电磁场07解答证明概要

1、1. 如题（a）图所示，在z ：.,0的下半空间是介电常数为；的介质，上半空间为空气，距离介质平面距为h 处有一点电荷q。求（1）z . 0和z ,： 0的两个半空间内的电位；（2）介质表面上的极化电荷密度，并证明 表面上极化电荷总电量等于镜像电荷q oh1JqLFq£o题 4.24图（a）1解（1）在点电荷q的电场作用下，介质分界面上出现极化电荷，利用镜像电荷替代介质分界面上的极化电荷。根据镜像法可知，镜像电荷分布为（如题图（b ）、（ C）所示）q，位于z = -h"二tq,位于 z=h上半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q共同产生，即4 二;0尺 4 二;0R_ q

2、14二;o2 (z-h)2；_ ；。 1；o , r2 (z h)2下半空间内的电位由点电荷q和镜像电荷q”共同产生，即:_q q _ q122二（；2 3 22二(；g)(r h ) （z-h）2（2）由于分界面上无自由电荷分布，故极化电荷面密度为二p* R -乌 z£： =%(E1z -E2z) z=e17czcz(名%)hq极化电荷总电量为(；o)hq：r22、32e + Eq 0 (r +h )3dr0qp 二PdS= ；： P2二 rdr 二S0亠"o2. 一个半径为r的导体球带有电荷量为Q,在球体外距离球心为d处有一个点电荷q。（1）求点电荷q与 导体球之间的静

3、电力；（2）证明当q与Q同号，且QRD3R2 2 2 q (D- R2)2 D成立时，F表现为吸引力215题5.9图r2D解（i）导体球上除带有电荷量Q之外，点电荷q还要在导体球上感应出等量异号的两种不同电荷。根据镜 像法，像电荷q 和q”的大小和位置分别为（如题图所示）-Dqd =0导体球自身所带的电荷Q则与位于球心的点电荷Q等效。故点电荷q受到的静电力为F =FqFqFQ：qqq"+q(D+q)4二 0(D -d )24二;0D2q Q （RD）qRqI2-_2 $4 % DDD（R'D）2j当q与Q同号，且F表现为吸引力，即F <0时，贝【J应有由此可得出Q (R

4、 D)q RqD2Db_RD2j"RD32 ZQ22 2q (D-R2)2 D3. 如题5.8所示图，无限长直线电流I垂直于磁导率分别为''i和' 12种磁介质的分界面，试求（1）两种磁介质中的磁感应强度B1和B2 ；磁化电流分布。解（1）由安培环路定理，可得z的两jiI b（2）IU - u '1 i 0巴=Jx所以得到BiB2（2）磁介质在的磁化强度则磁化电流体密度Jm1 ezr在r =0处，B2具有奇异性，所以在磁介质中r =0处存在磁化线电流|m。以z轴为中心、r为半径故得到作一个圆形回路C,由安培环路定理，有H(R) H2(P)Ah*rH1（

5、P2） H2（P2）在磁介质的表面上，磁化电流面密度为e（卩 _%）1J ms = M ? ez z= 0 r 2兀卩0r4. 如题图所示，一环形螺线管的平均半径ro "5cm,其圆形截面的半径a = 2cm,鉄芯的相对磁导率 =1400,环上绕N =1000匝线圈，通过电流I =0.7A。（1）计算螺旋管的电感；（2）在鉄芯上开一个I。nOHcm的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的,r不变）（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。解（1）由于a :ro，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。由安培环路定律,可得螺线管内的磁场为NI2 二 r°与螺线

6、管铰链的磁链为汀-NSH匕2n2i2r°*|题5.12图故螺线管的电感为Ja2N22r°J7221400 4 二 100.021000-2915= 2.346 H（2）当铁芯上开有小空气隙时，由于可隙很小，可忽略边缘效应，则在空气隙与鉄芯的分界面上，磁 场只有法向分量。根据边界条件，有B0 =B=B，但空气隙中的磁场强度H 0与铁芯中的磁场强度H'不 同。根据安培环路定律，有H°l° H（2“0 -1°） = NI又由于B° =巴H0、Bp=巴片H卩及Bo = Bp = B，于是可得BFrNIJrlo - (2二 ro -Io

7、)所以螺线管内的磁链为-NSB-7ra2N2l-rl0(2 二 r0 _l0)故螺线管的电感为：-'o Jra2N2"o (2二ro -|o)27224二 2 101400 0.022 100021400 0.001 2 -0.15 0.001= 0.944 H(3)空气隙中的磁场能量为1 2Wm00H0SI02鉄芯中的磁场能量为1 2 Wm.s(2二 r。-1。)故Wm0 _ 巴I。_ 14007.0011487Wn.2二r0 -10 一 20.15-0.001 一 .5. 一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场B= ezB0中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介

8、质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。解 介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为E = v B = e r 匸:ez B0 = er r B0故介质棒内的极化强度为P Xe p E - er ( r _ 1) 0 ' B er(； 0) ' B0极化电荷体密度为1 赴P (rP)二r cr八2(；- JB°0)r2r ：r15极化电荷面密度为up = P n= er （g 农0）如 B° er兰=（g go）a Bo则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为2 2Qp _ 二 a 1 订=-2二 a （； - ；0），B0QPs =2二a 1

9、二p =2二a （； - ；0） B06. 一圆柱形电容器，内导体半径为a,外导体内半径为b,长为I。设外加电压为Uos"t,试计算电容 器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为 相同（准静态电场），即U 0sin cotE = err In （b/a）故电容器两极板间的位移电流密度为,cDU0 coscotJ der -''r ln (b a)式中,2二；lln( b ads= 2亠切r ln (b a)errd dz2 二；lln (b a)U 0 cos t

10、= C U 0 cos t是长为I的圆柱形电容器的电容流过电容器的传导电流为dUdt二 C Uo cos t可见id 二 ic7.已知在空气中E wO.gin10二xcos（&-辽），求日和1。（提示将E代入直角坐标中的波方程，可求得'。） 解电场E应满足波动方程"E % ；。涪=0将已知的E二eyEy代入方程，得2e；：2e；：2e.:x2:z2：t式中Ey.x2=-0.1(10 )2sin 10二 xcos(6 109t - z)= 0.1sin10二 x- 2cos(6 109t - ' z)-2 -:Ey-2 .-z= 0.1% ；0sin 10二x-

11、(6二 109)2cos(6 109t故得-(10 二)22%；o(6 二 109)2=0则-二.300 = 54.41rad/m由'、.E1一 exx0邑X1-ex0.V sin 10 二 xsin(6二 109t - : z)ez0.1 10二 cos10二 xcos(6二 109t- ； z)将上式对时间t积分，得H-9ex0.f: sin10 二 xcos(6二 109t- ：z卩0疋6"109ez二 cos10二 xsin(6 二 109t - - z)-49-ex2.3 10 sin 10 二 xcos(6二 10t-54.41z)-ez1.33 10“cos10

12、二 xsin(6二 109t-54.41 z)A/m8.在自由空间中，已知电场E（乙° 710 sin（ t : z）V/m，试求磁场强度H （乙t） 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式E （乙 t）二 ey103 cos（ t - ； z -这是一个沿+z方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为-90。与之相伴的磁场为11<H （z,t）ez E （z, t）ez ey 10 cos t - z - n0n0<2 丿-ex 2 65sin（ t- ：z）A/m103f吐兀=-excoslcot 脸一一120： 2丿1 A/m9.均匀平面波的磁场强度H的振幅为3二

13、，以相位常数30rad/m在空气中沿一仝方向传播。当t=0和 z=0时，若H的取向为_ey，试写出E和H的表示式，并求出波的频率和波长 解以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式1H = -eycos（，t ： z） A/m3 二与之相伴的电场为1E =。 H （弋）=120 订-eycos（t ：z）（弋）3兀= ex40cos（ t ： z）V/m由：二3 L.rad/m得波长和频率f分别为-=0.21mHz =1.43汉109 Hz九丸 0.21=2- f =2 - 1.43 109rad/s = 9 109 rad/s则磁场和电场分别为1H 二eycos（9 109t 30z）A/m3 二

14、E =ex40cos（9 109t 30z）V /m10.海水的电导率'=4S/m，相对介电常数务=81。求频率为10kHz、100kHz、1MHz、10MHz、100MHz、1GHz的电磁波在海水中的波长、衰减系数和波阻抗。2.解 先判定海水在各频率下的属性8.81081可见，当f -10?Hz时,1满足；，海水可视为良导体。此时二 f J0f=10kHz 时-二 10 103 410 4 =0.126" - 0.396 Np/m0.126 ：= 15.87m二 10 103 4二 10"7c =(1 j).= 0.099(1 j)'.1f=100kHz

15、时:-匚 100 103 4二 10 4 =1.26二 Np/mf=1MHz 时1.26 二=5m= 0.314(1 j)'.14=(1 j)二 100 103 4 二 10"-106 4二 10* 4 =3.96Np/m3.96=1.587m肮汉106江4兀汉10小c 珂1 j)0.99(1 j)f=10MHz 时:-_10 10644 =12.6Np/m2 二2 二126二 0.5m=（1j）0 106 4二伏3.14(1 j”11当f=100MHz以上时，不再满足，海水属一般有损耗媒质。此时,:-=2二 f（务）1-j （2：f ；r；0）f=100MHz 时:=37.

16、57Np/m:=42.1rad/m2兀0.149m_42_门8.9；'h4.05ej41.8f=1GHz 时:=69.12Np/m匕=203.58rad/m2兀 0.03m=42，36.5ej208,J -j 0.8911.有一线极化的均匀平面波在海水（r =80/ r二1, =4S/m）中沿+y方向传播，其磁场强度在尸0处 为H 二 ex0.1sin（1CT二 t 一 二 /3）A/ m（1）求衰减常数、相位常数、本征阻抗、相速、波长及透入深度；（2）求出H的振幅为0.01A/m时的位 置；（3）写出E（y,t）和H（y,t）的表示式。4 36 二10109解（1）；"10

17、 二 80 ；010 二 80 10 一-0.1810可见，在角频率:二10二时，海水为一般有损耗媒质，故” 1"（丄）2- cos=1010 二 8°%；01 0.18283.9 Np/m（厶2 +12:X©8280 % 0 、10.1821 ： 300二 rad/m2.1 - j0.1842.1510二 10 二1.008严8 二=41.82 严8"Vp-二必 2333 108m/sp -300二2 二2 二P 一305= 6.67 10'm、c 二丄111.92 10”m83.9由0.01 =0.1尹即e=y =0.1得11.3y In 102.303m =27.4 10 ma83.9H （y,t）二 ex0.1e*3.9ysin（1010二t-300二 y ）A/m （3）3其复数形式为H （y）二ex0.1e3'9y30：yJ'A/m故电场的复数表示式为j0 02883 9y(300 疋靈咚)E(y)二 cH (y) ey=41.82e二 0.2一. y e 32 ex ey74.182e轲ye""?028诗 V/mE(y,t) =ReE (y)ej l-ez4.182eJ