圆锥曲线的定义及其应用

1、圆锥曲线的定义及其应用教学目标： 1.进一步明确圆锥曲线定义，并用定义解决有关问题； 2.通过发散思维和创新思维的训练，培养学生的探究能力； 3.培养学生用运动变化的观点分析和解决问题。教学重点、难点：圆锥曲线定义的灵活应用。教学方法：教师引导启发与学生自主探索相结合。教学过程：一.引入：问题1：到定点的距离之和为8的点P的轨迹是什么？ P的轨迹是以为焦点的椭圆，方程是问：（1）若到两定点距离之和为改为4，则点P的轨迹是什么？ （ 以为端点的线段） （2）若改为到两定点距离之差为2，则P点的轨迹是什么？ （以为焦点的双曲线的一支） （3）若改为到两定点距离之差为4，则P点的轨迹是什么？ （以为

2、端点的射线）（通过提问，让学生对圆锥曲线的第一定义进行回顾，并且进一步明确定义中所含的限制条件）由学生总结椭圆和双曲线的定义（打出幻灯片）问题2：已知定点F（1，2），定直线，设一动点P到直线的距离为，若有，则P点的轨迹是什么？（，P点的轨迹是以F（1，2）为焦点，以直线的抛物线。）问：（1）若点F改为（3，1），则点P的轨迹是什么？ （2）当为何值时，所求轨迹是椭圆？ （3）当为何值时，所求轨迹是双曲线？(通过提问，让学生对圆锥曲线的统一定义进行回顾和巩固，注意圆锥曲线第二定义的联系和区别)由学生总结圆锥曲线的统一定义，打出幻灯片。二.圆锥曲线定义的应用（一）利用圆锥曲线定义求轨迹例1.设动

3、圆M过定点A（3，0），并且在定圆B：的内部与其内切，试求动圆圆心M的轨迹方程。 （轨迹为椭圆：）探究1：对已知作怎样的改动，所求圆心的轨迹将和双曲线有关？ 由学生探究，可能会有多种方法。方法一：将A点改为（8，0），则有,所以P点的轨迹是以A,B为焦点的双曲线左支。方法二：将圆的半径改为2，则有探究2：再作怎样的改动，所求圆心的轨迹是双曲线，而不是只是一支呢？ （建议学生课后自己研究）（通过学生的探究可以进一步熟练利用圆锥曲线在求轨迹中的应用，并且培养学生的探究与联想能力）（引导学生小结：例1是圆锥曲线的第一定义的应用在求轨迹方程时先利用定义判断曲线形状可避免繁琐的计算，但需注意范围）.（二

4、）利用圆锥曲线定义求最值例2.已知椭圆，定点A（1，1），是其左右焦点，P是椭圆上一点。 求：（1）的最大值及最小值； （2）的最小值。分析：（1）4 454 4 （2）设P点到右准线的距离为d，=3问：（1）若将椭圆改为双曲线：，则上题第二问中应改为求_的最大值？ （ ） （2）若将椭圆改为抛物线呢？（）例3.线段,其两端点在抛物线上，求AB中点M到y轴的最短距离。分析：设则M到y轴的距离为x，可得到：，所以当AB过焦点F时中点M到y轴的距离最短为。小结：在求最值时注意圆锥曲线定义的化归。一般来说，涉及到圆锥曲线的焦点、离心率、准线及焦半径等问题时，应优先考虑用定义解题。课堂小结：1.正确理解圆锥曲线的定义，注意定义中的限制条件；2.在求轨迹时先利用圆锥曲线定义判断曲线形状可避免繁琐的计算；3.利用圆锥曲线的定义求最值问题时，注意圆锥曲线定义的化归；4.涉及焦点，准线，离心率上的点的问题，常用统一定义解决。 作业：研究圆锥曲线定义在解决有关焦半径，焦点弦等问题中的应用。设椭圆，是其左，右焦点，是椭圆上任一点，设其离心率为。（1）过的直线与椭圆交于A,B两点，求A,B与构成的的周长；（2）写出的表达式；（3）求,的最大值，最小值及对应的点P的位置；（4）是椭圆上三点，且成等差，判断 的关系；（成等差）（5）若，求的面积；（）（6）当时，定点A