由倍数与因数单元测试而引起的

1、由倍数与因数单元测试而引起的 对小学数学概念教学的思考内容摘要：教学理论和实践总是存在一定的差距，因此作为一线的教师普遍形成了一种错误的认知：即理论总是不切实际的，因而对理论具有一种反感的心态，理论学习也始终不能在一线教师中得到极大的认同。本文通过北师大版五上第一单元的测试结果，而对概念教学的再认识并进行了深入透彻的理论分析，依据理论分析提出了一系列的概念教学的方法与措施。试图为一线教师如何运用理论指导实践提供一个范例，一种思路，使教师对教学中存在的一些常见问题有着更为深入的认识，并能初步形成自觉地运用理论指导实践的意识和习惯。关键词： 小学数学 概念教学 思考问题的缘起原以为凭着自己几年的教

2、学经验，平时又不断地学习领悟新课程的理念，对付一个班应该是马到成功的。但没曾想一不小心，马失前蹄，二个星期后的第一单元测试（北师大版五上倍数与因数）成绩十分令人不满意，其中这几题错误率极高。判断题：1 6÷1.5=4，所以6是1.5的倍数。（ ）2. 5的倍数一定是合数。（ ）3. 一个自然数（0除外）是2的倍数，它一定是合数。（ ）分一分： 从统计数据来看，判断题3题全错率竟然高达70%左右；分一分这题，奇数、合数、质数和合数概念区分不明确，不是多选就是漏选。主要有：“1”不是质数，但也同时认为不是奇数。 “57”是奇数，但同时认为是质数。分析与反思也许对这个班级的具体情况还不够熟

3、悉吧！面对这样的困境，我陷入了沉思：问题究竟出在什么地方呢？学生对数学概念的理解存在着哪些困惑呢？有几方面的原因呢？改如何在今后的教学中改进呢？特别是这个学期的教学内容（北师大版五上第三单元分数，其中有大量的数学概念教学）。带着这样的困惑，笔者通过与学生的访谈、辅导并翻阅了大量关于概念教学的书籍，发现主要有以下几方面的原因：一、概念引入方法不当，学生难以建立表象学生在形成某个概念时，一定要事先形成概念的表象，清晰的、典型的表象是形成概念的重要基础。当然引入的方式有很多。如直观引入、计算引入、生活实际引入等等，这要根据学生的特点教材的特点等来选择适当的引入方法。但我们在尝试用不同的方式引入概念时

4、，由于经验等缺乏，在概念的引入过程中还存在一些问题。片断一：师：谁还记得一年级学过的平面的图形？生：长方形、正方形、三角形师：今天我们学习一个新的平面图形角。（接着出示一组角的图形）【反思】在数学概念教学中，教师必须从学生的认知规律出发，掌握概念由具体到抽象、由间接到直接的形成过程，从而完全具体的感性知识向抽象概念过渡。在这过程中，往往借助表象这一中间环节来实现。而片断中没有遵循小学生的认知规律，学生头脑中还没有角的表象就开始揭题。片断二：师：大家还记得比例的意义是什么吗？生：表示两个比相等的式子。师：比例的基本性质是什么呢？生：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。（出示3：6和12：36

5、 8：2和24：6 12/15和4/5 2/3和8/12）生做完题。师：上面四组中是否成比例？怎么做的？生：成比例，根据比例的性质或意义。（写3：6=12：36 8：2=24：6 12/15=4/5 2/3=8/12）师：像上面的式子中，如果我们已知比例中的任何三项，能否求出这个比例中的另外一个未知项呢？怎么求？生：能。用比例的性质或意义。师：像这样，求比例中的未知项就叫解比例。（出示一道解比例的例题）【反思】在这一教学过程中，教师先让学生回忆比例的意义和性质的内容，然后再计算两个比例的比值，看看它们是否成比例。接着通过文字叙述，引出解比例，整个过程看似合理，实际上却显得凌乱、罗嗦，而且在引入

6、解比例时，学生大脑中并不存在解比例的表象。简言之，概念的形成是以表象为基础。二、概念形成时机不成熟，学生难以深入本质据现代教育心理学的观点：学龄儿童已经可以不局限知觉表象，而进行类比或逻辑推理。但这种逻辑推理还需要借助具体形象支持，它表明小学生在学习时，仍需要成人提供充分的具体形象，并引导其进行逻辑推理，促使他们向形式运算阶段发展，即向抽象逻辑思维发展。片断一：师：看这些图形有什么共同特征？生：都有角。师：说说角在哪？用手指。（生用手指）师：老师把角画下来看是什么样子的？再指指角在哪？（同上）师：角画下来是这样子的，谁知道角的各部分名称？生：不知道（师让学生自学书上有关角的组成的部分）师：这下

7、谁知道角的各部分名称的？生：顶点，边师：谁用一句话概括一下？生：角有两条边一个顶点（师板书）。师：拿三角板摸一摸角的顶点和边（生摸三角板）。师：顶点摸手里有什么感觉？生：很尖。师：那边呢？生：很滑。（师出题：判断下列图形是不是角？）（要求判断是否是角并说明为什么。）【反思】这个阶段，主要是对引入部分提供的直接、具体的感性材料进行剖析，通过比较、对照、推理等方式突出概念的本质属性。教师先让学生用手指实物的角，再让学生指平面上的角，这个过程符合学生的认知规律。接着让学生观察一大堆平面角，让学生回答角的各部分名称，这一步设计就显得过早了，学生的大脑中还没有较深的角的表象。片断二：师出示例题：晨光小学

8、五年级各班男生和女生人数统计表。师：这也是我们学习以前学过的，叫？（之前在概念引入部分复习了单式条形统计图）生：统计表。师：那么这表告诉我们那些信息生：一班有男生27人，女生26人师：表中数据与这幅图上的数据有什么关系呢？（与之前复习的晨光小学五年级各班男生人数的条形统计图对照）生：统计表中比统计图中多了五年级各班女生的人数。生：师：那么，我们能不能在图上也用直条把女生的人数也表示出来呢？（小组讨论）师：谁来汇报一下你们小组打算怎么表示？生1：在表示男生人数的直条上再加上一节，表示女生的人数。生2：可以在表示男生人数的直条旁边，加画一直条表示女生的人数。生：师：大家同意哪一个观点呢？生：生2的

9、。师：那么就请你们用这样的方法把统计图给画下来（生作图）（师展示学生的作品）师：哪个更美观呢？（生指一个画的很好且很规范的图）师：那我们就把这作为我们的标准了，我们先给它取个名字叫复式条形统计图。请这位同学介绍一下你画的这幅复式条形统计图。生：师：大家听明白了吗？生：明白。师：请同学们根据这幅图回答：1.      纵轴上每个单位长度表示（ ）名学生。2.（ ）班男生和女生的人是相差最多。3.（ ）班男生和女生人数相差最少。 4.从图中，你还能获得哪些信息？【反思】这个片断中，教师对复式条形统计图的教学，还存在很多问题。首先，他对学生的不同反应

10、仅仅做了比较，让学生选择自己喜欢的图形，却没能从实质上解决问题。那些有异样想法的同学就不服气：为什么我的就不对？而且，教师在揭示复式条形图的概念时，仅仅用了一句很简单的话就概括了，此时的学生既没有形成深刻的表象，更无法理解它的本质属性。概念的形成是概念教学的中心环节。教师若不能很好的执行“感知表象概念”的教学过程，就会在教学过程中不是感知得不够，没有形成较深刻的表象，就是没有很好的揭示概念的本质属性。三、概念系统脱离生活，学生难以灵活运用俗话说得好，学以致用，不会灵活运用就等于白学。学生一旦形成了一个概念，教师可以通过列一个系统的图或与生活联系起来，加深对概念的理解，以达到灵活运用的目的。片断

11、一：师：请大家回忆一下。今天我们学习了什么？生：公约数和最大公约数。师：那我们是怎么求出它们的？生：用找约数的方法。师：能说说，求两个数的最大公约数有几种特殊的方式吗？生：两种。一种成倍数关系，一种是互质数。【反思】在这个片断中，教师显然做得不够巧妙，没有为学生建立起一个系统的概念，只是简单地说了说找公约数和最大公约数的方法，学生对最大公约数的理解深度不够。片断二：师：今天我们学习了什么？生：面积。师：那么什么是面积呢？生：物体表面或平面图形的表面的大小是面积。【反思】学完面积之后，学生只是知道什么叫面积，根本不知道学面积有什么用？我们为什么要学习面积？生活中要用到面积的地方有哪些？等等问题，

12、这些问题不清楚明白，学生对面积这个概念的学习，就会很被动，也很容易遗忘，不能很好的促进学生学习的自觉性方法与措施基于以上的分析和反思，我知道了学生对数学概念模糊产生的原因，并在今后的教学过程中，努力做到以下几点： 一、概念的引入概念的引入是进行概念教学的开始，是引起学生学习兴趣、激发学生学习动机不可缺少的环节，是学生理解和掌握概念的基础。概念的引入一般可采取以下几种方法。（一）通过直观引入概念小学生的思维特征是以具体形象为主，理解抽象的概念存在一定的难度。只有通过具体直观的形式引入概念，为学生提供充分的可感知的材料，才能有利于学生建立与概念有关的具体形象，为理解概念的意义打好基础。因此，在引入

13、概念时，教师常常需要为学生提供充分的可感知的材料；运用学生喜欢的图片、模型、幻灯、实物等教具和学具；让学生通过看一看、听一听、摸一摸、做一做等活动，建立感性知识。一年级认识“3”时，教师可以让学生数一数身边熟悉的事物，三支铅笔、三本书、三个同学、三张桌子等；然后看有三个数量特征的图片，三辆汽车，三只兔子、三架飞机等；再让学生拍三下手、说三个字的词、走三步路；还可让学生随便说出与三有关的事物。通过这样的活动，使学生感受到，虽然这些事情所包括的东西不同，但在数量上都是三，就可以将这些“3个东西”的事物用数“3”来表示。从具体到抽象，使学生逐步领会“3”的含义。（二）结合生活实例引入概念数学来源于现

14、实生活，在人们的生活中有许多事物都与数学有关系。学习分数大小的比较时，先向学生展示一个实际问题，“小明、小刚、小方三个人各帯同样长的线到广场去放风筝，小明把线放出2/5，小刚放出了3/5，小方放出了2/7.问他们三个人谁的风筝放得最高？”面对这个实际问题，学生的积极性很高，但又不能马上知道结果。这时教师就可以引导学生思考，要想办法知道这个三个分数哪个更大一些。为学生认识通分的概念提供了一个现实的背景。结合生活实例引入数学概念，一方面有助于学生理解概念，另一方面也会使学生体会数学的价值，认识数学与现实的联系。（三）在已有概念基础上引入新概念数学概念之间有着密切的联系，许多新概念是学生已有概念的发

15、展和延伸。当学生建立了一些基本的数学概念之后，可以在学生已有的知识基础上，引申出新的概念。在讲公倍数，最小公倍数时，利用学生已经掌握的倍数概念，直接引入。让学生写出若干个2的倍数，再写出若干个3的倍数，即，2的倍数有：2，4，6，8，10，12，14，3的倍数有：3，6，9，12，15，18，21，他们共同的倍数有：6，12，就是2和3的公倍数。其中最小的一个就是最小公倍数。除上面所举的由旧概念引出新概念以外，有时用计算引出新概念，如通过小数除法的计算引出“循环小数”的概念。也有时求一个数是另一个数的百分之几，由一个数是另一个数的几倍关系来引出。总之由已有概念引出新概念，可以使教学过程简化，同

16、时也使学生了解新旧概念之间的联系。二、概念的形成形成概念是在引入概念的基础上，通过比较、分析、综合、抽象、概括等逻辑思维活动，把握事物的本质和规律。一般可采用下面几种方法：（一）引导学生概括事物的本质属性在教学中既要注意适应学生以形象思维为主的特点，也要注意培养他们的抽象思维能力。在直观引入概念的基础上，因势利导，引导学生从特殊到一般，揭示这一类事物的共同的本质属性，形成某一类事物或现象的概念。在讲圆周率的概念时，可以在上课的前一天，布置每个学生用硬纸板做一个圆，半径自定。上课时，让每个同学在课堂练习本上写出三项内容：写出自己做的圆的直径；滚动自己的圆（老师先示范说明），量出圆周的长度，写在练

17、习本上；计算出圆的周长是直径的几倍。全班做完后，要求每个学生汇报自己的计算结果。教师把结果一个一个地板书，然后引导学生分析：学生1：直径1厘米，周长3.1厘米，周长是直径的3.1倍。学生2：直径1厘米，周长3.2厘米，周长是直径的3.2倍。学生3：直径1分米，周长3.1分米，周长是直径的3.1倍。学生4：直径2厘米，周长6.3厘米，周长是直径的3.15倍。师：通过观察你发现圆的周长与它的直径有什么关系呢？生：每个圆的周长都是直径的3倍多一点。师：恩，这个倍数是个固定的数，数学上叫做“圆周率”。学生通过观察大量感性材料，加以分析综合，抽象概括抛弃事物非本质东西（如圆的大小，纸板的颜色，测量用的单

18、位等）抓住事物的本质特征（不论圆的大小，周长总是直径的3倍多一点），顺理成章的形成了圆周率的概念。（二）利用“变式”突出概念的本质属性变式即是所提供的事例或者材料要不断地变换呈现的形式，改变非本质属性，使本质属性“恒在”，由此初步形成概念。因为总是重复某一类型的例题或者图形，就容易把学生的注意力引导到非本质属性上，而忽视了事物的本质属性。在初次建立乘法概念时，可先出示下面一些等式：2+2+2+2+2+2=2×65+5+5+5+=5×47+7+7=7×310+10+10+10+10=10×5通过比较分析，使学生认识乘法的本质属性是“同数连加的简便算法”，初

19、步形成概念。又如教梯形时，在按教材讲了梯形认识后，再揭示图27，问它是不是梯形？当学生回答后，再让他们指出这个梯形的上底、下底和高。接着出示图28，要求和前一样。最后出示图29，要求学生说出图中有无梯形？并分别指出这些梯 形的高，上底和下底。有的学生认出a是梯形，有的认出b是梯形，还有的认出a+b是个大梯形。这样改变一下形式，就能了解到他们对梯形的认识，以及对它的底和高是否确实理解和掌握了，加深他们对本质特征的理解。（三）从不同的侧面理解概念的本质属性学生掌握概念的过程中还存在“虚”和“浮”的现象，所谓虚指的是虚假，不实实在在地理解，“浮”即浮于表面认识，不能自觉深入去探讨其本质因素。例如求比

20、一个数多几的数，学生常常说成求一个数比一个数多几，这显然是两个完全不同的概念，前者是求一个比已知数多上几的新数，用加法求。后者是已知两个数求它们相差多少，用减法求。这说明学生对这两个概念含混不清。又如小数基本性质是“小数末尾添上零或去掉零、小数大小不变”，而不是小数点末尾，这显然也是完全不同的两个概念。这都说明对概念的理解模模糊糊似是而非，不肯定，不透彻，这都说明学生对概念的本质特征，未能很好地理解与掌握。教乘法分配定律时，当师生总结出“（a+b）×c=a×c+b×c”这一规律后。师：可以使用乘法分配定律计算吗？为什么？（板书“c×（a+b）”）生：可以

21、，因为乘法算式中两个因数可以相互交换，积不变。师：a×c+b×c，可以使用乘法分配律计算吗？生1：可以把算式中的c提出来，就是a×c+b×c=（a+b）×c，这实际上把乘法分配律反过来使用。生2：5×10+5×30=5×（10+30）就是说10个5，加上30个5，等于40个5。教师通过不断地改变乘法分配律公式样式，让学生从不同的侧面去理解它，这样学生对它的理解，不是停留在表面上，而是比较深刻了。（四）通过反面衬托加深认识概念的本质属性有些概念，尽管教师一再讲，但学生的印象仍然模糊。这时可以通过正反两面进行概念教学，

22、从反面举一些例子，提出问题，则能给学生留下深刻的印象。方程的定义是“含有未知数的等式”。在这个定义里，要特别注意“含有未知数”和“等式”这两个概念。为了使学生进一步理解，除了正面揭示外，还可以用反面衬托的方法，让学生辨别正误，确切的掌握方程的概念。如：在下面各式中，指出哪些是方程，哪些不是方程？4+3x=10 4x+6×8 3.7x=11.1 8x-3×5=49 9+4×5=29 x÷0.5=20先让学生判断，并说出理由。在说理由的同时，学生就在对方程的概念作进一步的认识，有时反面比正面教学更有效！（五）注意与相近的、易混的概念比较教学中有许多概念是相互

23、联系的，概念之间既有相同点，也有不同点。只有划清它们的界限，才能建立清晰的概念。因此，建立概念时，要及时与邻近的、易混的已知概念进行比较，弄清楚它们之间的联系和区别，从而巩固旧概念，加强新概念的清晰度，形成明确的概念系统。在建立“梯形”的概念时，学生已经认识了“平行线”与“平行四边形”。教学时，教师引导学生把梯形与平行四边形进行比较，找出两者的异同之处。相同点：都是四边形。不同点：平行四边形是两组对边平行，梯形只有一组对边平行。这样，梯形“只有一组对边平行”这一本质属性就突显出来了。对近似的概念经常引导学生进行比较和区分，既能培养学生对易混概念自觉地进行比较的习惯，也能提高学生理解概念的能力。

24、四、概念的系统化数学是一门逻辑性很强的学科，概念之间的联系十分密切。这种联系形成了小学数学概念自身的相对稳定的数学概念体系。教材的这种概念体系是学生形成概念认知结构的基础。学生在形成概念之后如何，教师要展学生对已知概念的系统化（一）前后沟通，纵向组织概念系统许多概念往往前一个概念是后一个概念的基础，而后一个概念是前一个概念的发展。这种纵向联系，沟通了前后概念，形成一个概念系统。两组对边平行一个角是直角四边形长方形平行四边形正方形四条边相等揭示概念间的关系，可以有多种表示方法，又如：用集合图直观地表示四边形外延的关系。梯形直角梯形等腰梯形四边形平行四边形正方形长方形（二）触类旁通，横向组织概念系统概念不但在纵向上有共通性，在横向上也可能存在某种联系。除法、分数和比可举实例“3÷5=3:5=3/5，利用列表比较法来帮助学生沟通概念之间的联系，帮助学生横向地掌握概念。名称例子联系区别除法3 ÷ 5 = 0.6被除数 ÷除数 = 商一种运算分数3