第八章金属塑性成形问题的简化求解方法

1、 主应力法的数学演算比较简单。这种方法只能确定接触面上的应力大小和分布。从 所得的数学表达式中，可以看出各有关参数(如摩擦系数、变形体几何尺寸、模孔角度 等的影响。计算结果的准确性和所作假设与实际情况的接近程度有关。 主应力法是一种近似的解析法，也是一种简化分析法。只有当简化能获得静力容许应 力场时，则所获得的解才是一个下限解。 下面以裁面为矩形的无限长坯料的水平镦粗为例说明如何应用主应力法。 高度为 h 、 为 L ,取宽度、 例 4 如图 8.31,设长矩形毛坯在变形某瞬间的宽度为 b 、 高度与长度等方向分别为 x 轴、 y 轴和 z 轴， y y 因长度方向的尺寸远大于 x 和 y 方

2、向， 可近似地认为坯料沿 z 向无变形，属于 P x 平面变形问题。 + d 用主应力法计算变形力的步骤如下： 1切取基元体。在垂直于 z 轴的截 面(变形平面上取包括接触面在内的高 度为坯料瞬间高度、宽度为 dx 的基元体 图 8.31 长矩形板平面镦粗 x x x (图 8.31 中阴影部分。采用常摩擦条件，按主应力法原理，作用在垂直于 x 轴的左 右两截面上的应力设为主应力。在接触面上作用着主应力和接触剪应力。 2列出基元体沿 x 轴方向的平衡微分方程： x Lh ( x + d x = 积分，得： x dxLh 2µy Ldx= 0 x dx (8.31 整理并写成微分形式：

3、 2µ × y h (8.32 ln y = 既： 2µ x+c h 2µ x h (8.33 y = C e (8.34 3塑性条件 根据平面变形问题的塑性条件,考虑 y 为压应力而 x 为拉应力, 塑性条件可写为如下 表达式: x y = 2 3 s (8.35 d x = d y 5. 边界条件 在自由面（ x = ± b 2 ）的 x 方向没有应力，即: x x =± b 2 = 0。 11 6联解平衡方程和塑性条件,求出接触面正应力分布: 将式(255、式(34b代入式(34a得: dx d 3 = 2 µ s h

4、 求 积分之，得: x 3 = 2µ s + c h 代入塑性条件和边界条件，得: 2 b c= s 2µ s h 3 将上式回代， 即得: 2 b 2x y = s 2µ s ( 2h 3 所以，正应力沿接触面成线性分布。 6将 y 沿接触面积分求镦粗力 P ，即： P = 2L (8.36 (8.37 (8.38 (8.39 b 2 ( 2 3 0 µ 2 b s + s b 2 µ s xdx = Lb( + µ s h h 3 2h (8.310 7求接触面单位面积上的作用力 p （单位变形力） ： 2 P b =( + p=

5、 µ s Lb 3 2h (8.311 §8.4 塑性材料力学法 塑性材料力学法是苏联力学家斯米尔洛夫阿辽也夫及其同事在五十年代提出来 的一种试验解析法。这种方法与主应力法不同，不是以板料的整个变形区作为研究对 象，而仅着眼于变形区中的某一特定试验求得此点的应变，再由应变确定应力。所以这 种方法可以避免繁琐甚至不可解决的数学运算，在生产实践中便于推广应用。将这种方 法的简要步骤介绍如下。 塑性材料力学法思路： (一根据问题的需要，确定研究点所在部位，用解析计算法或试验测定法，求出该 点的三个主应变分量： 1. 解析计算法 分析变形过程中研究点所在部位的应力应变状态，确定其变

6、形主轴，再由板料变形 前后的几何关系与体积不变条件，分析计算三个主应变分量： 1 、 2 、 3 。 2试验测定法 在毛料表面作出小圆，变形以后，小圆即变为椭圆，椭圆的长短轴即为两个主应变 的方向。根据长、短轴的长度 2rma 、 2rmi 与小圆的原始直径 2r0 以及体积不变条件，即确 定毛料在小圆处的三个主应变： 12 1 = ln rma r0 ， 2 = ln rmi ， t = ( 1 + 2 r0 (8.41 （二）根据三个主应变按下式确定其等效应变： 对于厚向异性材料： 1+ r 2r = 12 + 1 2 + 22 r 1 + 1 + 2r (8.42a） 式中 r 为厚向异

7、性指数,也称为金属薄板塑性应变比，它是薄板在单向拉伸时宽度方向 的真实应变 b 与厚度方向的真实应变 t 之比，既 = b t ， 值反映了板厚方向与板料 平面方向的塑性差异，既板料的厚向异性。 对于各向同性材料(r1 = 2 3 12 + 1 2 + 22 (8.42b） （三）根据材料的应力应变关系： = f ( 确定此点的等效应力。 （四）利用板厚方向应力为零的条件，根据以下各式计算板面内的主应力 对于厚向异性材料： 1+ r 1+ r 1 r t ， 1 = 2 r t 1 = 1 + 2r 1 + 2r 对于各向同性材料(r1： 2 2 1 t ， 1 = 2 t 1 = 3 3 (

8、五利用静力平衡条件，由主应力计算变形力。 (8.45a） (8.45b 例 5 用直径 D0 = 95 mm 的圆板压延成直径 d50mm 的筒形件。压延前在毛料表 面直径 80mm 处作一小圆，小圆直径为 2.50mm，在压延某一阶段，小圆变为椭圆，测得 其长轴(沿坯料径向为 2.81mm，短轴(沿坯料周向为 2.12mm。假定材料的一般性应力 应变关系为： = 54.7 0.23 ，厚向异性指数 r1.30，试确定小圆的主应变和主应力分量。 解： (1小圆的三个主应变 2.12 = 0.166 周向 : = ln 2.50 径向： r = ln 2.82 = 0.117 2.50 厚向 :

9、 t = ( + r = 0.049 (2小圆的等效应变，由式(8.4-2a得： 1 + 1.3 2 × 1.3 0.166 2 = × 0.166 × 0.117 + 0.117 2 = 0.168 1 + 1.3 1 + 2 × 1.3 (3由应力应变关系求出等效应力： = 54.7 × 0.168 0.23 = 36.29 (4利用式（8.4-5a） ，可以求得小圆处之径向应力及切向应力为： 1 + 1.3 36.29 × r = 0.117 1.3 × 0.049 16 (kgf/mm 1 + 2 × 1.

10、3 0.168 13 = 1 + 1.3 36.29 × 0.166 1.3 × 0.049 23 (kgf/mm 1 + 2 × 1.3 0.168 如果在突缘变形区的坯料上，预先作出一系列小圆，即求出变形区各处的应力应变 分布。 例 2 在薄板上利用橡皮压制成形图 8.42 所示之环状筋。 假定板料厚度为 t， 材料 一般性应力应变曲线为: = B n 。筋的宽度为 b，筋的弧长为 l。忽略材料的厚向异性 及筋边沿圆角的影响，试估算： (1筋的三个主应变； (2筋的三个主应力； P (3成形所需之单位压力。 r 解： l (1筋的三个主应变： l 径向： r = ln b 周向： = 0 l 厚向： t = r = ln b 图 8.42 圆板压筋 (2筋的等效应变及等效应力： l 2 2 = r = ln 3 3 b l 2 = B n = B ( ln n