《计算机数学基础 下》数值分析部分辅... - 中华残疾

1、计算机数学基础(下)数值部分辅导(5)中央电大 冯泰第13章 方程求根一、重点内容1. 二分法: 设方程f(x)=0在区间a,b内有根，用二分有根区间的方法，得到有根区间序列：a，bÊ a1，b1 Ê a2，b2 Ê-Ê an，bn Ê x*»xn=(a0=a,b0=b),n=0,1,2, 有误差估计式: ½x*xn½£，n=0,1,2, 二分法区间次数: 2. 简单迭代法: 若方程f(x)=0表成x=j(x)，于是有迭代格式： xn=j(xn1) （n=1,2,） x*»xn若存在0<l

2、<1,½j¢(x)½£l,在区间a,b内任一点为初始值进行迭代，迭代数列收敛.校正值 再校正值 改进值 快速迭代法: 3. 牛顿法:用切线与x轴的交点，逼近曲线f(x)与x轴的交点.迭代公式为 （n=1，2，） 选初始值x0满足f(x0)f ²(x0)>0，迭代解数列一定收敛.4. 弦截法: 用两点连线与x轴交点逼近曲线f(x)与x轴的交点.迭代公式为 (n=1,2,)二、实例例1 证明方程1xsinx0在区间0,1内有一个根，使用二分法求误差不超过0.5×104的根要迭代多少次？证明 令f(x)1xsinx， f(0)=

3、1>0，f(1)=sin1<0 f(x)=1xsinx=0在0，1有根.又f¢(x)=1cosx>0(xÎ0.1),故f(x)0在区间0，1内有唯一实根.给定误差限e0.5×104，有只要取n14.例2 用迭代法求方程x54x20的最小正根.计算过程保留4位小数.分析 容易判断1，2是方程的有根区间.若建立迭代格式，此时迭代发散.建立迭代格式，此时迭代收敛.解 建立迭代格式 1.431 0 1.505 1 1.516 5 1.518 2 1.5185 取1.5185例3 试建立计算的牛顿迭代格式，并求的近似值，要求迭代误差不超过106.分析首先建

4、立迭代格式.确定取几位小数,求到两个近似解之差的绝对值不超过106.解 令，求x的值.牛顿迭代格式为迭代误差不超过106，计算结果应保留小数点后6位.当x=7或8时，x3=343或512，,取x0=8,有 7.478 0787.439 956 7.4397607.439760于是，取7.439760例4 用弦截法求方程x3x210，在x分析 先确定有根区间.再代公式.解 f(x)= x3x21，f(1)=1，f(2)=3，有根区间取1,2.取x1=1, 迭代公式为(n=1,2,) 1.37662 148881 146348 1.46553取1.46553，f(1.46553)»0.0

5、00145例4 选择填空题1. 设函数f(x)在区间a,b上连续，若满足 ，则方程f(x)=0在区间a,b一定有实根.答案：f(a)f(b)<0解答：因为f(x)在区间a,b上连续，在两端点函数值异号，由连续函数的介值定理，必存在c，使得f(c)=0，故f(x)=0一定有根.2. 用简单迭代法求方程f(x)=0的实根，把方程(x)=0表成x=j(x),则f(x)=0的根是( )(A)y=x与y=j(x)的交点 (B) y=x与y=j(x)交点的横坐标 (C) y=x与x轴的交点的横坐标 (D) y=j(x)与x轴交点的横坐标答案：(B)解答：把f(x)=0表成x=j(x), 满足x=j(

6、x)的x是方程的解，它正是y=x与y=j(x)的交点的横坐标.3.为求方程x3x21=0在区间1.3,1.6内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )(A) (B) (C) (D) 答案：(A)解答：在(A)中故迭代发散.在(B)中，故迭代收敛. 在(C)中，故迭代收敛.在(D)中，类似证明，迭代收敛.4牛顿切线法是用曲线f(x)上的 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的 与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)0的解.答案：点的切线；两点的连线解答：见它们的公式推导.三、练习题1. 用二分法求方程f(x)=0在区间a,b内

7、的根xn，已知误差限e，确定二分的次数n是使( )(A) ba£e (B) ½f(x)½£e (C)½x*xn½£e (D)½x*xn½£ba2. 设方程f(x)=x42x=0，在区间1,2上满足 ,所以f(x) =0在区间1,2内有根.建立迭代公式=j(x)，因为 ，此迭代公式发散. 3. 牛顿切线法求解方程f(x)=0的近似根，若初始值x0满足( )，则解的迭代数列一定收敛.(A)<0 (B) >0 (C)£0 (D)³04. 设函数f(x)区间a,b内有二阶

8、连续导数，且f(a)f(b)<0, 当 时，则用弦截法产生的解数列收敛到方程f(x)=0的根. 5. 用二分法求方程x3x1=0在区间1.0,1.5内的实根,要求准确到小数点后第2位.6. 试用牛顿切线法导出下列各式的迭代格式：(1) 不使用除法运算； (2) 不使用开方和除法运算.四、练习题答案1.(C) 2.; >1 3.(B） 4. f ¢(x)¹0 5. 1.32 6. (1) 附录：教材中练习与习题答案练习13.1 （A） 1. 0.921 2. 3.1455 （B） 1.B 2.C 3. 4.1.5,2练习13.2 （A） 1.(1) 0.7391 (2) 0.20391 (3) 2.09455（B）1.A 2.的形式 3.B 4.C练习13.3（A） 1. 1.5829 =1.5009 =1.4973 2. 1.5970149 =1.5945637 =1.5945621 3. 3.317 (B) 1.线性化 2.， 3.C 4.B 5 6.D练习13.4 （A） 1. 2.09455 2. 3.14619 （B） 1. 2.A 3.D 4.C练习13.5 (A) 1. 2., (B)1. 线性化 2.B 3.C习题13 1.(1) -0.56714 (2)1.2