二次函数应用题分类与解析.

1、二次函数应用题分类解析二次函数是初中学段的难点，学生学起来觉的比较的吃力，可以把应用问题进行分类：第一类、利用待定系数法对于题目明确给出两个变量间是二次函数关系，并且给出几对变量值，要求求出函数关系式，并进行简单的应用。解答的关键是熟练运用待定系数法，准确求出函数关系式。例 1 某公司生产的A 种产品，它的成本是2 元，售价是3 元，年销售量为100 万件，为了获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告。根据经验，每年投入的广告费是销售量将是原销售量的 y 倍，且 y 是 x 的二次函数，它们的关系如下表：x（十万元）时，产品的年x（十万元）012y11.51.8（ 1）求 y 与 x 的函

2、数关系式；（ 2）如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费，试写出年利润S（十万元）与广告费x（十万元）的函数关系式；（ 3）如果投入的年广告费为 10 30 万元，问广告费在什么范围内，公司获得的年利润随广告费的增大而增大？析解： （ 1）因为题中给出了y 是 x 的二次函数关系，所以用待定系数法即可求出y 与 x 的函数关y1 x 23 x 1系式为105（ 2）由题意得 S=10y(3-2)-xx 25x 10Sx 25x 10 ( x5) 2651 x 2.5 ，即广告费在（ 3）由（ 2）24 及二次函数性质知，当10 25 万元之间时，S 随广告费的增大而增大。二、分析数量关系型

3、题设结合实际情景给出了一定数与量的关系，要求在分析的基础上直接写出函数关系式，并进行应用。解答的关键是认真分析题意，正确写出数量关系式。例 2 某化工材料经销公司购进了一种化工原料共部门规定其销售单价不得高于每千克70 元，也不得低于7000 千克，购进价格为每千克30 元。市场调查发现：单价定为30 元。物价70 元时，日均销售 60 千克；单价每降低 1 元，日均多售出2 千克。在销售过程中，每天还要支出其它费用500 元（天数不足一天时，按整天计算）。设销售单价为x 元，日均获利为y 元。（ 1）求 y 关于 x 的二次函数关系式，并注明x的取值范围；（ 2）将（ 1）中所求出的二次函数

4、配方成b)2 4acb 2y a( x4a在图 2 所示的2a的形式，写出顶点坐标；坐标系中画出草图；观察图象，指出单价定为多少元时日均获得最多，是多少？（ 3）若将这种化工原料全部售出，比较日均获利最多和销售单价最高这两种销售方式，哪一种获总利较多，多多少？析解： （ 1）若销售单价为x 元，则每千克降低（70-x ）元，日均多售出 2（70-x ）千克，日均销售量为 60+2(70-x)千克，每千克获利为 (x-30)元。根据题意得y (x 30) 602(70x)5002x 2260x 6500 （ 30 x 70）。（ 2） y2( x 2130x)65002(x65) 21950。顶

5、点坐标为（ 65， 1950 ），草图略，当单价定为 65 元时，日均获利最多，是1950 元。（ 3）列式计算得，当日均获利最多时，可获总利195000 元；当销售单价最高时，可获总利221500 元。故当销售单价最高时获总利较多，且多获利221500-195000=26500 元。三、建模型即要求自主构造二次函数，利用二次函数的图象、性质等解决实际问题。这类问题建模要求高，有一定难度。例 3如图 4，有一块铁皮， 拱形边缘呈抛物线状， MN=4dm，处到边 MN的距离是 4dm，要在铁皮上截下一矩形 ABCD，B、C落在边 MN上， A、D 落在抛物线上，问这样截下去的抛物线顶点使矩形顶点

6、矩形铁皮的周长能否等于 8dm？析解： 由“抛物线”联想到二次函数。如图4，以 MN所在的直线为 x 轴，点 M为原点建立直角坐标系。设抛物线的顶点为P，则 M（ 0，0）， N（ 4，0）， P（ 2，4）。用待定系数法求得抛物线的解析式为yx 24x 。设 A 点坐标为（ x， y），则 AD=BC=2x-4，AB=CD=y。于是 l 2AB 2AD 2y 2(2x 4) 2( x 24x ) 2(22AD2y2(2x4)2( x 24x)2(2x4)2x 212x8。且 x 的取值范围是0<x<4（x 2）。若 l=8 ，则 2x 212x 8 8 ，即 x 26x 8 0

7、。解得 x1 2， x 24 。而 0<x<4（ x 2）。故 l 的值不可能取8，即截下的矩形周长不可能等于8dm。注： 本题还可在其它位置建立直角坐标系。例 4. . 某环保器材公司销售一种市场需求较大的新型产品, 已知每件产品的进价为40元, 经销过程中测出销售量 y( 万件 ) 与销售单价 x( 元 ) 存在如图所示的一次函数关系, 每年销售该种产品的总开支z( 万元 )( 不含进价 ) 与年销量 y( 万件 ) 存在函数关系z=10y+42.5.(1) 求 y关于 x的函数关系式 ;(2) 度写出该公司销售该种产品年获利( 万元 ) 关于销售单价x( 元)的函数关系w式

8、;( 年获利 =年销售总金额 - 年销售产品的总进价- 年总开支金额) 当销售单价 x为何值时 , 年获利最大 ?最大值是多少 ?(3) 若公司希望该产品一年的销售获利不低于 57.5 万元 , 请你利用 (2) 小题中的函数图象帮助该公司确定这种产品的销售单价的范围在此条件下要使产品的销售量最大, 你认为销售单价应定为多少元?. 解 :(1)由题意 , 设 y=kx+b, 图象过点 (70,5),(90,3), 570 kb, 解得 k1, y=1 x+12.3分390 kb.1010b12.(2) 由题意 , 得 w=y( x-40)- z=y( x-40)-(10y+42.5)=(1 x

9、+12)( x-10)-10(1 x+12)-42.51010=-0.1 x2+17x-642.5=1( x-85) 2+80.10当 85元时 , 年获利的最大值为 80万元 .6分(3) 令 w=57.5, 得 -0.1 x2+17x-642.5=57.2.整理 , 得x2-170 x+7000=0.解得 x1=70, x2=100.由图象可知 , 要使年获利不低于57.5 万元 , 销售单价应在70元到 100元之间 . 又因为销售单价越低, 销售量越大 , 所以要使销售量最大, 又使年获利不低于57.5 万元 , 销售单价应定为70元.10分四：利润 最大 ( 小 ) 值问题知识要点：

10、二次函数的一般式y ax 2bxc ( a0 ) 化成顶点式 ya(xb) 24acb 2，如果自变量的取2a4a值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）即当 a 0 时，函数有最小值，并且当xb， y最小值4acb 2；2a4a当 a0 时，函数有最大值，并且当xb4acb 2，y最大值2a4ax1xx2 ，如果顶点在自变量的取值范围x1xb如果自变量的取值范围是x2 内，则当 x，b22ay最值4ac，如果顶点不在此范围内，则需考虑函数在自变量的取值范围内的增减性；如果在此范围4a内 y 随 x 的增大而增大，则当xx2 时，yax 2bxc ，当 xx1 时，y最小ax1

11、2bx1 c ；最大22如果在此范围内y 随 x 的增大而减小，则当xx1 时， y最大ax12bx1c ，当 xx2 时，y最小ax22bx2c 商品定价一类利润计算公式：经常出现的数据：商品进价；商品售价1；商品销售量；商品售价2；商品 定价；（商品调价）；商品销售量 1；销售量变化率; 其他成本。单价商品利润 =商品定价商品售价 1（价格变动量） =商品定价商品售价 2（或者直接等于商品调价）；销售量变化率 =销售变化量 ÷ 引起销售量变化的单位价格；商品总销售量 =商品销售量 1±×销售量变化率；总利润（ W） =单价商品利润×总销售量其他成本总

12、利润（ W ）（商品定价销售量变化 其他成本商品售价 1） 商品销售量 1单位价格变动 例 1 ：求下列二次函数的最值：（ 1）求函数yx 22x3的最值 例 2 ：某商品现在的售价为每件60 元，每星期可卖出300 件，市场调查反映：每涨价1 元，每星期少卖出 10 件；每降价1 元，每星期可多卖出20 件，已知商品的进价为每件40 元，如何定价才能使利润最大？ 练习 ：1某商店购进一批单价为20 元的日用品， 如果以单价30 元销售，那么半个月内可以售出400 件根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1 元，销售量相应减少20 件如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润

13、？实际问题与二次函数习题精选及解析填空题：1当炮弹从炮口以 30o角射出后，飞行高度h( 米 ) 与飞行时间 t( 秒 ) 之间的函数关系式是h=1v0t - 5t 2，2其中 v0 是炮弹发射的初速度，当v0=300 米/ 秒时，炮弹飞行的最大高度是 _。答案： 1125 米。说明：把1v2得 h=150t - 5t24ac b2=1125 米。v =300 代入 h=t - 5t，由公式得 h最大0024a2王师傅想在一块三角形剩料中挖取一块最大矩形料做其他用途，其图形和数据如图所示，请你计算王师傅所取得最大矩形料的面积_，这时 CE=_， CF=_。答案：3 m2，3 m， 1 m。42

14、2说明：设CF=x，则 BF=1- x， BD=2(1- x) ， FD=3 (1 - x) ， S 矩形 FCED=3 (1 - x) ?x= -3 x2+3 x=-3123。 S矩形 FCED3 213(x -) +4最大为m，这时CF= m， CE=m。2422解答题：1某旅社有客房120 间，每间房间的日租金为50 元，每天都客满，旅社装修后，要提高租金。经市场调查，如果1 间客房的日租金每提高5 元，则客房每天出租数会减少6 间。不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？比装修前的日租金总收入增加多少元？分析：这是函数知识在日常生活中的实际应用题，

15、本题中各量之间的等量关系为：每天客房日租金的总收入 =每间客房的日租金×客房每天出租的间数。解：设每间客房的日租金提高 x 个 5 元 ( 即 5x 元 ) ，则每天客房出租数会减少 6x 间，根据题意可得 y=(50+5x)(120 - 6x) ，即 y=- 30(x - 5) 2+6750。当 x=5 时， y 最大 =6750。这时每间客房日租金为50+5× 5=75( 元 ) ，客房日租金的总收入最高，为6750 元。装修前的日租金120× 50=6000( 元 ) ， 6750- 120× 50=750( 元 ) 。故将每间客房的日租金提到75

16、 元时总收入最高，比装修前的日租金总收入增加750元。2某商场经销一种销售成本为每千克40 元的水产品；据市场调查，若按每千克50元销售，一个月能销售出 500 千克，销售单价每涨1 元，月销售量下降 10 千克，针对这种水产品的销售情况，请探索以下问题：(1) 当销售单价定为每千克 55 元时，月销售利润为多少？(2) 设月销售单价为每千克x 元，月销售利润为y 元，写出y 与 x之间的函数关系式。解： (1)月销售利润为：500 - (55 - 50) ×10 × (55 - 40)=6750(元 )2(2)y=500- (x - 50) ×10 ×

17、 (x - 40) ，即 y=- 10x +1400x- 40003火车进站刹车滑行的距离s( 单位： m)与滑行时间t( 单位： s) 的函数关系式是s=30t - 1.5t 2；火车离站台多远开始刹车，才能使火车票刚好停在站台位置上？解：由 s=30t - 1.5t 2 得 s=- 3 (t - 10) 2+1502所以当 t=10 时， s 最大 =150所以当火车从离站台150 米处开始刹车，火车才能刚好在站台停下。4南博汽车城销售某种型号的汽车，每辆进货价为25 万元；市场调研表明，当销售价为平均每周能售出8 辆，而销售价每降低0.5 万元时，平均每周能多售出4 辆；设每辆汽车降价辆

18、汽车的销售利润为y 万元。29 万元时， x 万元，每(1) 求 y 与x 的函数关系式，在保证商家不亏本的前提下，写出x 的取值范围；(2) 假设这种汽车平均每周的销售利润为z 万元，试写出 z 与 x 之间的函数关系式；(3) 当每辆汽车的定价为多少万元时，平均每周的销售利润最大？最大利润是多少？解： (1)y=29 - 25- x=- x+4(0 x 4)(2)z=(8+x× 4) ?y=(8x+8)(- x+4)= - 8x2+24x+320.5(3) 由 z=- 8x2+24x+32，配方得z=- 8(x -3 ) 2+502所以当x=3时， z 最大 =502所以当定价为

19、29- 1.5=27.5(万元 ) 时，有最大利润，最大利润为50 万元。5小店张老板批发进货，其中有一种商品进价为每件9 元，按每件15 元出售，每天可销售40 件；现在他想采用降价促销的办法来增加利润，已知这种商品每件每降价1 元，日销售量就增加10 件，那么他把售价定为多少时，才能使每天获利最大？每天最大利润是多少？解：设降价x 元，则零售价为(15 - x) 元，日销量为(40+10x)件设每日利润为y 元，则由题意得：y=(15 - x- 9)(40+10x)=- 10x 2+20x+240，配方得y= - 10(x - 1)2+250所以当 x=1 时， y 最大 =250，这时

20、15- x=14所以把售价定为每件14 元时，每天获利最大，最大利润是250 元。价为6在黄州服装批发市场，某种品牌的时装当季节即将来临时，价格呈上升趋势；设这种时装开始时定20 元，并且每周 (7 天 ) 涨价 2 元，从第6 周开始保持30 元的价格平稳销售；从第12 周开始，当季节即将过去时，平均每周减价2 元，直到第16 周周末，该服装不再销售；(1) 试建立销售价y 与周次x 之间的关系式； (2) 若这种时装每件进价Z 与周次 x 之间的关系为Z=- 0.125(x - 8) 2+12(1 x 16，且 x 为整数 ) ，试问该服装第几周出售时，每件销售利润最大？最大利润是多少？解

21、： (1) 由题意，可以建立函数关系式如下：当 1x 6 时， y=20+2(x - 1) ；当 6x 11 时， y=30 ；当 12 x 16 时， y=30- 2(x - 11)即 y=(2) 设销售利润为 W元，则 W=售价 - 进价所以 W=化简得 W=12当 1 x 6 时， W= x +148因为对称轴为直线x=0，a>0所以由图象不难得出在1 x 6 范围内，当x=6 时， W有最大值W最大 =1×62+14=18.58当 6 x 11 时， W=1 x2- 2x+268因为对称轴为直线x=8，在 6 x11 范围内，由图象可看出在x=11 时， W有最大值W

22、=121×11 - 2× 11+26=19最大88当 12 x 16 时， W=1 x2- 4x+488对称轴为直线x=16由图象可以看出在12x 16 范围内， x=12 时， W有最大值12最大×12- 4× 12+48=18W =8综上所述，当x=11 时销售利润最大，最大值为19 1元。8二次函数经典应用题练习题1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100 元，售价为130 元，每星期可卖出80 件 . 商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5 元，每星期可多卖出20 件.（ 1）求商家降价前每星期的销售利润为多少元？（ 2）降价后，商家要使

23、每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？2、某商场将进价为2000 元的冰箱以2400 元售出，平均每天能售出8 台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施. 调查表明：这种冰箱的售价每降低50 元，平均每天就能多售出 4台（1）假设每台冰箱降价x 元，商场每天销售这种冰箱的利润是y 元，请写出y 与 x 之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800 元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？3、张大爷要围成一个矩形花

24、圃花圃的一边利用足够长的墙另三边用总长为32 米的篱笆恰好围成围成的花圃是如图所示的矩形 ABCD设AB 边的长为x 米矩形 ABCD的面积为S 平方米（ 1）求 S 与 x 之间的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）（ 2）当 x 为何值时， S 有最大值？并求出最大值（参考公式：二次函数y ax2bx c （ a 0 ），当 xb 时， y最大 ( 小 ) 值4ac b2)2a4a4、某电视机生产厂家去年销往农村的某品牌电视机每台的售价y（元）与月份x 之间满足函数关系y 50 x 2600 ，去年的月销售量 p（万台）与月份 x 之间成一次函数关系，其中两个月的销售情况如下表：月

25、份1月5月销售量3.9万台4.3万台（ 1）求该品牌电视机在去年哪个月销往农村的销售金额最大？最大是多少？（ 2）由于受国际金融危机的影响，今年1、 2 月份该品牌电视机销往农村的售价都比去年12 月份下降了 m% ，且每月的销售量都比去年12 月份下降了1.5m%国家实施“家电下乡”政策，即对农村家庭购买新的家电产品，国家按该产品售价的13%给予财政补贴受此政策的影响，今年3 至 5 月份，该厂家销往农村的这种电视机在保持今年2 月份的售价不变的情况下，平均每月的销售量比今年2 月份增加了1.5 万台若今年3 至 5 月份国家对这种电视机的销售共给予了财政补贴936 万元，求 m 的值（保留一位小数） （参考数据：34 5.831 ，35 5.916 ，37 6.083 ，38 6.164 ）5、某商场试销一种成本为每件60 元的服装，规定试销期间销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 45%，经试销发现，销售量y（件）与销售单价 x（元）符合一次函数ykxb ，且 x65 时， y55 ；x 75 时， y 45 （ 1）求一次函数ykxb 的表达式；（ 2）若该商场获得利润为 W 元，试写出利润 W 与销售单价 x 之间的关系式；销售单价定