高一数学必修一重点方法讲解

1、高中必修些重点函数值域求法十一种 错误！未指定书签复合函数 错误！未指定书签一、复合函数的概念 错误！未指定书签二、求复合函数的定义域： 错误！未指定书签复合函数单调性相关定理 错误！未指定书签函数奇偶性的判定方法 错误！未指定书签指数函数： 错误！未指定书签事函数的图像与性质 错误！未指定书签函数值域求法十一种1.直接观察法对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。1例1.求函数y x的值域。解：: X 0-0 X显然函数的值域是：(，。)(。，)例2.求函数y 3 4的值域。解： .X 0故函数的值域是：，32 .配方法配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。2例3.求函数y x 2x

2、 5，x 1，2的值域。2解：将函数配方得：y (x 1)4.X 1,2由二次函数的性质可知：当X=1时，ymin 4,当X 1时，ymax 8 故函数的值域是：4 , 83 .判别式法1 X X2 y 例4.求函数 1 X的值域。解：原函数化为关于X的一元二次方程(1)当 y 1时，x r13解得：2 y 2（2）当 y=1 时，x 0 ,而 2 21 3故函数的值域为2,2例5.求函数y x jx（2 x）的值域。220 (1)解：两边平方整理得：2x 2（y 1）x y x R4(y 1)2 8y 0解得：12 y 12但此时的函数的定义域由x（2 x） 0,得0 x 222由 0,仅保

3、证关于x的方程：2x 2（y 1）x y 0在实数集r有实根，而不能确保其 实根在区间0, 2上，即不能确保方程（1）有实根，由。求出的范围可能比y的实际1 3一, 一范围大，故不能确定此函数的值域为2 2。可以采取如下方法进一步确定原函数的值域。y min 0, y1g代入方程（1）ax1解得：224 2、20,222 2、2即当x12 时,原函数的值域为：0，1 注：由判别式法来判断函数的值域时，若原函数的定义域不是实数集时，应综合函数 的定义域，将扩大的部分剔除。4.反函数法直接求函数的值域困难时，可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。3x 4例6.求函数5x 6值域。4 6yx

4、 解：由原函数式可得：5y 34 6y3则其反函数为：y其定义域为：x 53故所求函数的值域为：,55.函数有界性法直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性，反客为主来确定函数的值域。xe 1y 例7.求函数 ex 1的值域。x y 1e 解：由原函数式可得：y 1 ex 0y 1-0y 1解得：1 y 1故所求函数的值域为（1）cosx例8.求函数y sinx 3的值域。解：由原函数式可得：ysinx 8sx 3y,可化为:3ysin x （x ）2即y 1 x Rsinx（x ） 1,13y1 一y一 1即 y 1、22解得：4 y 4. 2 、2 , 故函数的值域为22所以当x

5、=1时，y y1 y2有最小值6,原函数有最大值、2显然y °,故原函数的值域为（0,行7.换元法通过简单的换元把一个函数变为简单函数，其题型特征是函数解析式含有根式或三角 函数公式模型，换元法是数学方法中几种最主要方法之一，在求函数的值域中同样发挥 46.函数单调性法例9.求函数y 2x5啮3,丁丁（2 x 10）的值域。解:令 y 2x 5,y2 10g 3 x 1则yjy2在2, 10上都是增函数所以y y1 y2在2 , 10上是增函数当x=2时,当x=10时,ymin 2 395 y max 2故所求函数的值域为：例10.求函数y 0X 1 1log 3 2 1 log 3

6、、9 331,3384x 1的值域。作用例11.求函数y x，;式7的值域。解：令 X 1 t , (t 0)则 X t2 1,21X2 3y t t 1 (t ) 一 24又t 0,由二次函数的性质可知当 t 0 时，ymin 1当t 。时，y故函数的值域为1, )例12.求函数y x 2 # (x 1)2的值域。2_解：因 1 (x 1)0即(X 1)2 1故可令 X 1 cos ,0, y cos 1 . 1 cos2 sin cos 1,0故所求函数的值域为。，123X Xy ：例13.求函数 x 2x 1的值域。21 2x 1 x2y -22解：原函数可变形为：2 1 x 1 x2

7、cos石，a的值域。2x1 x22 sin 2，2可令X tg ,则有1 x21 x2k _1当万8时，ymax 4k_1当万8时，ymin7而此时tan有意义。11故所求函数的值域为4,4X例 14.求函数 y (sinx 1)(cosx 1), 解.y (sin x 1)(cos x 1)令 sinxcosxt,则sin x cosx1)x且可得:由 t sin x cosx 2sin(x /4)，12 2,2 t 22323.2当t亚时，ymax 2 ”2,当t三时，y 7 T9 二一 2故所求函数的值域为4 2 2。2 例15.求函数y x 4 <5 x的值域。解：由5 x2 0

8、 ,可得|x|任故可令 x .5 cos ,0,0当 /4时， y max 4,10当 时，ymin 4 V5故所求函数的值域为：45,4108 .数形结合法其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义，如两点的距离公式直线斜率等等，这 类题目若运用数形结合法，往往会更加简单，一目了然，赏心悦目。例16.求函数v巾2)2 ;(x 8)2的值域。解：原函数可化简得：y |x 2| |x 8|上式可以看成数轴上点P (x)到定点A (2), B( 8)间的距离之和。由上图可知，当点P在线段AB上时，y |x 2| |x 811AB| 10当点P在线段AB的延长线或反向延长线上时，y |x 2| |x

9、811AB | 10故所求函数的值域为：1。，例17.求函数y tx2 6x 13 *；x2 4x 5的值域。解：原函数可变形为：上式可看成x轴上的点P(x，°)到两定点A(3,2)，B( 2, 1)的距离之和，由图可知当点P为线段与x轴的交点时，ymm -Bl而2)2 (2 1)2向,故所求函数的值域为晨43，例18.求函数y，x2 6x 13、；x2 4x 5的值域。解：将函数变形为：y (x 3)2 (0 2)2. (x 2)2 (0 1)2上式可看成定点A (3, 2)到点P (x, 0)的距离与定点B( 2,1)到点P(x,0)的距离之差。 即：y |AP| |BP|由图可

10、知：(1)当点P在x轴上且不是直线AB与x轴的交点时，如点P',则构成ABP',根据三角形两边之差小于第三边，有llAP'l IBP'111AB l .(3 2)2 (2 1)226即： 26 y .26 当点P恰好为直线AB与x轴町交区时，有11Api附|阻 我综上所述，可知函数的值域为：(,26,、26注：由例17, 18可知，求两距离之和时，要将函数式变形，使A、B两点在x轴的两侧，而求两距离之差时，则要使 A, B两点在x轴的同侧。如：例17的A, B两点坐标分别为：(3, 2), ( 2, 1),在x轴的同侧；例18的A, B 两点坐标分别为(3, 2

11、), (2, 1),在x轴的同侧。9 .不等式法利用基本不等式a b ab, a b c 3Vabc(abc R),求函数的最值，其题型特征解析 式是和式时要求积为定值，解析式是积时要求和为定值，不过有时需要用到拆项、添项 和两边平方等技巧。1212 7Iy (sin x ) (cosx )4 Az例19.求函数sinxcosx 的值域。解：原函数变形为：当且仅当tanx cotx即当x k 4时出z),等号成立 故原函数的值域为：5, )例20.求函数y 2sinxsin2x的值域。 解. y 4sinx sin x cosx-Qi 2 Y 2当且仅当sin2x 2 2sin2x，即当sin

12、 x 3时，等号成立。2 648.383t yy由 27可得： 998 . 3 8 . 3故原函数的值域为：9 , 910 . 映射法V ax_(c 0)原理：因为y cx d(c 0)在定义域上 个变量范围，就可以求另一个变量范围。x与y是一一对应的。故两个变量中，若知道一1 3x例21.求函数y 2x 1的值域。解：.定义域为1 3x x 1 y由 y 2x 1 得 2y 31 y 11 y 1x - x -故2y 32或2y 3233解得y一或丫2233故函数的值域为, 2211 .多种方法综合运用x 2例22.求函数y x 3的值域。解：令 t ，口(t 0)，则 x 3 t2t 11

13、11时取等号，所以0 y 3y11 21,t(1)当t 0时，t ，当且仅当t=1，即x(2)当 t=0 时，y=0。10,一综上所述，函数的值域为：2234x 2x x x2. c 241 2x x的值域。注：先换元，后用不等式法1 y 一 例23.求函数2431 2x x x x解:y 1 2x2 x4tan2,则 E242x x22cos1二当sin 4 时，当sin 1时，yy maxmin17162此时tan2都存在，故函数的值域为172，w注：此题先用换元法，后用配方法，然后再运用 sin的有界性。总之，在具体求某个函数的值域时，首先要仔细、认真观察其题型特征，然后再选择 恰当的方

14、法，一般优先考虑直接法，函数单调性法和基本不等式法，然后才考虑用其他 各种特殊方法。复合函数一、复合函数的概念如果y是u的函数，而u是x的函数，即y = f ( u ), u = g ( x ),那么y关于x的函数y = f g ( x )叫做函数f与g的复合函数，u叫做中间变量。注意：复合函数并不是一类新的函数，它只是反映某些函数在结构方面的某种特点， 因此，根据复合函数结构，将它折成几个简单的函数时，应从外到里一层一层地拆，注 意不要漏层。另外，在研究有关复合函数的问题时，要注意复合函数的存在条件，即当且仅当g ( x ) 的值域与f ( u )的定义域的交集非空时，它们的复合函数才有意义

15、，否则这样的复合函 数不存在。例：f ( x + 1 ) = (x + 1)2 可以拆成 y = f ( u ) = u 2, u = g ( x ) , g ( x )=x + 1 ,即可以看成f ( u ) = u 2与g ( x ) = x + 1两个函数复合而成。二、求复合函数的定义域：(1)若f(x)的定义域为a < x < b,则f g ( x ) 中的aw g ( x )< b，从中解得x的范围，即为f g ( x )的定义域。例1、y = f ( x )的定义域为0 , 1 ，求f ( 2x + 1 )的定义域。答案：-1/2 , 0 例2、已知f ( x )

16、的定义域为(0, 1),求f ( x2)的定义域。答案：-1 ,1 若f g ( x ) 的定义域为(m , n )则由m < x < n确定出g ( x )的范围即为 f ( x )的定义域。例3、已知函数f ( 2x + 1 )的定义域为(0, 1),求f ( x )的定义域。答案：1 ,3(3)由f g ( x )的定义域，求得f ( x )的定义域后，再求f h( x ) 的定义域。例4、已知f ( x + 1 )的定义域为-2 , 3,求f ( 2x 2 - 2 )的定义域。答案：3/2 , - V3 U V3/2 , V3三、求复合函数的解析式。1、待定系数法：在已知函

17、数解析式的构造时，可用待定系数法。例1设f(x)是一次函数，且f f (x) 4x 3,求f(x)解：设 f(x) ax b (a 0),则2、配凑法：已知复合函数fg(x)的表达式，求f(x)的解析式，fg(x)的表达式容易配成g(x) 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数f(x)的定义域不是原复合函数的定义域，而是g(x)的值域。例2已知f(x 1) x2 口(x 0),求f(x)的解析式 x x11c1解： f(x 1) (x 1)2 2, x - 2 x xx3、换元法：已知复合函数fg(x)的表达式时，还可以用换元法求f(x)的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。

18、例3 已知f (41) x 2、反，求f(x 1)解：令 t 、反 1 ,则 t 1 , x (t 1)2复合函数单调性相关定理1、引理1 已知函数y=f g(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，其值域为(c , d), 又函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，那么，原复合函数y=f g(x)在区间(a,b)上是增函数证 明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x 2,使a<x1<x2<b.因为u=g(x)在区间(a,b)上是增函数，所以g(x)< g(x 2),记 u1=g(x1),u2=g(x 2)即 u1<u2,且 u1,u 2 G (c,d

19、).因为函数y=f(u)在区间(c,d)上是增函数，所以f(u 1)<f(u 2),即f g(x) <f f(x 2),故函数y=f g(x)在区间(a,b)上是增函数.2、引理2已知函数y=f g(x).若u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，其值域为(c , d), 又函数y=f(u)在区间(c,d)上是减函数，那么，复合函数 y=f g(x)在区间 (a,b)上是增函数.证明 在区间(a,b)内任取两个数x1,x 2,使a<x1<x2<b.因为函数u=g(x)在区间(a,b)上是减函数，所以g(x1)> g(x2),记 u1=g(x1),u2=g(x

20、 2)即 u1>u2,且 u1,u 2 G (c,d).因为函数 y=f(u)在区间(c,d)上 是减函数，所以 f(u 1) <f(u 2),即 f g(x。 <f f(x 2),故函数 y=f g(x) 在区间(a,b)上是增函数.3、总结同增异减函数奇偶性的判定方法1 .定义域判定法例1判定f(x) (x 1)gjx 2的奇偶性.(非奇非偶)2 .定义判定法f(x)与f (-x)关系例2判断f (x) x a x a的奇偶性.(偶)3 .等价形式判定法例3判定f(x) 1 x2 x 1的奇人性.(奇)1 x2 x 1评注：常用等价变形形式有：若f(x)f( X)0或q)

21、i,则f(x)为奇函数；若f(x)f( x) f(x) 0或凶1,则f(x)为偶函数(其中f (x) 0). f(x)4.性质判定法例4若a 0, f (x)(xa, a)是奇函数，g(x)(x R)是偶函数，试判定(x) f (x)gg(x)的奇偶性.评注：在两个函数(常函数除外)的公共定义域关于原点对称的前提下：两个偶 函数的和、差、积都是偶函数；两个奇函数的和、差是奇函数，积是偶函数；一个 奇函数与一个偶函数的积是奇函数.5、练习(1) .()函数f(x)在R上为增函数，则y=f(|x+1|)的一个单调递减区间是_(一°°, 1(2) ()若函数 f(x)=ax3+b

22、x2+cx+d 满足 f(0)=f(xI)=f(x2)=0 (0<x1<x2),且在x2,+°°)上单调 递增，则b的取值范围是_(巴0).(1)令t=|x+1|，则t在(00 ,1上递减，又y=f(x)在R上单调递增， y=f(|x+1|)在(00,1 上递减.(3) f(0)=f(x1)=f(x2)=0, . f(0)=d=0.f(x)=ax(x x1)(x x2)=ax3 a(x1+x2)x2+ax1x2x, . b= -a(x1+x2)，又 f(x)在x2,+°0 )单调递增,故 a>0.又知 0<x1<x,得 x+x2>

23、;0,.b=-a(x1+x2)<0.2.奇偶性记 F(x)=fg(x)复合函数，则 F(-x)=fg(-x),如果 g(x)是奇函数，即 g(-x)=-g(x) => F(-x)=f-g(x),则当f(x)是奇函数时，F(-x)=-fg(x)=-F(x), F(x)是奇函数；当f(x)是偶函数时，F(-x)=fg(x)=F(x), F(x)是偶函数。如果 g(x)是偶函数，即 g(-x)=g(x) => F(-x)=fg(x)=F(x), F(x)是偶函数。所以由两个函数复合而成的复合函数，当里层的函数是偶函数时，复合函数是偶函 数，不论外层是怎样的函数；当里层的函数是奇函数

24、、外层的函数也是奇函数时，复合 函数是奇函数，当里层的函数是奇函数、外层的函数是偶函数时，复合函数是偶函数。在其它的场合，就不能如此单纯地判断复合函数的奇偶性了。二加减函数1 .增减性 对于F(x)=g(x)+f(x),增+增=增，减+减=减，减+增则无定则2 .奇偶性 对于F(x)=g(x)+f(x),奇+奇=<,奇-奇=奇，偶+偶=偶，偶-偶=偶.奇+偶无定则三相乘函数1 .增减性对于F(x)=g(x)*f(x)，一切皆无 定则.知道你会不信，很好，我来举个例子:f(x)=g(x)=-x ,都是减函数，而F(x)=xA2,有增有减.2 .奇偶性对于F(x)=g(x)*f(x), 同样

25、满足乘法定则(其实这名字是我取的，不要说出去，不 然没人听的懂).即 奇*偶=奇 ，偶*偶=偶 ，奇*奇=偶 除法就不用说 了,F(x)=g(x)/f(x), 可以看成 F(x)=g(x)1/f(x), 自己推.指数函数:定义：函数y aa0且a 1叫指数函数。 定义域为R底数是常数，指数是自变量。要求函数y ax中的a必须a 0且a 1。因为若a 0时，y 4x,当x二时，函数值不 4存在。a 0, y 0x,当x 0,函数值不存在。a 1时，y 1x对一切X虽有意义，函数值恒为1,但y 1X的反函数不存在，因为要求函数y ax中的a 0且a 1。X1、对三个指数函数y 2X, y - ,

26、y 10x的图象的认识。2图象特征与函数性质:图象特征函数性质(1)图象都位于x轴上方；(1) x取任何实数值时，都有ax 0;(2)图象都经过点(0, 1);(2)无论a取任何正数，x 0时,y 1;(3) y 2通过y 2x , y 10x , y 1 三个函数图象，可以画出任意一个函数y a2(a 0且a 1)的示意图，如y 3x的图象，一定位于y 2x和y 10x两个图象的中间，且xx过点(0, 1),从而y 1也由关于y轴的对称性，可得y 1的示意图，即通过有限个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。2、对数:, y 10x在第一象限内的纵坐标都大于1,在第二象限内x的纵坐标都小于1

27、,y 1的图象2正好相反；(3)当 a 1 时，x °, 则ax 1x 0,则ax 1wi x 0,则ax 1当0 a 1时，x 0,则ax 1(4) y 2x, y 10x的图象自左到x右逐渐上升，y 1的图象逐渐2下降。(4)当a 1时，y ax是增函数，当0 a 1时，y ax是减函数。对图象的进一步认识，(通过三个函数相互关系的比较)：所有指数函数的图象交叉 相交于点(0, 1),如y 2x和y 10x相交于(0, 1),当x 0时，y 10x的图象在y 2x的图象的上方，当x 0,刚好相反，故有102 22及10 2 2 2xy 2x与y1的图象关于y轴对称定义：如果ab

28、N(a 0且a 1),那么数b就叫做以a为底的对数，记作b loga N (a是底数，N是真数，lOga N是对数式。)由于N ab 0故loga N中N必须大于0。当N为零的负数时对数不存在。(1)对数式与指数式的互化。由于对数是新学的,常常把不熟悉的对数式转化为指数式解决问题，如:则 0.3252 求 log 0.324即-825825即 lOg 0.32评述：由对数式化为指数式可以解决问题，反之由指数式化为对数式也能解决问题, 因此必须因题而异。如求3X 5中的x,化为对数式x 10g35即成。(2)对数恒等式：由ab N (1) b loga N将(2)代入(1)得alOgaN N运用

29、对数恒等式时要注意此式的特点，不能乱用，特别是注意转化时必须募的底数和对数的底数相同。计算：Q 10g321 log1 2解：原式33l og 1 F22与。(3)对数的性质:负数和零没有对数； 1的对数是零;底数的对数等于1。(4)对数的运算法则: loga MN loga M loga N M, N R loga M loga Mloga N M, N Rlog-1n Nloga NNRnN loga N n nloga N N R3、对数函数：定义：指数函数y ax(a 0且a 1)的反函数y loga x x (0,)叫做对数函数。1、对三个对数函数y log2x, y 10gl x,

30、2y igx的图象的认识。图象特征与函数性质：图象特征函数性质(1)图象都位于y轴右侧；(1)定义域：R+,值或：R(2)图象都过点(1, 0);(2) x 1 时，y 0。即 1oga 1 0 ；(3) y 1og2 x , y 1g x 当 x 1 时，图象在x轴上方，当0 x 0时，图象在x轴下方，y 1ogx与上述2情况刚好相反；(3)当a 1时，若x 1 ,则y 0 , 若 0 x 1 ,贝U y 0 ;当0 a 1时，若x 0 ,则y 0 , 若0 x 1时，贝U y 0 ;(4) y 1og2 x, y 1gx从左向右图象是上升，而y 1ogx从左向右图2象是下降。(4) a 1

31、时，y 1ogax是增函数；0 a 1时，y 1ogax是减函数。对图象的进一步的认识(通过三个函数图象的相互关系的比较)：(1)所有对数函数的图象都过点(1,0),但是y 1og2x与y 1gx在点(1,0)曲线是交叉的，即当x 0时，y 1og?x的图象在y 1gx的图象上方；而0 x 1时，y 1og?x的图象在 y 1g x 的图象的下方，故有：10g2 15 1g1.5; 1og2 0.1 1g0.1。(2) y 10g2*的图象与y 10gl x的图象关于x轴对称。 2(3)通过y 10g2x, y 1gx, y 1og1 x三个函数图象，可以作出任意一个对数函数的 2示意图，如作

32、y 10g3*的图象，它一定位于y 10g2*和丫 1g x两个图象的中间，且过点(1,0), x 0时，在y 1gx的上方，而位于y 10g2x的下方，0 x 1时，刚好相反，则对称性，可知y 1og/的示意图。 3因而通过课本上的三个函数的图象进一步认识无限个函数的图象。4、对数换底公式:由换底公式可得：LnN lgN JgNL 2.303lgNlge 0.4343由换底公式推出一些常用的结论：1 m m(1) loga b 或 logablogba 1(2)log an b log a blogb an(3) logan bnloga b(4)logan am;5、指数方程与对数方程*定

33、义：在指数里含有未知数的方程称指数方程。在对数符号后面含有未知数的方程称对数方程。由于指数运算及对数运算不是一般的代数运算，故指数方程对数方程不是代数方程而 属于超越方程。指数方程的题型与解法：名称题型解法基本型同底数型不同底数型需代换型取以a为底的对数f x loga b取以a为底的对数f x x取同底的对数化为fx - lga x - lgb换元令t ax转化为t的代数方程对数方程的题型与解法:名称题型解法基本题对数式转化为指数式f x ab同底数型转化为f x x (必须验根)需代换型换兀令t log ax转化为代数方程事函数的图像与性质一、幕函数的定义11一般地，形如y x （ x R

34、）的函数称为幕孙函数，其中x是自变量，是常数.如y x2,y x3,y x 4等都是幕函数，幕函数与指数函数，对数函数一样，都是基本初等函数.分数指数募m正分数指数帚的意义是：a n n/am （a 0, m、n N,且n 1） m负分数指数帚的息义是：a n -= （a 0, m、n N,且n 1） n m ,a1、哥函数的图像与性质哥函数y xn随着n的不同，定义域、值域都会发生变化，可以采取按性质和图像分类记忆的方法.熟练掌握y xn,当n 2, 1, 1,3的图像和性质，列表如下.2 3从中可以归纳出以下结论：它们都过点1,1 ,除原点外，任何募函数图像与坐标轴都不相交，任何募函数图像

35、都不过第四象限.a 1,1,1, 2,3时，哥函数图像过原点且在 0,上是增函数.3 2a 1, 1, 2时，哥函数图像不过原点且在 0,上是减函数.2例1、右图为哥函数y x在第一象限的图像,则a,b, c,d的大小关系11 c解：取x -,由图像可知： 2 '2a b d c,应选(C).两类基本函数的归纳比较: 定义对数函数的定义：一般地，我们把函数y logax （a>0 且 a w 1)叫做对数函数，其中X是自变量，函数的定义域是（0, +00x是自变量，是常数.幕函数的定义：一般地，形如y x （ x R0的函数称为幕孙函数，其中性质 对数函数的性质：定义域：（0,

36、+00）；值域：R过点（1, 0）,即当 x=1, y =0；在（0, +°°）上是增函数；在（0, +00）是上减函数幕函数的性质：所有的幕函数在（0, 十°°）都有定义， 图象都过点（1,1） x>0时，幕函数的图象都通过原点,1在0 , +川上，yx±是增函数,在(0, +00)上,x 1是减函数。m为何值时，f（1）是募函数;（2）是哥函数，且是0,上的增函数;是正比例函数；（4）是反比例函数；（5）是二次函数;简解：(1) m 2 或 m 1( 2) m 1(3)4 , 、5 (4) m(5) m 1变式训练：已知函数f xm2

37、 m xm22m 3m为何值时，fX在第一象限内它的图像是上升曲线2简解：m2 m 0解得：m , 1 U 3, m2 2m 3 0小结与拓展：要牢记募函数的定义，列出等式或不等式求解。11(1 ) 1.52,1.72(2) ( 1.2)3,( 1.25)3 (3) 5.25 1,5.26 1,5.26 2 (4) 0.53,30.5,log 30.5111解：(1) y x2 在0,)上是增函数，1.5 1.7,1.5" 1.7"(2) ; yx3在 R上是增函数，1.21.25,.( 1.2)3( 1.25)3(3) ; y x 1 在(0,)上是减函数，5.25 5.

38、26, 5.25 1 5.26 1；y 5.26x是增函数，12,.5.261 5.26 2 ； 综上，5.25 1 5.26 1 5.26 2(4) 0 0.53 1 , 30.5 1 , log3 0.5 0, .1093 0.5 0.53 30.5例1求下列函数的单调区间：y=log 4(x2 4x+3)解法一：设 y=log 4u,u=x24x+3.由U >0,u=x2 4x+3,解得原复合函数的定义域为x<1或x>3.当x6(8, 1)时，u=x24x+3为减函数，而y=log4u为增函数，所以(°°, 1)是 复合函数的单调减区间；当 x6(3

39、, ±8)时，u=x2 4x+3为增函数y=log4u为增函数， 所以，(3, +s)是复合函数的单调增区间.解法二：u=x2 4x+3=(x 2)2 1,乂>3或乂<1,(复合函数定义域)x<2 (u 减)解得x< 1.所以x 6 ( °0, 1)时，函数u单调递减.由于y=log4u在定义域内是增函数，所以由引理知：u=(x-2)2-1的单调性与复合函 数的单调性一致，所以(-s, 1)是复合函数的单调减区间.下面我们求一下复合函数的 单调增区间.u=x2 4x+3=(x 2)2 1,乂>3或乂<1,(复合函数定义域)x>2 (u 增)解得x>3.所以(3, +s)是复合函数的单调增区间.例2求下列复合函数的单调区间：y=log匕(2x x2)解： 设 y=log 二u,u=2xx2.由3u >02 u=2xx解得原复合函数的定义域为0cxe 2.由于y=log u在定义域（0 , +oo）内是减函数，所以，原复合函数的单调性与二次函数 u=2x 3"X2的单调性正好相反.易知u=2x-x2=-（x 1）2+1在xwi时单调增.由0<x<2 （复合函数定义域）x