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文档简介

1、回忆回忆 曲边梯形求面积的问题曲边梯形求面积的问题 badxxfA)(一、问题的提出一、问题的提出曲曲 边边 梯梯 形形 由由 连连 续续 曲曲 线线)(xfy )0)( xf、x轴轴与与两两条条直直线线ax 、bx 所所围围成成。ab xyo)(xfy 微元法微元法面积表示为定积分的步骤如下面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间）把区间 ,ba分成分成 n个长度为个长度为ix 的小区间，的小区间，相应的曲边梯形被分为相应的曲边梯形被分为 n个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形，第 i 个小窄曲边梯形的面积为个小窄曲边梯形的面积为iA ，则，则 niiAA1. （2）计计算算iA 的的近近似似值值

2、iiixfA )( iix （3） 求和，得求和，得A的近似值的近似值.)(1iinixfA ab xyo)(xfy （4） 求极限，得求极限，得A的精确值的精确值iinixfA )(lim10 badxxf)(提示提示 若用若用A 表示任一小区间表示任一小区间,xxx 上的窄曲边梯形的面积，上的窄曲边梯形的面积，则则 AA，并取，并取dxxfA)( ，于是于是 dxxfA)( dxxfA)(lim.)( badxxfxdxx dA面积微元面积微元当当所所求求量量U符符合合下下列列条条件件：（1）U是是与与一一个个变变量量x的的变变化化区区间间 ba,有有关关的的量量； （2）U对于对于区间区

3、间 ba,具有可加性具有可加性，就是说，如，就是说，如果把区间果把区间 ba,分成许多部分区间，则分成许多部分区间，则U相应地分相应地分成许多部分量，而成许多部分量，而U等于所有部分量之和；等于所有部分量之和； （3）部部分分量量iU 的的近近似似值值可可表表示示为为iixf )( ； 就就可可以以考考虑虑用用定定积积分分来来表表达达这这个个量量U微元法的一般步骤：微元法的一般步骤：1）根根据据问问题题的的具具体体情情况况，选选取取一一个个变变量量例例如如x为为积积分分变变量量，并并确确定定它它的的变变化化区区间间,ba；2）任任取取,bax 和和dx，考考察察,dxxx 上上的的微微量量dxxfdU)( （关关键键!要要保保证证)()(dxodxxfU ）； 3）以所求量）以所求量U的的微微元元dxxf)(为被积表达式，在为被积表达式，在区间区间,ba上作定积分，得上作定积分，得 badxxfU)(， 即为所求量即为所求量U的积分表达式的积分表达式. 这个方法通常叫做微元法这个方法通常叫做微元法微元法的应用方向：微元法的应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等功；水压力；引力和平均值等

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