补充元次方程根的判别式

1、一元二次方程根的判别式一、教学目标1. 理解一元二次方程的根的判别式，并能用判别式判定根的情况；2. 通过根的判别式学习，培养学生从具体到抽象的观察、分析、归纳的能力；3 通过根的情况的研究过程，让学生深刻体会转化和分类的思想方法.二、重点难点及解决办法1. 教学重点：会用判别式判定根的情况。2. 教学难点：一元二次方程根的三种情况的推导.3. 解决办法：(1)求判别式时，应先将方程化为一般形式，确定 a、b、c。(2)利用判别式可以判定一元二次方程的存在性情况(共四种)；方程有两个 实数根，方程有两个不相等的实数根，方程有两个相等的实数根，方程没有实数 根。三、教学步骤(一)教学过程1. 复

2、习提问.(1)平方根、配方法(2)解下列方程：-3t + 2 = 0 :-2誥斗 1 = U .N2 -3=0。问题(1)为本节课结论的得出起到了一个很好的铺垫作用。问题(2)通过 自己亲身感受的根的情况，对本节课的结论的得出起到了一个推波助澜的作用。2. 任何一个一元二次方程|7 111用配方法将其变形为(卄厶上器八护律Vo兰字，因此对于被开方数丄来说，只需研究-为如下几种情况的方程的根。进一步观察发现一元二次方程 ax2+bx+c=0(a工0)(1) 当 b2 4ac 0 时，(2) 当 b2 4ac= 0 时,(3) 当 b2 4acv 0 时,(1) 当- -:时，方程有两个不相等的实

3、数根。-b + yfb2 4ac-Aac珂=，=即bX = X = =(2) 当:-:时，方程有两个相等的实数根，即 丄(3) 当J.1时，方程没有实数根。教师通过引导之后，提问：究竟谁决定了一元二次方程根的情况？答：。3. 定义:把：叫做一元二次方程 I：.； 1 ： - 11的根的判别式，通常用符号一兀(1)(2)(3)把b2L.表示。次方程：2 一一 山比较分析学生的讨论分析结果。由学生总结。教师根据学生总结情况补充完整。4ac叫做一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0的根的判别式。(1) 当 b2 4ac 0 时，(2) 当 b2 4ac= 0 时,(3) 当 b2 4acv 0

4、时,即：当时，有两个不相等的实数根；当时，有两个相等的实数根；当-时，没有实数根。反之亦然注意以下几个问题：(1) ：肾厂：这一重要条件在这里起了 承上启下”的作用, 即对上式开平方，随后有下面三种情况。正确得出三种情况的结论，需对平方根 的概念有一个深刻的、正确的理解，所以，在课前进行了铺垫。在这里应向学生 渗透转化和分类的思想方法。(2) 当Jn ：，说 方程：小-没有实数根”匕较好。有时，也说方程无解”这里的前提是 在实数范围内无解”也就是方程无实数 根的意思。4 例题讲解例1不解方程，判别下列方程的根的情况：(1) ； (2)丨7 . 匕；(3) . ”7二-解：(1)二 _ - -1

5、 1 - ：11原方程有两个不相等的实数根。(2) 原方程可变形为vA=(-24y-4x16x9 = 576-576-0，原方程有两个相等的实数根。例2：当m取什么值时，关于x的一元二次方程，2x2-(m+2)+2m=0有两个相 等的实数根？并求出方程的根。(1)读题分析：A、 二次项系数是什么？a=B、 一次项系数是什么？b=C、 常数项是什么？c=(2)建立等式，根据有个常数根b2 4ac=0(3) 由学生完成解题过程后教师评价例3:说明不论m取什么值时，关于x的一元二次方程(x-1) (x-2)=m2，不 论m取代的值都有几个不相等的实根。5 学生练习1、不解方程判定下列一元二次方程根的

6、情况。x2=x2=_x2=2(1) x -x-6=0 b2 4ac=x1=2(2) x -2x=1 b2 4ac= x仁2(3) x -2x+2=0 b2 4ac=x1 =2、根据根的情况，求字母系数的取值范围 ax2-2x+2=0有两个不相等的实数根 x2-2x+a=0有两个相等的实数根x2-2ax+2 =0没有实数根则a3、已知关于x的一元二次方程2x2-(2m+1)x+m=0的根的判别式是9,求m的 值及方程的根。6 小结:把叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a 0的根的判别式，并会用它们解决一些实际问题。7、 作业一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课教学目标(一) 提高学生对

7、于根的判别式的运用能力；(二) 提高学生对于根与系数关系的运用能力 教学重点和难点重点：会用根的判别式及根与系数关系解题难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件特别是容易忽略隐含条件教学设计过程(一)复习1已知一元二次方程2ax +bx+c=O (a 丰 0).(1) 它的根的判别式是什么 ？用什么记号表示根的判别式 ？(b2-4ac,用表示)(2) 叙述一元二次方程根的判别式的性质(一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 丰 0)当厶 0时，有两个不相等的实数根；当厶=0时，有两个相等的实数根；当0,有两个相等的实数根时，=0 ；没有实数根时，0，即

8、m-9时，方程有两个不等的实根；8(3) 当厶=8m+90，即m 0，把，结合在一起，当 Oe me时，原方程有 两个实根；注意 此问的解答中，容易忽略条件X 由已知，两根之积为零，即 2m-仁0,所以m=2时，原方程有一个根为零;1(3) 由已知，两根之积为负值，即 2m-1v 0所以mv 时，原方程两根异号；(4) 设两根都是正数，应先把已知条件转化为方程或不等式，再计算出m值.由 x 10,x20,所以 x1+x20 及 x1x20,即2 0 l 0但是仅凭条件，还不足以说明两根都是正数，还必须有条件厶 0,即 =4(-m+1) 0.m 0.由，得不等式组2/m 0(伽-10,4(-構

9、+ 1)0;1答：当 vnei时，原方程有两个正数根.1注意：如果忽略了条件，即答 vm时原方程有两个正数根，这个答案就 错了例如取m=4，原方程为x2-4x+7=0,但是这个方程的根的判别式. =(-4)2-4 7=-8v 0, 即方程x2-4x+7=0没有实根，也就没有正根了 .(三 )课堂练习a取什么值时，关于x的二次方程x2+2ax+2a2-1=0的两根中至少有一个是 正根.(提示：两根中至少有一个正根，包括三种情况(1)两根都是正数；(2) 个正根, 一个负根；(3)个正根，一个根为零.由(1)，列出条件组色=(-2a)2-1)0,2a2 - 10,-Qt2a2 - KQ* -加7二

10、0,-2c0.12 / 9附* a tt. - 1 - 戏-f 4J A d =艮* 0.2. 在计算时，也不要忽略算式隐含的条件，像例3第中隐含的条件m 0.(五)作业1. 求作一个一元二次方程，使其根与已知方程ax2+bx+c=0的根的比为m.2. 如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a (的二根之比为2:3,求证：6b2=25ac.3. 已知u=16x2+12x+39, u =9x22x+11,求：对于二次式 u+ku是一个完全平方 式的常数k的值.4. c为实数，且x2-3x+c=0中有根一相反数是方程x2+3x-c=0的一个根，求 方程 x2-3x+c=0的根.5. k是什么值时

11、，关于x的方程(k2-1)x2-6(xk-1)x+72=0有两个不相等的正整 数根.作业的答案或提示1. 设已知方蛊的网按肯的心剖所求亏槿的两恨为角*金则有31= 012=耐吧.即以- rti(a| + ct3) =竽，角酮=maia2二那求方程为J2 + f拆才+ :=即 0即-6(3k-1) 2-4网2(k2-1)0,得 k丰3. 丄打厲加出 6(3*-1)16(*-3)12 一 6要便心乃 鄴是正隸，即严了no且poj? Jtl.要使x1,x2都是整数，必须k+1能整除12,且k-1能整除6.由 k+1 能整除 12，k+1 可为 1,2,3,4,6,12即 k 可为 0,1,2,3,5,11.由k-1能整除6，k-1可为1,2,3,6即k可为2,3,4,7.由，的共同解为k=2,k=3,但由知 3所以只能取k=2.答：k=2时，原方程有两个不相等的正整数根. 注意：不要忽略原题中一些关键词所含的条件.像两个”限定了 k,l像不相等”限定了 0,即3像正整数” ，限定了 k+1 可为 1,2,3,4,6,12且 k-1 可为 1,2,3,6.课堂教