第十一章 弯曲应力

1、材料力学第十一章弯曲应力§11.1引言§11.2对称弯曲梁的正应力§11.3梁的切应力§11.4 梁弯曲时的强度计算§11.5 梁的合理强度设计§11. 6提高梁强度的措施§11.1引言1.对称弯曲的概念对于具有纵向对称面的梁:平面弯曲外力作用在梁的纵向对称平面内,使梁的轴线弯曲后仍在此对称平面内的弯曲变形即:平面弯曲轴线的弯曲平面与外力的作用平面重合的弯曲形式例如:F F FF轴线§11.1引言§5.6纯弯曲梁的正应力F F aa 纯弯曲横力弯曲横截面上只有M 、没有F Q 的弯曲横截面上既有M 、又有

2、F Q 的弯曲剪切弯曲F QFFM FaMmmnn b'b'o'o'M1.实验分析纵向线:变形现象:上层纤维缩短,下层纤维伸长F Fmm nn b b o o 仍为直线,相对旋转了一角度弯成了相互平行的弧线,仍与横向线垂直§11.2对称弯曲梁的正应力横向线:假设:(2纵向纤维处于简单拉伸或压缩状态(1横截面变形后仍为平面,且仍垂直于轴线(3同一高度上的纤维的变形相同横截面上只有正应力横截面上同一高度的正应力相等平面假设yzy b 1.实验分析二、纯弯曲梁的正应力Mmmnn b'b'o'o'MF Fmm nn b b o

3、o中性层中性轴既不伸长、也不缩短的纤维层横截面各横截面绕中性轴旋转中性轴横截面与中性层的交线两个名词:中性层2.公式推导Mmm nn b'b'o'o'M(1变形几何学方面y=y d d x bb bb b b -''=o o o o ''''d d d -+=(y xd xyxmmnn b b o o yF Fl l =(2物理学方面E =yE=Mz yxz 轴中性轴yz yb y 轴对称轴E E E =压拉(假设(3静力学方面=0=M =AA y Ed =AA y Ed 21zEI M =AA d N F zS

4、E=A y A d z M Mz xyC yE=z 轴必须通过横截面的形心=zEI EI z 梁的抗弯刚度,反映梁抵抗弯曲变形的能力或横截面上的正应力z I My max max = max zW M = max y I W z z =与横截面的形状和尺寸有关,单位:m 3抗弯截面系数zI My =最大正应力式中=z W Dy z C bh y zC 62bh 323D 常用截面W z :D d yzC 2/h I z =z W 2/D I z (43132-D =z W 2/D I z三、横力弯曲梁的正应力在横力弯曲情况下:横截面上既有正应力,又有切应力可按纯弯曲梁的正应力公式计算横力弯曲梁

5、的正应力横截面将发生翘曲,不再保持为平面精确的分析(弹性力学分析表明:当时5 hl第五章梁的基础问题§11.3 梁的切应力一、矩形截面梁的切应力二、工字形截面梁的切应力三、圆形截面梁的切应力四、横力弯曲时横截面的翘曲变形§5.7梁的切应力实践表明:有些梁是因正应力达到抗拉或抗压强度而破坏有些梁则是因切应力达到抗切强度而破坏例如:跨度小、截面高的木梁破坏原因:(1梁端横截面上的剪力较大(2木梁沿木纹方向的抗切能力较弱实验研究和理论分析表明:梁的切应力分布规律与横截面的形状有关以下介绍几种常用截面梁的切应力一、矩形截面梁的切应力1.两个假设(1切应力方向与横截面的侧边平行,与剪

6、力同向;(2切应力沿横截面宽度均匀分布。yz x F Q2.公式推导(1取微段d xFxF Mb hzyQyxd xm m nnmnnm d xMQF M+d MF Q12(2在微段d x 中取研究体nm12deyde'mnnm d x MQF M+d MF Q12(3求研究体各面上的合力=*d 2*2N A A F +=*d d 1A zA I y M M (z I M M d +=*d 1A A y z I M M d +=*z S *1N z zS I M F =xb T d d '=d xnm2'mnbxzyd AF N21d AFN1y y 1d T de *

7、A *y 1nm12deyde'mnnm d x MQF M+d MF Q12§5.7梁的切应力(4考虑研究体的平衡*2N d zzS I M M F+=*1N zzS I M F=xb T d d '=:0=xFd *1N *2N =-T F F 0d d *='-+x b S I M S I M M z zz z (bI Sx M z z*d d ='b I S F z z*Q =denm2'mnbxzd AF N21d AFN1y y 1d T de *A *'§5.7梁的切应力一、矩形截面梁的切应力(公式推导切应力公式

8、由切应力互等定理:*Q bI S F z z='=bh yzy dF QbI S x M z z*d d ='b I S F z z*Q =denm2'mnbxzd AF N21d AFN1y y 1d T de *A *'由切应力互等定理:*Q bI S F z z=式中'=*zS所求切应力点外侧面积对中性轴的静矩denm2'mnbxzd AF N21d AFN1y y 1d T de *A *h yzy dF Q'*Q b I SF z z=*Cz y A S =max -+ -=222y h y y h b -=2242y h b

9、23 QmaxbhF =3.切应力分布规律 -=22Q 42y h I F z h yzy dF Q二、工字形截面梁的切应力腹板中的切应力矩形截面上切应力分布的两个假设仍然适用故§5.7梁的切应力腹板中的切应力翼缘二、工字形截面梁的切应力腹板矩形截面上切应力分布的两个假设仍然适用max minmin*Q bI S F z z=yBbzh Hy dF Q故盒形薄壁梁4(2(612(22220S S y h h h b I F I S F y z z z -+-=1.假设三、圆形截面梁的切应力(1水平弦AB 上各点的切应力zy PRB CAF y bQ 方向交于一点(2水平弦AB 上各点

10、的切应力垂直分量相等垂直分量2.切应力公式bI S F z zy *Q =3.最大切应力zyRF maxQ2Q max34RF =四、横力弯曲梁横截面的翘曲变形矩形截面梁切应变:切应变沿高度按抛物线变化,使得横截面发生翘曲 -=22Q 42y h I F z -=22Q 42y h GI F G z yxF =0 =maxF切应力: 1 m A B CF = 20 kN 1.5 m 1 m 118 kN 12 kNy z 6010030b I S F z zD D *11Q -=MPa 6010540206010863=(MPa 28.1= z I 46mm 105z E E I y M 11

11、-=MPa 1055010866=MPa 08=zD D I y M 11-=MPa 1053010866-=(48MPa -=E 0=D E 的最大正应力和最大切应力。解: 123bh 1.D 与E 点的应力43mm 1210060=求支反力M (kN m 12.F ( kN 812Q 2.梁的最大应力z I y M max max max =MPa 10550101266MPa 120=bh F max Q max 23|=MPa 100601012233MPa 3= 1 mA B C F = 20 kN 1.5 m 1 m 118 kN 12 kN yz 6010030D E 的最大正应

12、力和最大切应力。解:第五章梁的基础问题§11.4 梁弯曲时的强度计算一、正应力强度条件二、切应力强度条件三、强度计算的三类问题§5.8梁弯曲时的强度计算一、正应力强度条件| max t max t 一、正应力强度条件注意: | max max=zW M 1.对于t =c =的材料(如低碳钢,要求:2.对于t c 的材料(如灰铸铁,要求:| c max c | *maxmax Q max =bI SF z z 二、切应力强度条件式中中性轴一侧的横截面面积对中性轴的静矩b *max z S横截面在中性轴处的宽度三、强度计算的三类问题(1校核强度(2选择截面(3确定许用载荷2mA

13、 BC20 kN3m1mD 10 kN/m20017030301y 2y z I mm 2003017030185200308517030+=m m139=m m61=2346302001230200+=45mm10403 =z z y 11y 2Cy 1.求几何参数423mm54170301217030+解:=139=61c tc t2.求支反力解:3.画M图,求危险截面4.强度校核M ( kN m .2010 =139=612001703030z z y11 y2C y2mAB C20 kN3m1mD10 kN/m30 kN10 kNc t 解:zB B I y M 2max t =zB

14、B I y M 1max c |=zC C I y M 1max t =zC C I y M 2max c |=MPa 1040361102056=MPa 330.MPa 10403139102056MPa 069.=MPa 10403139101056MPa 534.=MPa 1040361101056=MPa 215.t <t <c <c <梁安全M ( kN m .2010=139=612001703030z z y 11y 2Cy 2mA BC20 kN3m1mD 10 kN/m30 kN10 kN解:1.求支反力1 F =200 kN 3 m 3y z11F

15、=60 kN 2 F 2A B C D E F =160 kN Ay F =160 kNBy F 60 kN100 kN100 kN60 kNQ240 kN m 60 kN m.60 kN m .MkN 100|max Q max Q =F F 2.画F Q 、M 图mkN 240|max max =M M3.按正应力强度条件选择截面得到由max z W M max M W z 36mm 17010240=36mm 10412.1=3cm 1412=对于一根槽钢3cm 7062='z z W W 查表取:No.36c ,其3cm 746='z W 解:1 F =200 kN 3

16、 m 3y z 11F =60 kN2 F 2A B C D E F =160 kN Ay F =160 kN By F 60 kN 100 kN100 kN 60 kN Q240 kN m 60 kN m .60 kN m .M4.校核切应力强度查表得:4cm13400=z I z 16100133601A *2A *2*2*1*1*max C C z y A y A S +=(818016100-=2161801618013-+(34mm1045=解:1 F =200 kN 3 m 3y z 11F =60 kN2 F 2A B C D E F =160 kNAy F =160 kN By F 60 kN100 kN100 kN60 kNQ每根槽钢承受的最大剪力为:34*max mm1045=z S kN 502max Q max Q ='F F MPa 9.12=bI S F z z *max max Q max '=MPa 13101340010451050443=<取No.36c 解:1 F =200 kN 3 m 3y z 11F =60 kN2 F 2A B C D E F =160 kN Ay F =160 kN By F 60 kN 100 kN 100 kN 60 kN Q 4.校核切应