基本不等式与最值公开课

1、颍上二中数学公开课学习必备欢迎下载利用基本不等式求最大 (小）值（第一课时 ）时间： 2011-10-16班级：高二（5 ）讲授人：吴永剑教材： 北师大版普通高中教科书必修五第三章第三节第2 小节教材分析：教材开始给出了一个具体的把铁丝弯成矩形的例子，目的是使学生先有一个感性的认识，并未给出严格的证明，为引出后面的探究1 做好铺垫，只要学生能够从这个例子抽象概括出结论即可.探究 2 、 3 是代数中两个直接应用均值不等式求最大（小）值的例子，让学生掌握利用基本不等式不等式求最大（小）值的步骤和条件；在实际问题中，利用基本不等式求最大（小）值，体现了数学知识应用的广泛性。学情分析：1、文科 5

2、班学生整体数学基础较差，学生课前预习可能不够充分，对基本不等式的理解能力有待加强，课堂教学的参与性不够积极与主动，学习氛围调动起来需要很大的努力。2、这节课内容多、量大，给予学生思考的时间有限，学生认知水平、应变能力不高。教学中需要积极引导、提示，对我教学水平与教学能力的要求较高。教学目标：1、 知识与技能：掌握运用基本不等式求最大（小）值的条件，会用基本不等式求一些简单的代数式的最大（小）值，能解决一些简单的实际问题。2、过程与方法：通过基本不等式求最大（小）值时定值条件的构造方法的研究，渗透化归转化数学思想。学习必备欢迎下载3、 情感、态度与价值观：精心设计学习场景，寓教于乐，激发学生的学

3、习热情，培养学生互相竞争、互相协作的学习精神，体会数学来源于生活、应用于生活。教学重点与难点：重点：运用基本不等式求最大（小）值难点：利用基本不等式求定值条件的构造方法以及最大（小）值满足的条件教学方法： 自主探究式、讲练结合课时安排： 1 课时教学过程：新课引入：你可以把一段 16cm 长的细铁丝弯成形状不同的矩形，如边长为 4cm 的正方形； 长5cm 宽 3cm 的矩形；长 6cm 宽 2cm 的矩形探究新知 ：1、探究一： 最大（小）值 定理问题 1 ：利用不等式abab (a, bR )2已知xy2( x0, y0)，你能求出x y的最大值吗？何时取最大值？问题 2 ：利用不等式ab

4、ab (a, bR )2已知x y2( x0, y0)，你能求出xy的最小值吗？何时取最小值？问题 3 ：你能由问题1 、 2 得出一般性结论吗？已知x, yR，则：（ 1）若和x ys（定值），则积xys2有最大值4当日仅当xy时，取“=”号（ 2）若积x yp（定值），则和xy有最小值2 p当日仅当xy时，取“=”号即：“积为常数，和有最小值；和为常数，积有最大值”。学习必备欢迎下载自主练习 1： 若x0时，求yx1的最小值 .x1若x1，求yxx1的最小值 .若0 x1，求yx (1 x)的最大值 .2、探究二：利用基本不等式求最大（小）值满足的条件问题 4 ：若x 0，求yx1的最大值

5、。x条件 1：由问题4 ，你能总结出利用基本不等式求最值时字母必须满足什么条件？自主练习 2：若xx2x10，求yx的最大值。1问题 5 ： 若x2，求y2 x5x的最小值。12若0 xx(1 2x)的最大值。，求y2条件 2：由问题6 ，你能总结出利用基本不等式求最值时必须满足什么条件？自主练习 3： 求yxx1(x1)的最小值。11)的最大值。求yx(14x)(0 x4问题 6 ：若x 2，求yx1的最小值。x条件 3：由问题7 ，你能总结出利用基本不等式求最值时必须满足什么条件？自主练习 4：求ysinx2(0 x)的最小值。sin x2问题 7 ：你能由问题5 7 总结出利用基本不等式

6、求最值必须满足的三个前提条件吗？3、探究三：简单运用问题 9：（ 1）用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？2 ）一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？【解】（1 ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则x y100m2，篱笆的周长为2( x由xyxy可得x y2 100，2( x2xyxy40当日仅当y 100时，等号成立。x学习必备欢迎下载所以，这个矩形的长，宽都为10m时，所用篱笆最短，最短篱笆是40m.（ 2 ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，则2( xy)

7、36,xy 18，矩形菜园的面积为xym2由xyxy 9即xy81xy得2xyxy9时，等号成立 .当且仅当yx18所以，这个短形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2.问题 10 ：你能从问题9 中举例说明极值定理和必须满足的三个前提条件吗？4、课堂练习：（ 1 ）求y1x ( x3)的最小值 .x3（ 2 ）求y123x ( x0)的最大值 .x5、课时小结：这节课利用基本不等式求最大（小）值，主要是运用“和为常数，积有最大值”和“积为常数，和有最小值”。且必须满足三个前提条件， “一正二定三相等”，即“一正”字母为正数；“二定”积或和为定值（有时需通过“配凑法”凑出定值）；“三相等”等号能否取到，三个条件缺一不可。通过自主探究的“若”与“乐”，让学生体会数