ab22 ca2 a4 a(b(b222abc1)1)2)2)(a(b(a (b2 ab22 c2 ab22 c2 ab22 c2a2b2cb22 c2 ab22 c4a4b4c2 ab22 c2a2b2c4a4b4c2 ab22 c2a2b2c2 a2 a4(ba)(c a)(bc)bb2b4c2 c4 cdd2d4a)(ca)(cc2 (c a)(a b)(aa)(da)(db b2(b c)(a5.解:设 f(x)解得a 3 ,b2a)a)b2(bb b2(bb b2 b4a)a)a) d 2(dd)(b c)(b2 axab2,2a bc2 c4cac2 2 a cd

31、d2 d4ad2,2 a dc2c (c2/c (ca)a)d ba) b2(bd d2(dbb2(ba)d)(c d )(a bbx c,将已知条件代入得1-3-,c 2 .故 f (x) x22a)a)d)4ad2(da)bb2(ba)2b2.第2章矩阵2.21.3A 2B6 1215101 1 2.X3 33 .计算下列矩阵(1)(2)(11)21430126121134131436131(4)0224.求（1）(1) ABAB 3B;3B(2) ABBA;(3)(A+B);22(4) A B(AB)(AB)414112(4) AB1 29109811101111211211114620

32、24(2) ABBA1111311311112203531112122121112043155. f (A)6 .证：必要条件2AB2充分条件A24A2B22BEE2)4AEEE2A2AB2E.A21 (2B42E)/BE)A.114104 ,所以|(2A0B)TB|80A31330269223222030024820420，所以|A32A|03002482042029608.证:(ABC )T(AB)CTCT(AB)TCT(BTAT)CTBTAT习题 2.31.解：设A1，则AA1O2 3O3 2A2设Bi,B2，则EB1O2 3.ABB2A1EA2B1O2 3A2B210224211020

33、032200231003132.解:设Ai,Bi2,B2A1OB1OA B1OA,B,ABOA2OB2Oa2 b2则20030003002 2321 .解：(1)|A|ad bc0A2.5C, A21b, A22a,所以Aad bc1(2) A 00(2)| A|0, A111, A120, A130, A212, A221, A230, A317,A322, A331,所以A1(3) A 13(3)| A|A322 , A33(4) A2,An0,A12，所以2,A132人18, A23 5 , A311,(4)|A|0,A120,A130,A2200200 3A320,A330,所以A00

34、138578528853857852885010；%15，所以 A115%001：13852858851385285885 I0130010230010 01.解：2 2r3 3rl2 0 7 1 0 0A E 1 4 5 0 1 03 1 2 0 0 1121450108 213r3 r20817120801317031145010r220710031200114501001178181400 085813814 18一r385214501011781814001! 1385285008852/14 0 1317517,15r30 1 01515001 ! 1385 285817 15 88

35、5r1 4r20 0 0 14o o o 11 o1 o o o o o2oo 1 o11 o o1141114o o3 11 o2 3 7 r3o 1 1 o o o o o1 o o o o oo 1o o o 11 o o o23r141212141A 以 所141414141 o o o14141414o o o 11 o1 o o o o o5 ) 2 10 3 10 01 o o oEA21 o o o o o3 1 1 oo o o 11 o o o o o1123 11 ob32rr弓LI14121214342241414141414141414o o o11 o o o1 - 2J?1 一 2 J1-21-244441232 00103r123324(4)22114r2424223.证：（EA)A24(EA)AK(EA2A2A3112010AkAk101110212333)(E A)AkE,故此（EA)10A2Ak104.解：(1)所以(2)23111800101