第五章 §2 偏导数与全微分

1、第五章 多元函数微分学2 偏导数与全微分【考试要求】1. 理解多元函数偏导数和全微分的概念,会求全微分.2. 了解全微分存在的必要和充分条件,了解全微分形式的不变性(数二、三不要求.3. 理解方向导数与梯度的概念,并掌握其计算方法(数二、三不要求.4. 掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法.5. 了解隐函数存在定理,会求多元隐函数的偏导数.一、基本概念设函数在点的某邻域内有定义,若极限(或存在,则称此极限值为函数在点处对的偏导数,记作, 或.类似地可以定义函数在点处对的偏导数, 或.一般地,函数在区域内任一点处的偏导数记为,等.注1 求二元函数对某一自变量的偏导数时,只须将函数看作这一变量的

2、一元函数,另一自变量看作常数,使用一元函数的求导法即可.注2 其它多元函数偏导数的定义及求法完全类似.2. 二阶偏导数若函数的偏导数与关于和的偏导数仍然存在,则称其为的二阶偏导数,记作,其中与称为二阶混合偏导数.3. 全微分设函数在点的某邻域内有定义,若在该点的全增量可表示为,其中,与,无关,则称函数在点处可微分,并称为函数在点处的全微分,记作或.可以证明.注1 函数在点可微.注2 判断分段函数在分段点处的可微性时,一般应利用可微性的定义.4. 全微分形式的不变性设为可微函数,则不论与是自变量还是中间变量,均有.5. 方向导数(数学二、三不要求设函数在包含与的邻域内有定义,则称为函数在点处沿着

3、方向的方向导数,其中.同理可定义三元函数的方向导数.6. 梯度(数学二、三不要求设函数在点的某邻域内有连续的一阶偏导数,则称向量为函数在点处的梯度.注 .二、重要结论1. 全微分存在的必要与充分条件(数学二、三不要求(1 可微的必要条件:若函数在点处可微,则函数在该点处的偏导数必然存在,且, 因此 .(2 可微的充分条件: 若函数在点处的偏导数存在且连续,则该函数在点处可微.2. 求偏导与次序无关的条件若函数的两个二阶混合偏导数与连续，则.3. 隐函数存在定理设在点的某邻域内具有连续的偏导数,且,则方程在点的某邻域内恒能惟一确定一个单值连续且有连续偏导数的函数,它满足,且,.注 公式右端的,是

4、函数的三个互相独立的自变量.4. 多元复合函数求导法则(1 全导数(函数有多个中间变量,一个自变量:设可微,可导,则 .函数关系图为:(2 函数中有多个中间变量，多个自变量:设, 的各偏导数都存在,则 函数关系图为:(3 函数的中间变量与自变量混杂在一起:设,的各偏导数都存在,则 函数关系图为:注1 求导时先画出函数关系图,弄清楚各变量之间的关系.注2 根据函数关系图写出求导公式:函数有几个自变量,就有几个求导公式；函数到达自变量有几条路径,偏导数公式中就有几项的和；对应于每条路径,函数有几重复合,偏导数公式的相应项中就有几个因子的乘积.注3 求抽象函数的偏导数时,一般要先设出中间变量,再利用

5、复合函数求导法.5. 隐函数求导法(1 由方程所确定的函数的导数.(2 由方程所确定的函数的偏导数, .(3 由方程组确定了函数,求, ,时,先将两个方程两边分别对,求偏导数,再利用消元法或代入公式(见同济大学高等数学下册求出偏导数即可.6. 方向导数的计算公式(数学二、三不要求设函数在处可微,则该函数在处沿任何方向的方向导数为.7. 方向导数与梯度的关系(数学二、三不要求因为,所以有下列结论：(1 方向导数是梯度向量在方向上的投影;(2 梯度方向是方向导数取得最大值的方向,且方向导数的最大值为梯度的模.8. 一元函数与多元函数在几个重要概念之间关系上的比较一元函数 多元函数注 对不一定成立的

6、关系要能举例说明.9. 利用偏导数求二元函数若,则.若,则.三、典型例题题型1 关于连续、偏导数、可微之间关系的讨论例1 设问在处函数的偏导数是否存在,函数是否连续,是否可微?解 同理，所以函数在的偏导数存在.,函数在不连续，从而不可微.注 若函数在点处不连续,则函数在该点必不可微.例2 讨论函数在处的连续性和可微性.解 由偏导数定义可知，且在连续.不存在,在处不可微.例3 二元函数在点处两个偏导数存在是在该点连续的( .（A）充分条件而非必要条件 （B）必要条件而非充分条件（C）充分必要条件 （D）既非充分条件又非必要条件解 （D）正确.例4 已知为某二元函数的全微分，则等于（ ）.（A）

7、（B） （C） （D）解 由得,故（D）正确.例5 二元函数在点处( .（A）连续，偏导数存在 （B）连续，偏导数不存在（C）不连续，偏导数存在 （D）不连续，偏导数不存在解 （C）正确.题型2 求显函数的偏导数和全微分例1 设,求,及.解 ，例2 设,求.解 .例3 设,求.解 例4 设,且当时,求与.解 时，,即,例5 设,求.解法1 将代人化为一元函数求导问题.解法2 求全导数 ,例6 设满足,求及.解 对两边关于积分得 将代入（1）式得 ，故将（2）式两边对再积分得 . 将代入式得,所以.题型3 求含有抽象函数符号的复合函数的偏导数例1 设可微,且,求,其中.解 ，所以两边对求全导数可

8、得，即,当时，,即.例2 设,其中具有二阶连续的偏导数,求, ,.解 画出函数关系图，写出求导公式例3 设,其中具有二阶连续的偏导数,具有二阶连续的导数,求.解 例4 设,其中在内连续且可导,证明.解 ,其中与互相独立,例5 设,其中,具有连续的二阶导数及偏导数,求.解 例6 设在点处可微,且, ,求.解 由题设条件可得 题型4 隐函数求偏导数的方法例1 设函数由方程(为常数所确定,求及.解法1 先求与.在所给等式两边分别对求偏导数（将看做的二元函数）:解之得 .解法2 在所给等式两边求微分得,则 .解法3 利用公式. 令其中互相独立.则代入公式得于是 再求.在中将看做的函数,对求偏导数得例2

9、 设方程确定了函数,证明.证法1 方程两边分别对求偏导数得:, ,从中解得 .证法2 利用公式（相互独立）.故所证等式成立.例3 设由所确定,且可微,求.解法1 方程两边求微分得 ,于是 解法2 等式两边分别对求偏导数得及，于是.解法3 利用公式先求及，再得.例4 设,其中,都具有一阶连续的偏导数,且,求.解 由题意可知从而 而下面求在方程两边对求导数得(,:解之得于是注 求时还可以利用公式或微分形式的不变性.例5 设求及.解 两个三元方程决定了两个一元函数与,在两个方程两边分别对求导得用消元法解之得 例6 设求,.解法1 两个五元方程确定了两个三元函数将两个方程两边分别对求偏导数得由(1(2

10、解得由(3(4解得解法2 利用全微分形式的不变性, 对两个方程两边求全微分得所以故 例7 设变换,可将方程简化为,求常数的值,其中各二阶偏导数均连续.解 由题意可知于是将上述结果代入原方程得由题意有 解之得 题型5 求函数的方向导数与梯度(数学二、三不要求例1 求函数在点处沿着的方向导数,其中为点.解 因为 所以 例 2 求函数在点处的梯度,并求.注 若,则 .解 ,例3 设在坐标面上,各点温度与点的位置关系为,点,求(1 ；(2 在点处沿极角为的方向的温度变化率；(3 在什么方向上点的温度变化率取最大值和最小值?并求出其最大值和最小值.解 （1）,（2）（3）温度在点沿梯度方向变化率最大，沿

11、梯度的负方向变化率最小，最大值为梯度的模,最小值为.注 与梯度垂直的方向,即的温度变化率为0.题型6 综合题例1 设,由方程确定,其中,可微,且,连续,证明.证明 这里是函数，是中间变量，是自变量.,其中由积分方程所确定，在该方程两边分别对求偏导数得,由此解得 ,所以.例2 设,在第一象限内有二阶连续的偏导数,且,又,其中有连续的二阶导数,且,求,.解 由已知条件可知 ,又 ，所以. 令，则.类似地有 ,从而 ,即 ,亦即，即 ,所以.又,代入上式得 ,所以.又, .又由，得，故,所以.四、练习题1. 设,其中为可导函数,求.解 等式两边分别对求偏导数得于是 所以 2. 设,求.解 方程两边求微分得 解得因为当时， 所以 3. 设,方程确定了是,的函数,其中, 可微,连续,且,求.解 .在方程两边分别对求偏导数得,于是 , .4. 设由所确定,求.解 方程两边对求导得解得 同理可得 5. 设,求,及.解 ,6. 设,求.解 7. 设,其中,均具有二阶连续导数,求.解 8. 设二阶连续可微,且,求及.解 在两边对求偏导数得 上式两边再对求导数得将及代入上式得 又两边对求导得 由（1）及（2）式可得9. 设有连续的一阶偏导数,又及分别由和所确定,求.解 由两边对求导得 解得 又由两边对求导