学优培训学科教师义模板整式乘法以及平方差和完全平方公式学习

1、学优培训中心教师教案主管教师签字： 签字日期： 学员姓名：辅导科目：学科教师：课 时数：课题整式的乘法以及平方差和完全平方公式的学习授课日期及时段教学目的能够学习和掌握整式整式的乘法运算，并牢记平方差和完全平方公式重难点迅速准确的进行整式的乘法运算，熟练运用平方差和完全平方公式教学 内容一、整式的乘法在学习新知识之前，我们先来回忆下前面讲到的内容1 下列单项式各是几次单项式？它们的系数各是什么？8x；- 2a2bc； xy2 ； y vt4 ；- 10xyaz3 *2 下列代数式中，哪些是单项式？哪些不是？工4aba01-2x3 ； ab； 1 +x；岂；-y； 6x2 - x + / *3利

2、用乘法的交换律、结合律计算6X4X13X 25.利用乘法交换律、结合律以及前面所学的幕的运算性质，计算下列单项式乘以单项式： 2x2y 3xy2=(2X 3)(x2 x)(y y2)=6x3y3;(利用乘法交换律、结合律将系数与系数，相同字母分别结合，有理数的乘法、同底 数幕的乘法)(2) 4a2x5 (-3a3bx)=4 X (-3)(a2 a3) b (x5 x)=-12a5bx6.(b只在一个单项式中出现，这个字母及其指数照抄)由此，我们可以得出单项式的乘法法则：单项式相乘，把它的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。需要注意的几点(1)

3、法则实际分为二点：系数相乘有理数的乘法；相同字母相乘同底数幂的乘法；只在一个单项式中含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式，不能丢掉这个因式.(2) 不论几个单项式相乘，都可以用这个法则.(3) 单项式相乘的结果仍是单项式. 应用举例变式练习例1计算：(1)(-5a2b3)(-3a); (2)(2x)3(-5x2y)；./(4) (-3ab)(-a2c)2 6ab(c?)3.解：(1)(-5a2b3)(-3a) =(-5)(-3)(a2 a) b3 =15a3b3;(2x)3(-5x2y)=8x3 (-5x2y)=8 X (-5)(x3 x2) y =-40x5y ；(4)(-3ab)(-a

4、2c)2 6ab(c?)3=(-3ab) a4c2 6abC6=(-3) X 6a6b2c8=-18a6b2c8.提醒注意：先做乘方，再做单项式相乘，中间过程要详细写出，待熟练后才可省略.课堂练习(3)(-2.5x2) - (4幻，2 . ,5y * Kyz.(-x2y)3.(2)8xV+1 -1. 计算：(1) 3x5 5x3; (2)4y (-2xy3)；2. 计算：(1)(3x2y)3 (-4xy2)； (2)(-xy2z3)43. 计算：(1)(-6an+2) 3anb;6aL (-5an+1b2).飞小f訂例2光的速度每秒约为3X 105千米，太阳光射到地球上需要的时间约是5X 10

5、2秒，地球与太 阳的距离约是多少千米？解：(3 X 105)x (5X 102)=15X 107=1.5X 108.答：地球与太阳的距离约是1.5X 108千米.课堂练习一种电子计算机每秒可作108次运算，它工作5X 102秒可作多少次运算？小结1. 单项式的乘法法则可分为三点，在解题中要灵活应用.2. 在运算中要注意运算顺序.先看下面几道题：(1)-m2 *m2(2) (xy)3 (xy)2(3) 2(ab 3)(4) 3(abc+2bc c)(5) ( 2a b) (6ab c)(6)(2xy)3yx探索练习:课件展示图画,让学生观察图画用不同的形式表示图画的面积并做比较.由此得到单项式与

6、多项式的乘法法则第一表示法：x2 1x2第二表示法：x (x ix )44故有：x (x 1x ) = x2 ix244观察式子左右两边的特点，找出单项式与多项式的乘法法则。 跟着用乘法分配律来验证。单项式与多项式相乘：就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项再把所得的积相加。 例题讲解：例2:计算(1) 2ab (5ab2+3a2b)(2) (ab2-2ab) -ab32巩固练习：1、判断题：(1) 3a3 5s?=15a3( )(2) 6ab *7ab = 42ab( )(3)3a4 (2a2 -2a3)= 6a*-6a12()2 2(3) x (2y xy)=-2xy2x3y()2、计算

7、题:1 2(1) a(a 2a)61 2(3) 2a(-2ab+_ab )33x( y xyz)2 2 2(5) 3x2( - y - xy2 + x2)2ab(b - a4b2 c)3(7) (a+b2+c) ( 2a)(8)(a2)3+(ab)2+3 (ab3)2 2 2 2(9)(3a) +3ab c *(2ab )(10),1 v2 2326、(：xy)(：xy：xy +：y) 2325川八 z 32丄3742 2.(11)( ；x +xy 二y ) (y )253应用题：1、有一个长方形，它的长为3acm,宽为（7a+2b）cm,则它的面积为多少？提高题：1 计算：x3) 22x3x

8、3 x (2x2 1)nn+2n-1(2) x (2x 3x +1)(1)(22、已知有理数 a b、c满足 |a b3|+ (b+1) +|c1|=0, 求(一3ab) (a2c 6b2c)的值。3、已知：2x(xn+2) =2xn+1 4,求 x 的值3nmk96 42 , 32、4、右 a (3a 2a +4a ) =3a 2a +4a，求3k (n mk+2km )的值小结：要善于在图形变化中发现规律，能熟练的对整式加减进行运算。多项式乘以多项式课前练习：1、计算：(1) (3xv)3 =(2)3 32(-x y)=(3) (2 心07)4 =(4)2(-x)-X)2 =(5) - a

9、2-a)6 =(6)Z 3 5 -(X )=(7) (-a2)3 a5 =(8)(-2a2b)3a5bc)2 =2、计算：(1) 2x(2x2 3x1)125(2)存一6xy)探索练习：如图，计算此长方形的面积有几种方法？如何计算？小组讨论你从计算中发现了什么？mb多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。巩固练习：1、计算下列各题：1 1(1) (x+2)(x+3)(2)(a-4)(a+1)(3)(y_)(y+)2 33(4) (2x 4)(6x _ )42(7) (x 2y)2(8) (-2x 1)2(9) (ax b)(cx d)(5) (m 3

10、n)(m-3n) (6) (x 2)(10) (x-2)(x2 2x) (x 2)(x2-2x)( 11) (-3x y)(-3x - y)提高练习：1、若(x5)(x+20) = x2+mx + n 则 m=， n=2、若(x a)(x b) = x2 - kx ab，则 k 的值为()(A) a+b ( B) a b(C) a b ( D) b a3、已知(2xa)(5x+2)=10x2 6x + b 贝U a= b=4、若 x2 x -(x 2)(x -3)成立，贝U X 为 5、计算:(x 2)2+2(x 2)(x _2) 3(x2)(x 一1)6某零件如图示，求图中阴影部分的面积Sr

11、-2t|a+2b7、在x2 px 8与x23x q的积中不含x3与x项，求P、q的值小结：本节课学习了多项式乘法的运算，要特别注意多项式乘法的运算中不要“漏项”、和“符号”的正确处理。二、平方差公式课前训练：1、（x +2y 丫探索练习：1、计算下列各式：（1）x 2 x-22、 2n 5 n - 3(2)1 3a 1-3a2、观察以上算式及其运算结果，你发现了什么规律?3、 m 4n m - 4n(3) x 5y x -5y两数和与这两数差的积，等于它们的平方差3、猜一猜：a b a -b ； 巩固练习：1、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 (1) a b a -c(2) x y - y

12、 x(3) ab3x ：；.3xab(4)mn m n2、判断:(1) (2a+b 12ba )=4a2b2 ()(2) Ux+1 (丄x T =丄x2 T ()辽 八2 丿2(3) 3x -y - 3x y i=9x2 - y2 () (4) 2x - y - 2x y = 4x2 - y2()(5) a 2a-3 二 a2-6()(6) x3y-3 二 xy-9()3、计算下列各式：(1) (4a7b4a+7b)(2) (2mn J2m n) (3) Ha+bYla丄 b&2人32丿(4) - 5 2x 5 -2x(5) 2 3a2 3a2 -216 / 16(6) i1 x 一 2 11

13、 x 2- 3 x Jx 一 32 24、填空:(2) 4a-1=16a2-1(1) 2x 3y 2x-3y 二(3) (ab-3=丄a2b2-9749(4) 2x-3yi=4x2-9y2提高练习：a1、求 x y y x2 y2 的值，其中 x = 5, y = 22、计算:(1) a -b c a -b -c(2) x4 -：；2x2 1 2x21 1x2 x 2 x2 43、若 x2 - y2 = 12 , x y = 6 ,求x , y的值。小 结：熟记平方差公式，会用平方差公式进行运算 复习提问1. (1)用较简单的代数式表示下图纸片的面积.(2) 沿直线裁一刀，将不规则的右图重新拼

14、接成一个矩形，并用代数式表示出你新拼图形 的面积.2. (1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式；(2) 试比较公式的两种表达式在应用上的差异.沿HD、GD裁开均可，但一定要让学生在裁开之前知道HD = BC = GD = FE = a-b，这样裁开后才能重新拼成一个矩形希望推出公式：a2 (乱一 b)说明：平方差公式的数学表达式在使用上 有三个优点(1)公式具体，易于理解；(2)公式的 特征也表现得突出，易于初学的人“套用”；(3)形式简洁但数学表达式中的a与b有概括性及抽 象性，这样也就造成对具体问题存在一个判定 a、b的问题，否则容易对公式产生各种主观上的误 解.依照公式的文字表达式

15、可写出下面两个正确的式子：(丑+b)(a b) =a2 b2(a + b ) Cb a) =b2 a2i t I两数和这两个数的差两数平方差经对比，可以让人们体会到公式的文字表达式抽象、准确、概括因而也就“欠”明确(如 结果不知是谁与谁的平方差)故在使用平方差公式时，要全面理解公式的实质，灵活运用公式 的两种表达式，比如用文字公式判断一个题目能否使用平方差公式，用数学公式确定公式中的a与b,这样才能使自己的计算即准确又灵活.3判断正误:(X)(2)(4x+3b)(4x-3b) = 16x2-9;(X )(X)切(4x+3b)(4x-3b) = 4x2-9b2;(X )(y+2)(y-2)(y2

16、+4).(2)(y+2)(y-2)(y2+4) 二(y2-4)(y2+4) =(y2)2-42=y4-16.(1)(4x+3b)(4x-3b) = 4x2-3b2;(3) (4x+3b)(4x-3b) = 4x2+9b2;例1运用平方差公式计算：(1)102 X 98;解: (1)102X 98=(100+2)(100-2)=1002-22= 10000-4=9996;仗- )& +(只+2. 运用平方差公式计算：(1)103X 97; (2)(x+3)(x-3)(x 2+9); (3)59.8X 60.2;3. 请每位同学自编两道能运用平方差公式计算的题目.例2填空：(1)a2-4二(a+2

17、)(); (2)25-x2二(5-x)(); (3)m2-n2二()();思考题：什么样的二项式才能逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积?(某两数平方差的二项式可逆用平方差公式写成两数和与这两数的差的积)练习填空：1. x2-25二()();2. 4m2-49= (2m-7)();)();(2)(m2+n-7)(m2-n-7).(2)(m2+n-7)(m2-n-7) =(m2-7)+n(m 2-7)-n =(m2-7)2- n2422=m -14m +49-n .3. a4-m4= (a2+m2)() = (a2+m2)(例3计算：(1)(a+b-3)(a+b+3);解：(1)(a+b-3

18、)(a+b+3)=(a+b)-3(a+b)+3=(a+b)2-9 = a2+2ab+b2-9.三、小结1 什么是平方差公式？一般两个二项式相乘的积应是几项式？2. 平方差公式中字母a、b可以是那些形式？3 怎样判断一个多项式的乘法问题是否可以用平方差公式？四、布置作业1. 运用平方差公式计算：(1)(a2+b)(a2-b);(2)(-4m2+5 n)(4m2+5 n)；(x2-y2)(x2+y2);(4) (9a2+7b2)(7b2-9a2).2. 运用平方差公式计算：(1)69 X 71;(2)53 X 47;三、完全平方公式计算：(2) (3a -2b) (3a+2b)(4) (3a -2

19、b) (3a - 2b)(1) (mn+a) (mn - a)(3) (3a + 2b) (3a+2b) 探索练习：ab一块边长为a米的正方形实验田，因需要将其边长增加 b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种 (如图)用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较 你发现了什么？观察得到的式子，想一想：(1) (a+b) 2等于什么？你能不能用多项式乘法法则说明理由呢?(2) (a-b) 2等于什么？小颖写出了如下的算式：2 2(a b) =a+ ( b)。她是怎么想的？你能继续做下去吗？由此归纳出完全平方公式：(a+b) 2=a2+2ab+b2(ab) 2=a2 2ab+b2观察完全平方公式的

20、特点，并用自己的言语表达出来。例：（利用完全平方公式计算）(1)( 2x-3)解:(2x-3)22 (2x)=4x- 12x +9巩固练习：1、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算(1) abac(2) x y -y x(3) ab -3x -3x ab(4)m-n m n2、计算下列各式:(1)4a 7b 4a 7b(2)J-2m -n 2m n (3)1a 1b 1a1b3232(4)-5 2x 5 2x(5) 2-3a23a2-2(6)x+2Cx23-x；Lx-34、填空:(1) 2x 3y 2x 3y 二(2) 4a-1=16a2 8a 1(3) (Qab+3 =丄a2b2 + 97

21、49提高练习：1、求(x + y lx+y )(x y 2 的值，其中 x = 5, y = 22、若(x -y)2 =12, (x y)2 =16,求xy的值。小 结：熟记完全平方公式，会用完全平方公式进行运算。教学后记：学生基本上能套用平方差公式进行运算，但是也有出现以下错误:(1) (a+b) 2=a2+b2(2) (3+a) (2-a) =6-a2对公式的真正理解有待加强。课前复习：1、算下列各题：1、(x y)22、(3x2y)23、(；a b)2 4、(2t 1)212232125、(-3abc)6、( x：- y)7、( x-1)33222、 通过教科书中一个有趣的分糖果场景，使

22、学生进一步巩固(a b)2二a2 2ab b2，同时帮助 学生进一步理解(a b)2与a2 b2的关系。若没有计算器的情况下，你能很快算出9982的结果吗？1、 例：利用完全平方公式计算：(1) 1022(2) 1972先分析，再课件演示解答过程2、 练习：利用完全平方公式计算：(1) 982( 2 ) 20323、 例：计算：(1) (x，3)2-x2(2) y2-(x，y)2方法一：按运算顺序先用完全平方公式展开，再合并同类项； 方法二：先利用平方差公式，再合并同类项。注意：(2)中按完全平方公式展开后，必须加上括号4、练习：计算：(1) (a 3)(a-3)-(a-1)(a 4)(2)

23、(xy 1)2 -(xy-1)2(3) (2a 3)2 _3(2a _1)(a 4)5、例：计算:(1) (a b 3)(a b _3)(2) (x-y 2)(x y-2)练习：(a -b -3)(a -b 3)6、补例：若 x2 4x (x 2)2 ，贝U k =若x2 2x k是完全平方式，则 k =小结：利用完全平方公式可以进行一些简便的计算，并体会公式中的字母既可以表示单项式，也可以表 示多项式。教后记：简便计算完成得较好，但形如(x-y 2)(x y-2)的计算，多学同学都容易犯错。四、整式的除法单项式除以单项式单项式相除，把系数、同底数幕分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含

24、有的字母，则连同他的指数一 起作为商的一个因式。(2)-|aab2cj 3ab（3）以上的计算是什么运算？能否叙述这种运算的法则?多项式除以多项式1计算并回答问题：（l）4a3b4c2aab2c;3请同学利用2、3、6其间的数量关系，写出仅含以上三个数的等式.说明：希望学生能写出2X 3=6, （2的3倍是6）3X 2=6, （3的2倍是6）6- 2=3, （6是2的3倍）6- 3=2. （6是3的2倍）然后向大家指明，以上四个式子所表示的三个数间的关系是相同的，只是表示的角度不同, 让学生理解被除式、除式与商式间的关系.1.新课引入.对照整式乘法的学习顺序，下面我们应该研究整式除法的什么内容

25、？在学生思考的基础上, 点明本节的主题，并板书标题.2 法则的推导.引例：(8x3-12x2+4x)十4x=(?)分析：利用除法是乘法的逆运算的规定，我们可将上式化为4x ( ？)=8x3-12x2 + 4x.原乘法运算：乘式乘式积(现除法运算)：(除式)(待求的商式)(被除式)然后充分利用单项式乘多项式的运算法则，引导学生对“待求的商式”做大胆的猜测：大体 上可以从结构(应是单项式还是多项式)、项数、各项的符号能否确定、各具体的项能否“猜”出 几方面去思考根据课上学生领悟的情况，考虑是否由学生完成引例的解答.解：(8x3-12x2+4x)宁 4x=8x3* 4x-12x2 宁 4x+4x 宁 4x=2x2-3x+4x.思考题：(8x3-12x2+ 4x) - (-4x)= ?以上的思想，可以概括为“法则”：(_ am+bm+cm j h- m=am + m+bm + m+cm m法则的语言表达是多项式除以单项式，