梯形模型及其应用

1、对数学模型化的一点思考王鸿（兰州市第82中730060）汤敬鹏（兰州市第57中730070）笛卡尔曾经提出过这样的设想：任何问题都可化为数学问题，任何数学问题都可化为代数问题，任何代数问题都可化为方程问题，通过解方程就可解决所有的问题。笛卡尔的设想虽然没有实现，但笛卡尔的设想却给我们一种启示，是否可以对一些不同类型的问题找出一种统一的数学模型加以解决。本文所探讨的是以梯形模型来解决几种不同类型的问题。引理1：如果在梯形ABCD中，ABCD，AC与BD交于O点，E、F分别在AD、BC上，EFAB，那么EF经过O点的充要条件是AEEDABDC证明：必要性：ABEFCDEF过O点AEEDAOOCAB

2、CD充分性：设E、F分别在AD、BC上，EFAB且EF过O点由必要性必有AEEDABDC又AEEDABDCE在AD上E与E重合同理：F与F重合EF过O点引理2：在梯形ABCD中，ABCD，ABa，CDb，AC与BD交于O点，E、F分别在AD、BC上，EFAB，如果EF经过O点，那么点O为EF的中点且EF证明：ABEFCDEF过O点EODCAOACBOBDOFDCEOOF点O为EF的中点又EODCAOACOFABOCACABaCDb即OEEF其中也称为a与b的调和平均数。将引理中的梯形特殊化为一直角梯形ABCD（如图2），ABCD，ADAB，E、F分别在AD、BC上，BFABa，CFCDb（ab

3、），M、N分别为AD、BC的中点（由于，所以E比M更靠近A点）。此梯形还有一些独特的性质：性质1：连结MB、MC，则BMC90°（如图3）；由此可知，以BC为直径的圆与AD相切于点M。性质2：连结AF、DF，则AFD90°（如图4）；性质3：连结MF，则MFBC；MB、MC分别是ABC、BCD的平分线（如图5）由性质2、3可知，以AD为直径的圆与BC相切于点F。引理所表明的性质及上述直角梯形模型有一定的应用价值。证明重要不等式：例1：若a、bR，则证明：如图6构造上述直角梯形，AB=a，CD=b，由引理及性质3可知EF，MF，MN根据直角三角形中直角边小于斜边可知：当ABC

4、D时，梯形退化为矩形，此时E与M、F与N重合，则EFMFMN（当且仅当a=b时取“”号）证明平面几何问题：例2：已知：如图7，在ABC中，AD是内角平分线，AG是外角平分线，求证： 证明：延长BA至C，使ACAC，作AEDG且AEDG，连结GE，作CGBG，CG交GE的延长线于GAD是ABC的内角平分线ADCCAEDG且AEDG四边形ADGE为平行四边形ADGG CCGGCGBG四边形CGGC为平行四边形CGCGAG为ABC的外角平分线由引理1、2可知AE即此例为文中例题，原证法利用三角函数相关知识证明。证明解析几何问题：例3：已知F为抛物线y2=2px的焦点，AB为过F的直线，A、B在抛物线

5、上，A、B的纵坐标分别为y1、y2，求证：y1y2=-p2证明：不妨设y1>0、y2<0，分别过点A、B向准线作垂线，垂足为C、D，准线与x轴的交点为E，则yC=y1，yD=y2根据性质2及射影定理，必有EF2CE·DE即p2=y1(-y2)y1y2=-p2例4：已知过椭圆的右焦点F作倾斜角为的直线与椭圆交于A、B两点（点A在点B的上方），且F分AB的比为，e为离心率，求证：cos证明：如图10，l为右准线，F为右焦点，E为l与x轴的交点，AGl，BHl，ACx轴，设AGa，BHb由于AFeAG，BFeBH，所以，根据引理，FE，亦知当倾斜角（0，）时，cos当倾斜角（，）时，cos（）coscos当时，cos0，1，满足cos此例题来自文，原证明方法运用了大量的坐标运算，非常复杂，运用本文性质，计算量明显减少。另外，原文中结论为“cos” ，由本文证明过程可以发现这个结论是错误的。数学模型化是将不同的问题情境置于同样的数学模型之中，用相同的数学模型解决不同背景的问题，这属于一种联系性的思维方式，在数学教学中，我们如果能够经常性的引导学生进行这样的思考，将有助于学生知识形成系统化与条理化，这对学生能力的提升是不无裨益的。参考文献：江春莲，彭翕成，