考研数一真题及解析

1、2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题、填空题(本题共5小题，每小题3分，满分15分，把答案填在题中横线上 )(1). 2x -x dx = 曲面x2 2y2 3z2 =21在点1, -2, 2的法线方程为 微分方程xy 3y0的通解为无解，则1 2已知方程组 23J a设两个相互独立的事件 A和B都不发生的概率为1-,A发生B不发生的概率与B发9生A不发生的概率相等，则 P(A)二、选择题(本题共5小题，每小题3分，共15分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1)设 f(x),g(x)是恒大于零的可导函数，且f (x)g(x) -

2、 f(x)g(x) ：0,则当 a ： x : b时，有()(A) f(x)g(b)f(b)g(x)(B) f (x)g(a) f (a)g(x)(C) f(x)g(x)f(b)g(b)(D) f(x)g(x)f(a)g(a) 设S :x2 y2 z2二a2(z _0), S|为S在第一卦限中的部分，则有()(A) 11 xdS = 4 I ixdS(B) 11 ydS = 4 11 xdSsqss(C) 11 zdS = 4 ! xdS(D) 11 xyzdS = 4 ! xyzdSSSSSQ0设级数a Un收敛,则必收敛的级数为()n =1ooQOooO0n(A)迟(T)u n(B) Un

3、2.(C) 7 (U2n -U2n).(D)、(Un 一 un 1)n吒nn nmnm设n维列向量组 r,m(m ： n)线性无关，则n维列向量组 ，冷线性无关的充分 必要条件为()(A)向量组1,，可由向量组1 ,厂m线性表示(B) 向量组-1,，-m可由向量组-：*，,-：im线性表示(C) 向量组1,与向量组：1,:m等价.(D)矩阵A*,打与矩阵B十，f等价.(5)设二维随机变量 X，丫服从二维正态分布，则随机变量=X Y与 二X-Y不相关的充分必要条件为()(A) E(X)=E(Y).(B) E(X2)-E(X)2 =E(Y2)-E(Y)f.(C) E(X2)=E(Y2).(D) E

4、(X2 E(X)f = E(Y2lE(Y)2.(本题满分5分)求limx_012 ex4J+ex33 / 2102zg具有二阶连续导数，求一ccy四、(本题满分6分)设z = f,y,+gi ,其中f具有二阶连续偏导数,I y丿 V丿五、(本题满分6分)计算曲线积分Ixd暮-彎,其中l是以点1,0为中心，R为半径的圆周 R 1，L 4x y取逆时针方向.六、(本题满分7分) 设对于半空间x 0内任意的光滑有向封闭曲面S,都有r2x11 xf (x)dydz - xyf (x)dzdx - e zdxdy = 0,其中函数f (x)在(0, +：)内具有连续的一阶导数，且Am f（x）=1,=求

5、 f（X）七、(本题满分6分)求幕级数n =413n （-2）n的收敛区域，并讨论该区间端点处的收敛性八、(本题满分7分)设有一半径为R的球体，F?是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点 到P距离的平方成正比(比例常数k=0),求球体的重心位置九、(本题满分6分)设函数f (x)在0,二 I上连续，且 f (x)dx = 0, f (x)cosxdx = 0,试证：在(0,二)内至少存在两个不同的点, 2,使f （ J = f2）=0.十、（本题满分6分）设矩阵A的伴随矩阵,且ABA=BA+3E,其中E为4阶单-3位矩阵，求矩阵B .1然后将-熟练工支援其6卜一、（本题满分8分）某

6、试验性生产线每年一月份进行熟练工与非熟练工的人数统计,他生产部门，其缺额由招收新的非熟练工补齐，新、老非熟练工经过培训及实践至年终考核2Xn, yn记成向有2成为熟练工.设第n年一月份统计的熟练工和非熟练工所占百分比分别为5量.(1)求y与g丿的关系式并写成矩阵形式:Xnyn丿-10A的两个线性无关的特征向量，并求出相应的特征值;2时，求1三十二、（本题满分8分）某流水生产线上每个产品不合格的概率为 p 0 ： p : 1 ,各产品合格与否相互独立，当出现一个不合格产品时即停机检修.设开机后第一次停机时已生产了产品的个数为X ,求X的数学期望E X和方差D X .十三、（本题满分8分）设某种元

7、件的使用寿命X的概率密度为f (x；B)2e“xq0,其中二0为未知参数，又设 xx2，,人是X的一组样本观测值，求参数 二的最大似然估 计值.2000年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析、填空题【答案】【详解】=2x- ?dx= f J1(x1)2dx解法1：用换元积分法：设x_1=si nt，当x=0时,sint=1，所以下限取；当x=12时,si nt =0 ,所以上限取0 .x X=sint所以 I0J /cost costdt由于在区间/，函数cost非负，则02-27：- cos tdt 2 cos t:-204解法2:由于曲线y = 2x -x2 = 1 -(x-1)2 是

8、以点(1,0)为圆心，以1为半径的上半圆周，它与直线1X =1和y =0所围图形的面积为圆面积的，故答案是4x1【答案】y 2 z_2-46【详解】曲面方程F(x,y,z)=0在点(X0，y,z0)的法矢量为:n =Fx(x, y ,Z0),Fy(x, y, Z0), Fz(X),y, Z)令 F(x,y,z) =x2y2 3z2 -21,则有Fx 1,-2, 2=2x| 1, -2, 2 二 2,Fy 1,-2, 2= 4y|1, -2, 2-8,Fz 1, -2, 2= 6z|1, -2, 2= 12.所以曲面在点(1,-2,2)处的法线方程为:x 1y 2 z-2.即-812x1-4【答

9、案】y =C2x【分析】此方程为二阶可降阶的微分方程，属于yJf(x, y)型的微分方程.【详解】令p二y，有ydp 原方程化为:dx3p=0, =虫 3卫=0dxdx x分离变量:dpdx两端积分：= -3In p = -3ln x+G px从而|p =6呵怦=eCnx uefeC1 xC因记C2二eC1 0是大于零的任意常数，上式可写成p 2 ；xC记C二C2，p 3，便得方程的通解 p = C3X，x即 dy =C3X= dy =C3xdx，其中C3是任意常数dx对上式再积分，得：y = C3X dx C2 C4,xC5所以原方程的通解为：C1 y= 1 C2x【答案】1.【详解】化增广

10、矩阵为阶梯形，有_1 21j211 123a+2:3-0-1a1a-2-:0 一L0a 2_3t121:1T 0-1a:100 (a-3)(a+1) a-3一3,根据方程组解的判定，其系数矩当a = -1时，系数矩阵的秩为2，而增广矩阵的秩为 阵与增广矩阵的秩不同，因此方程组无解当a = 3时，系数矩阵和增光矩阵的秩均为 2,由方程组解的判定，系数矩阵的秩等于增 广矩阵的秩，而且小于未知量的个数，所以方程组有无穷多解(5)【答案】2 3(由代B独立的定义：P(AB) = P(A)P(B) A 【详解】由题设，有 P(AB) = ,P(AB) =P(AB) 9因为A和B相互独立，所以 A与B，A

11、与B也相互独立于是由p(Ab= FT AB)有 P(A)P(B) =P(A)P(B)即有 P(A) I1P(B) I - U-P(A) P(B),可得 p(a)=P(B) , P(A)=P(B)从而 p(AB)=p(A)p(B)=p(A)】i_p(A)f J,-92解得 P(A) .3二、选择题(1)【答案】A【分析】由选项答案可知需要利用单调性证明，关键在于寻找待证的函数题设中已知f (x)f(x)g(x) - f(x)g(x) : 0,想到设函数为相除的形式.g(x)【详解】设 F(x)仝，则 F(x)(x)g(x)2-f(x)g(x) gg(x)g2(x)则 F(x)在 a ： x :

12、b 时单调递减，所以对 -a ： x ： b，F(a) F(x) F(b)，即f(a) f (x) f(b) g(a) g(x) g(b)得 f(x)g(b) f (b)g(x), a ： x : b，(A)为正确选项【答案】C【性质】第一类曲面积分关于奇偶性和对称性的性质有：若f (x, y,z)关于x为奇函数 若f (x, y, z)关于x为偶函数性质1设f(x,y,z)在分块光滑曲面 S上连续，S关于yoz平面对称，则f(x,y,z)dS 二 2 f(x,y,z)dSS ，其中 S = S x _.性质2：设f (x,y,z)在分块光滑曲面 S上连续，S关于xoz平面对称，则若f (x,

13、 y,z)关于y为奇函数.f (x,y,z)dS 二 2 f (x,y,z)dS若f (x, y, z)关于 y为偶函数S性质3：设f (x,y,z)在分块光滑曲面S上连续，S关于xoy平面对称，则0若f (x,y,z)关于z为奇函数! f (x, y, z)dS 二 2 11 f (x, y,z)dS 若f (x, y, z)关于 z为偶函数sL s其中 S =S - z _0.【详解】方法1直接法：本题中S在xoy平面上方，关于yoz平面和xoz平面均对称，而f(x, y,z)=z对x, y 均为偶函数，则性质1性质2zdS = 2 zdS = 4 zdSsS -x _0S1又因为在S,上

14、将x换为y , y换为z， z换为x， S1不变(称积分区域S1关于x, y,z轮换对称)，从而将被积函数也作此轮换变换后，其积分的值不变，即有4 zdS =4 xdS =4 ydS.选项(C)正确.S1 S方法2:间接法(排除法)曲面S关于yoz平面对称，x为x的奇函数，所以 xdS=0，而 xdS中x_0且 sS；仅在yoz面上X = 0，从而 xdS - 0， (A)不成立S1曲面S关于zox平面对称，y为y的奇函数，所以.ydS = 0 ,而 xdS 0，所SS以(B)不成立曲面S关于zox平面对称，xyz为y的奇函数，所以iixyzdS = 0,而 d 0，SS1所以(D)不成立0设

15、级数7 Un收敛，则必收敛的级数为()n =1(B)v Un2.n A(D) v (Un -Un 1).n =n Un -1n m nQO(C)、(U2n4 -U2n).n =【答案】D【详解】方法1：直接法由7 un收敛，所以V Un1也收敛由收敛级数的性质（如果级数7 un、nJngn 4QOoovn分别收敛于s、匚，则级数7 un _Vn也收敛，且其和为s_；）知nJnJcooQco三,：Un - Un -t Un 二 Un .1 选项(D)成立. nnn方法2:间接法找反例：(A):取 Un =(-1ln1 n，级数V un收敛,n 4旳u00、(-1)n(-1)n nnnJ1nln(

16、1 n)是发散的；（关于上述结束的敛散，有下述结果:QOZn=1匚 收敛(n 1)ln p(1 n)发散(1、n： ：: : 1(B):取Un -，级数7 un收敛，V U,八，发散;*nn 1nn：1n(C):取 Un(J)od，级数7 Un收敛，但n AU2n d U2n丄丄2n1 2n4n112n(2 n -1) nQO由比较审敛法的极限形式知，级数 、 （U2nj -U2n）发散n A【答案】（D）【详解】用排除法（A）为充分但非必要条件：若向量组-：,-：可由向量组：1,厂m线性表示，则一定可推导，：m线性无关，因为若,，m线性相关，则r：S,-：m : m,于是m 必线性相关，矛盾

17、但反过来不成立，如当 m =1时，r =（1,0）T, 1 =（o,1）T均为单个非零 向量是线性相关的，但r并不能用 打线性表示（B）为既非充分又非必要条件：如当m = 1时，考虑1 =（1,0）T, ：1 r（0,1）T均线性无关，但并不能由1线性表示，必要性不成立；又如 =（1,0）丁，宫=（0,0）T,可由6线性表示，但-1并不线性无关，充分性也不成立(C) 为充分但非必要条件：若向量组 1,，与向量组：1,：m等价，由1,，线 性无关知,r 、，, -m二r宀，：m二m,因此：仆，：m线性无关，充分性成立；当 m =1时，考虑M =(1,0)T, (0,1)T均线性无关，但：1与并不

18、是等价的，必要性不成立(D) 剩下(D)为正确选项事实上，矩阵A二,：m与矩阵B二-1-, -m等价？r A =r B ? r九，：m ：4,，m l=m,因此是向量组 ，：m线性无关的充要 条件 【答案】B.【详解】和不相关的充分必要条件是它们的相关系数由协方差的性质：cov(aX bY,Z) =acov(X,Z) bcov(Y,Z)故 Cov ,=Cov X Y,X -丫= Cov X,X -Cov X,Y CovY,X -Cov Y,Y二Cov X,X -Cov Y,Y =D X -D Y可见 Cov ，十0= D X -D Y=0= D X i=D Y-E(X2I.E(X)Ne(Y2I

19、.E(Y)2(由方差定义 DX =EX2_(EX)2)故正确选项为(B).1三【分析】由于极限中含有e与x ,故应分别求其左极限与右极限，若左极限与右极限相等，则极限值存在且等于其极限值，否则极限不存在【详解】lim30 f1f12+exsinx=lim2+exsin x+44|xxJ十ex)J十exJ二十1 ；1lim 0 +2+exJ +exsin x+Ixl=limo+2 exJ+exsin x+x= 0 1=1左极限与右极限相等，所以12 ex4sin xJ+ex+|x|四【详解】根据复合函数的求导公式，有.:zfy f2 - gy f2IF22g-氛x爲也+f；2&y+叫5宀停舟 t

20、r 1、.1 (yFr (1 f2 12+ giJ2-2 y丿x Ix丿Ix丿五【详解】方法1:(复连通条件下的封闭曲线积分 )设：(1) L1与L2是两条分段光滑的简单封闭曲线，具有相同的走向，(2)在L1与L2所包围的有界闭区域 D1与D2的内部除一些点外，P(x, y)与Q(x, y)连续并具有连续的一阶偏导g =沪:x;y则P(x, y)dx Q(x, y)dy = :| P(x, y)dx Q(x, y)dy解：以点1,0为中心，R为半径的圆周的参数方程是：x =1 Rcosv,y二Rsinv ,逆时针方向一周为从t =0到t =2二，代入曲线积分II 4x y由于分母很繁，计算不方

21、便由曲线封闭，可以考虑使用格林公式，但在L所包围的区域内部有点0(0,0)，该点处分母为0，导致被积函数不连续，格林公式不能用记 P = -n , Q =4x + y4x2 y2FP,且 P(x, y)与 Q(x,y)满足-= exy2 4x2jQ2 2 24x y(x, y) =(0,0) 作足够小的椭圆:L- ；I。,？二,。取逆时针方向)，y = ；si nt于是L与Li及函数P(x,y)与Q(x,y)满足 分析”中所述定理的一切条件,xdy - ydx4x2 y2而后一积分可用参数法计算xdy - ydx1 l 4x2 y2zzcost ； cost - ； si nt(-si n t

22、)22dt1 2z2dt 皿4x2 y2方法 2：记 P =Jy o ,Q 召右，贝=0 , (x,y) = (0,0).在 L 内加 L,:4x + yexcy椭圆4x2 +y2 = g2的顺时针方向，则xdy - ydx xdy - ydxL Li 4x2 y2Li 4x2 y2D 0dxd八 L1 4x2 y2xdy ydx (D 由 L 与 Li 所围)1 1 2 2 2 xdyydx = p JJ2dxdy( D1 : 4x +y -e2x,(0) lx丿x2x这是一阶线性非齐次微分方程,利用一阶线性非齐次微分方程3 P(x)y =Q(x)的通解公式:dx(x)dxdx C_P(x)

23、dxP (JQ(X)e其通解为Rl)dx f(x)=ex2xe e x1 dxdx Cx-e2x xedx C =e xx ex C由于lim丄f (x) = lim0 十I*e2x +Cex=1,故必有 xirme2x Cex 二0 ,(否则不能满足极限值为1)，即C 1 =0,从而C = - 1.因此f(xe- ex -1 .x七【定义概念】幕级数cO人-na“xn=0|3n (-2)n n3n 1(-2)n 1 (n 1)二 limx ；：討(n。31 (qQ=匚其中an,an .1是幕级数anXn的相邻n=0两项的系数，则该幕级数的收敛半径 P0PR= P = 00P =i开区间(-R

24、,R)叫做幕级数的收敛区间【详解】所以收敛半径为R = 3，相应的收敛区间为-3,3 .当x =3时，因为3n1 1 1,jm13n (-2)nn_1+2fn 32n:1且丄发散，由比较审敛法的极限形式，所以原级数在点x =3处发散;n $ n当x = -3时，由于(-3)1 心)+丫3n (-2)n n 3n - (2)n2n3n - (-2)nnn1(2)n 一一1 n 3n - (2)nod1送（_1 ）丄是收敛的又因n 4n再由&n -1收敛,3根据比较审敛法知qQ J收敛于是三I n1 3(-2)n(-3) n分别考虑两个级数，级数2 nnn2J3 丿.G3n+(-2)n n( 2-

25、n 13 丿1+ -I 3丿收敛，所以原级数在点 x = - 3处收敛所以收敛域为-3,3）.八【详解】本题为一物理应用题，由于重心坐标是相对某一些坐标系而言的，因此本题的关键是建立适当的坐标系，一般来说，可考虑选取球心或固定点P0作为坐标原点，相应的有两种求解方法X方法1记所考虑的球体为则球面方程为：2 2 2 2x+y +zR，点P的坐标为（R,0,0 ），设Q的重心位置为Q,以Q的球心为坐标原点 0,射线0P。为正x轴建立直角坐标系,（x,y,z）,由对称性，得y =0,z = 0,设丄为门上点（x,y,z）处的密度，按 题设-k X _R 2 y2 z2，则! xdVIII X k x

26、 R 2 y2 z2 dV2 y2 z2 dVx二.JdVk x-R。Q LMk（x-+y2+z21dV! k x2 y2 z2 R2 dV - 2k i zdVQQ二k 11 ix2 y2 z2 dV k iii R2dV-0（利用奇函数的对称性）QQ二 R5R4 k= 8k02 02 .0r r sin dr （利用奇偶函数的对称性轮换对称性-球体体积公式）-至sin d R2 0 0r4dr 坐二 R=8k 23二 8k（牛-莱公式）f 5、f2sin Qd J0cI5 /05-cos5.0二 R5（牛-莱公式）5= 4R_.4_r5531522kx x-R y二 kiii x（x2y2

27、Q其中第一个积分的被积函数为z2 dV又由于关于x, y,z轮换对称,z2 R2） -2kRGx2dVQz的奇函数，i 对称于xOy平面，所以该积分值为零, 所以.z2dV 二x2dV!：y2dVQQQ从而z2）dVE:&0d2 fg 古R5于是111 kx x - R i 亠 y2 z2 dV - -2kRR5 -坐二 R6豈-1515 RR故x.因此，球体Q的重心位置为（，0,0）44方法2:用Q表示所考虑的球体，O表示球心，以点 P选为原点，射线P0O为正z轴建立直角坐标系，则球面的方程为x2y2z2 =2Rz,设Q的重心位置为（x, y, z），由对称性，得x = 0, y = 0 ,

28、设为l】上点（x, y, z）处的密度，按题设- k |x2 y2 - z2所以!JdVkz X2 y2 Z2 dVz 二in-dV hi k x2 y2 z2 dV因为-2Rcos门 x2y2z2 dV= 4 02dS2d0r2 r2 sin dr = 32二 R515zx2y2 z2Q2Rcos :dV =4 2d 2dr5sin cos dr“00 0二64 二 R63”82COS7sin ：d =- R603故z=5R.因此，球体Q的重心位置为（0,0,坐）.44九【证明】方法1令F(x)二又由题设 ：f (x)cosxdx = 0，用分部积分，有二 F(x)cosxf (t)dt,0

29、 乞 x 乞二，有 F (0) = 0,由题设有 F (二)=0 0 o F (x)sin xdx 二 o F (x)sin xdx由积分中值定理知，存在三(0,二)使0= 0 F(x)sinxdx = F( )sin(二-0)因为：(0,二),si n =0，所以推知存在-(0,二)，使得F)= 0.再在区间0,与二上对F(x)用罗尔定理，推知存在(0, )，2 (.)使F ( i) =0,F ( 2) =0，即 f ( J ,f( 2) =0IT方法2：由f (x)cx 0及积分中值定理知，存在(0,二)，使f( J=0.若在区间(0,二)0内f (x)仅有一个零点1，则在区间(0, 1)

30、与(1,二)内f(x)异号不妨设在(0, i)内乂兀兀亠f (x) 0，在(J 町内 f (x) c0.于是由 J0 f (x)dx = OJ0 f (x)cosxdx= 0，有JIT迟丁迟0= o f(x)cosxdx- p f (x)cos 曲 二 o f (x)(cosx-cos 1)dx化简=|A|BE 二 A*BE 3A*A= 2B = A*B 3| A|E=2B 二 A B 6E二 2E-A B=6E,I=60-1Of00-6（由初等变换法求得）方法2: A =2（同解1），由AA = A A =AE,* A* A.A = A(A) =2( A) =2（由初等变换法求得），可见A-

31、疋，由 A-E BA=3E,因此1_2B =3方法3:由题设条件ABA4000160100-10-1E为逆矩阵=3 A-E000312一一 04rBA1 3E ,知：A-E , B均是可逆矩阵，且A,而101000-201001000140603006001001得 A-E BA =3E.A4 A-E-4_1 -1=3 E-A,e a*I |a|A =8，得 A = 2 故/* A,L A2 E _ A*、E -=3 2丿 2丿其中n = 4,B =36 2E - A其中*2E-A -所以卜一【详解】0【00-6* -J2E - A10|11(1)由题意，一x60 10 00 6 0 0)=6

32、-10 106 0 6 003 0-6_I0 3 0 -1一10 600000B = 6 2E - A*n - Yn是非熟练工人数,2 15 6XnYn是年终由非熟练工人5变成的熟练工人数，-Xn是年初支援其他部门后的熟练工人数，根据年终熟练工的人数列6出等式(1)，根据年终非熟练工人人数列出等式得可见521Xn6Xn 5 6Xn Yn3(1)Yn 1Xn Yn5 16yn丨_9Xn1 F和1“10Xn2535YnYn(1)Yx1一103Xn十5/ 、9_2 /sXn +105XnJn十3105丿即Yn_ 5_910110把，口 2作为列向量写成矩阵的形式(1, 2)，因为其行列式4-111(

33、l, 2)= 5 = 0矩阵为满秩，由矩阵的秩和向量的关系可见1, 2线性无关r9_10:144J5322,由特征值、特征向量的定义，得1为A的属于特征值 =1的特征向量， 2为A的属于特征企、1值12 特征向量.2(3)因为lyn + 丿二 AAnT2112因此只要计算An即可.令则由1P AP 二P,P411_1411+4.2其中求逆矩阵的过程为:4-110、T10r1014-1101101 101T11T4011144丿51145454515所以因此4-5二 4 45 IL-41Xn 1lyn + J10r(1 -83 |辽丿 )+3 n -l2丿十二【分析】此分布为一典型分布一一几何分布【详解】显然X是一个离散型随机变量取值范围为1, 2, 3,现在关键在于建立 X的 分布律生产线上每个产品的生产可理解为一个试验各个产品合格与否是相互独立的，可以看成是各次试验是相互独立的生产了个产品停机，应该理解为第X个产品是不合格产品，而前X -1个产品则必为合格产品，这就不难写出分布律记q=1-p,X的概率分布为Plx =k；=q3p,(k=1,2|H).由离散型随机变