第九章第5讲第2课时直线与椭圆的综合问题

1、第2课时直线与椭圆的综合问题直线与椭圆的位置关系(2015高考福建卷)已知椭圆E：1(ab0)过点(0，)，且离心率e. (1)求椭圆E的方程；(2)设直线l：xmy1(mR)交椭圆E于A，B两点，判断点G，0与以线段AB为直径的圆的位置关系，并说明理由解(1)由已知，得解得所以椭圆E的方程为1.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点为H(x0，y0)由得(m22)y22my30，所以y1y2，y1y2，从而y0.所以|GH|2x02y0my02y0(m21)y0my0.(1m2)(y0y1y2)，故|GH|2my0(1m2)y1y20，所以|GH|.故点G，0在以AB为直径的

2、圆外(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 |AB|(k为直线斜率)(3)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的，不要忽略判别式大于零 1过椭圆1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为()A. B. C. D.解析：选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0)，则直线AB的方程为y2x2.联立，解得交点A(0，2)，

3、B(，)，SOAB|OF|yAyB|1|2|，故选B.2已知椭圆C：1(ab0)的离心率为.过右焦点F且斜率为k(k0)的直线与椭圆C相交于A，B两点若3，则k_.解析：根据已知，可得a2c2，则b2c2.故椭圆方程为1，即3x212y24c20.设直线的方程为xmyc，代入椭圆方程得(3m212)y26mcyc20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则根据3，得(cx1，y1)3(x2c，y2)，由此得y13y2，根据根与系数的关系得y1y2，y1y2，把y13y2代入得，y2，3y，故9m2m24，故m2，从而k22，k.又k0，故k.答案：3已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，其中左

4、焦点为F(2,0)(1)求椭圆C的方程；(2)若直线yxm与椭圆C交于不同的两点A，B，且线段AB的中点M在圆x2y21上，求m的值解：(1)由题意，得解得椭圆C的方程为1.(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)，由消去y得，3x24mx2m280，968m20，2mb0)经过点A(0，1)，且离心率为.求椭圆E的方程；经过点(1,1)，且斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点P，Q(均异于点A)，证明：直线AP与AQ的斜率之和为2.(2)最值问题平面直角坐标系xOy中，过椭圆M：1 (ab0)右焦点的直线xy0交M于A，B两点，P为AB的中

5、点，且OP的斜率为 .求M的方程；C，D为M上的两点，若四边形ACBD的对角线CDAB，求四边形ACBD面积的最大值(3)范围问题已知椭圆y21的左焦点为F，O为坐标原点设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A，B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围解(1)由题设知，b1，结合a2b2c2，解得a.所以椭圆的方程为y21.证明：由题设知，直线PQ的方程为yk(x1)1(k2)，代入y21，得(12k2)x24k(k1)x2k(k2)0.由已知0，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，x1x20，则x1x2，x1x2.从而直线AP，AQ的斜率之和kAPkAQ2k(2k

6、)2k(2k)2k(2k)2k2(k1)2.即直线AP与AQ的斜率之和为2.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，则1，1，1，由此可得1.因为x1x22x0，y1y22y0，所以a22b2.又由题意知，M的右焦点为(，0)，故a2b23.因此a26，b23.所以M的方程为1.由解得或因此|AB|.由题意可设直线CD的方程为yxn(nb0)，由已知得解得所以b2a2c21.所以椭圆E的方程为y21.(2)假设存在符合条件的点M(m,0)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则(x1m，y1)，(x2m，y2)，(x1m)(x2m)y1y2x1x2m(x1x2)m2y1

7、y2.当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)，由得x22k2(x1)220，即(2k21)x24k2x2k220，则x1x2，x1x2，y1y2k2(x11)(x21)k2x1x2(x1x2)1，所以mm2.因为对于任意的k的值，为定值，所以2m24m12(m22)，得m.所以M，此时.当直线l的斜率不存在时，M(，0)，P(1，)，Q(1，)，(，)(，).综合得存在定点M(，0)使得为定值(1)圆锥曲线中定点问题的两种解法引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化的量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该

8、定点与变量无关(2)存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在解决存在性问题应注意以下几点：当条件和结论不唯一时要分类讨论；当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径 1椭圆C：1(ab0)的离心率为，过右焦点F且与x轴垂直的弦长为3.(1)求椭圆C的方程；(2)过椭圆C的上顶点B的两条互相垂直的直线分别交C于M、N两点，求证直线MN恒过定点，并求出该定点坐标解：(1)椭圆C：1的右焦点F(c,0)，过F与x轴垂直的直线方程为xc.将xc代入1，由e且e，得yb，又过右焦

9、点F且与x轴垂直的弦长为3，2|y|3，即b，再由a2b2c2，解得a2，椭圆C的方程为1.(2)证明：由题意知，过点B互相垂直的两条直线的斜率都存在，设它们的斜率分别为k与.则其方程分别为ykx与yx.由解得交点M，同理可得N，则直线MN的斜率k，直线MN的方程为y(x)，令x0，得y，故不论k为何值，直线MN恒过定点.2已知椭圆C：y21(a1)的上顶点为A，右焦点为F，直线AF与圆M：(x3)2(y1)23相切(1)求椭圆C的方程；(2)在y轴上是否存在一点T，使得过T的直线l与椭圆C交于不同于A的两点P、Q，使得0恒成立，若存在，求出T点坐标，若不存在，说明理由解：(1)圆M的圆心为(

10、3,1)，半径r.由题意知A(0,1)，F(c,0)，直线AF的方程为y1，即xcyc0.由直线AF与圆M相切，得，解得c22，a2c213，故椭圆C的方程为y21.(2)假设存在点T(0，t)使0，由0，知APAQ，从而直线PQ与x轴不垂直，故可设直线l的方程为ykxt(t1)，联立，整理得(13k2)x26ktx3(t21)0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1x2，x1x2.(*)由(6kt)24(13k2)3(t21)0，得3k2t21.由0，得(x1，y11)(x2，y21)(1k2)x1x2k(t1)(x1x2)(t1)20.将(*)代入，得t，故存在点T(0，)，使0恒

11、成立1. (选修21 P81B组T2改编)如图A、B是椭圆C：1(ab0)的两个顶点，F2为右焦点，P是C上一点，PF2x轴，且存在实数，使. (1)求C的离心率与的值；(2)若SOAB，Q是C上一点，求QAB的面积的最大值解：(1)依题意ABOP，P，A(a,0)，B(0，b)，(a，b)，(c，)而，b2bc，bc，e22，e，显然AOBOF2P，.(2)由(1)可知SAOBabb2，b，a2，|AB|，椭圆C的方程为1，法一：若QAB面积最大，则Q到AB的距离最大，又kAB，设直线l：yxm，当直线l与椭圆相切时，切点即为所求的Q.由x2mxm220，2m24(m22)0，m24，m2(

12、舍)或m2，即l：yx2，A点到l的距离d，(SQAB)max|AB|d2.法二：(三角换元)设椭圆上的点Q(2cos ，sin )，lAB：yx，Q到lAB的距离d，d，SQAB|AB|d2.即(SQAB)max2.2. (选修21 P49A组T7改编)已知圆C的方程为(x1)2y216，A(1,0)，P是圆C上的动点，PA的垂直平分线交直线CP于点Q， (1)求点Q的轨迹方程；(2)当QAC为直角三角形时，求PAC的面积解：(1)圆C的圆心C(1,0)，半径R4，设动点Q(x，y)，点Q在线段AP的垂直平分线上，|QA|QP|，又P点在C上，|CP|R4，|QC|QA|CP|4，此时|AC

13、|2b0)上一点，A，B是其左、右顶点，直线MA与MB的斜率分别为k1，k2，且k1k2.(1)求椭圆E的方程；(2)已知椭圆E：1(ab0)上点N(x0，y0)处切线方程为1.若P是直线x2上任意一点，从P向椭圆E作切线，切点分别为C，D，求证直线CD恒过定点，并求出该定点坐标解：(1)由题意，2c2，c1，A(a,0)，B(a,0)，设M(x，y)，k1k2，即.M(x，y)在椭圆E上，1.，a22b2.又a2b2c21，a22，b21.椭圆E的方程为y21.(2)证明：设切点坐标为C(x1，y1)，D(x2，y2)，P(2，t)，则切线方程分别为y1y1，y2y1.两切线均过点P，ty1

14、1，ty21，即x1ty11，x2ty21，直线CD的方程为xty1.对于任意实数t，点(1,0)都适合这个方程，即直线CD恒过定点(1,0)1已知椭圆C：1(ab0)过点，且长轴长等于4.(1)求椭圆C的方程；(2)F1，F2是椭圆C的两个焦点，圆O是以F1F2为直径的圆，直线l：ykxm与圆O相切，并与椭圆C交于不同的两点A，B，若，求k的值导学号03350771解：(1)由题意，椭圆的长轴长2a4，解得a2.因为点在椭圆上，所以1，解得b23，所以椭圆C的方程为1.(2)由直线l与圆O相切，得1，即m21k2.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由消去y，整理得(34k2)x28kmx

15、4m2120.由题意可知圆O在椭圆内，所以直线必与椭圆相交，所以x1x2，x1x2.y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2k2kmm2.所以x1x2y1y2.因为m21k2，所以x1x2y1y2.又因为，所以，解得k2，所以k.2.已知椭圆C：1(ab0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线xy0相切A，B是椭圆C的右顶点与上顶点，直线ykx(k0)与椭圆相交于E，F两点 (1)求椭圆C的方程；(2)当四边形AEBF面积取最大值时，求k的值导学号03350772解：(1)由题意知e，e2，a24b2.又圆x2y2b2与直线xy0相切，b1，a24，

16、故所求椭圆C的方程为x21.(2)设点E(x1，kx1)，F(x2，kx2)，其中x10)，即当k2时，上式取等号所以当四边形AEBF面积取最大值时，k2.3已知椭圆C：1(ab0)，椭圆C上的一动点到右焦点的最短距离为2，且右焦点到直线x的距离等于半短轴的长已知点P(4,0)过P点的直线l与椭圆C相交于M，N两点，点T与点M关于x轴对称(1)求椭圆C的方程；(2)求的取值范围；(3)证明：直线TN恒过某定点导学号03350773解：(1)由题意知解得故椭圆C的方程为1.(2)由题意知直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为yk(x4)由得(2k21)x216k2x32k240.(16k2)24(2k21)(32k24)1696k20，解得0k2.设点M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有x1x2，x1x2，y1y2k2(x14)(x24)，从而x1x2y1y222.因为0k2b0)的离心率e，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等(1)求椭圆E的方程；(2)过圆O上任意一点P作椭圆E的两条切线，若切线都存在斜率，求证：两切线的斜率之积为定值导学号03350774解：(1)设椭圆