63不等式证明－－比较法

1、ab0ab，ab0ab，ab=0a=b 根据前一节学过的知识，我们如何用实数运算来比较两个实数 与 的大小？ab1、作差比较法的依据：、作差比较法的依据： （实数的运算性质）（实数的运算性质）0aba b 0a ba b 作差比较法的步骤：作差作差比较法的步骤：作差变形（化简）变形（化简）定号定号 （差值差值 的符号的符号）0a ba b 2、作商比较法的原理及步骤：,111abRaabbaabbaabb步骤：作商步骤：作商变形（化简）变形（化简）判断判断 （商值与实数商值与实数1的大小关系的大小关系）得出结论得出结论（1）求证：233xx（2）已知, ,a b m都是正数，并且,ab求证am

2、abmb（3） 已知 都是正数，并且 ， , a bab求证： 552332aba ba b例例1：求证下列不等式：求证下列不等式注意：注意：1.用作差比较法证明不等式得步骤为作差用作差比较法证明不等式得步骤为作差变形变形定号定号.常用的变形方法有：配常用的变形方法有：配方法，通分法，因式分解法，有时把差变形为常数或变形为常数与几个数的平方和的形方法，通分法，因式分解法，有时把差变形为常数或变形为常数与几个数的平方和的形式或变形为几个因式积的形式式或变形为几个因式积的形式.变形到可判断符号为止变形到可判断符号为止.2.不等式不等式( , ,)a b mR 给出了真分数的一个重要性质即真分数分子

3、给出了真分数的一个重要性质即真分数分子分母，同时加上一个正数，分数的值变大分母，同时加上一个正数，分数的值变大.;amabmb3.观察不等式（观察不等式（3）左右两边的指数特征，可将其推广到一般情）左右两边的指数特征，可将其推广到一般情 形：已知形：已知a,b是正数，是正数， 且且mb0,求证：求证：aabbabba说明：作商比较法是将问题转化为商与说明：作商比较法是将问题转化为商与1的关系，故变形时要注意的关系，故变形时要注意1的几种情的几种情形，如形，如1=a0=logaa=a/a等，对商的变形目的常为等，对商的变形目的常为an,logan等形式，以利于利用等形式，以利于利用指数函数和对数

4、函数的单调性作出判断指数函数和对数函数的单调性作出判断例例4.甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有甲、乙两人同时同地沿同一线路走到同一地点。甲有一半一半时间时间以速度以速度m行走，另行走，另一半时间一半时间以速度以速度n行走；乙有行走；乙有一半路程一半路程以以速度速度m行走，另行走，另一半路程一半路程以速度以速度n行走。如果行走。如果mn，问甲、乙，问甲、乙两人谁先到达指定地点。两人谁先到达指定地点。析：设甲，乙两人走完全程所用的时间分别为析：设甲，乙两人走完全程所用的时间分别为t1,t2，则将问题转化为判断时，则将问题转化为判断时间的大小即可间的大小即可.解这类题的步骤是：分析题意

5、，设未知量，找出数量关系（正数关系，相等解这类题的步骤是：分析题意，设未知量，找出数量关系（正数关系，相等关系，不等关系）列出函数关系式，求解，作答关系，不等关系）列出函数关系式，求解，作答.练习：练习：1.求证：求证：22222abab2.已知已知 求证：求证：2a 2414aa 3.已知已知cab0,求证：求证：abcacb 4.已知已知a,b,c,d都是正数，且都是正数，且bcad，求证，求证aaccbbdd 1、作差比较法的依据：、作差比较法的依据： （实数的运算性质）（实数的运算性质）0aba b 0a ba b 0a ba b 作商比较法的原理：作商比较法的原理：当当b0时，时， 当当b0时，时，1aabb1aabb2、利用比较法证明不等式的基本步骤：、利用比较法证明不等式的基本步骤：作差法：作差作差法：作差变形变形定号定号.变形常用因式分解，分组配方等变形常用因式分解，分组配方等作商法：作商作商法：作商变形（化简）变形（化简）判断（判断（商值与实数商值与实数1的大小关系的大小关系）