单级移动倒立摆建模及串连超前校正

1、课程设计任务书学生姓名： 专业班级： 指导教师： 程 平 工作单位： 武汉理工大学自动化学院 题 目: 单级移动倒立摆建模及串连超前校正 u图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。M(小车的质量)=1kg m(倒立摆的质量)=0.1kg;2L(倒立摆的长度)=2m；x(小车的位置)u(加给小车的外力)初始条件：要求完成的主要任务: （包括课程设计工作量及其技术要求，以及说明书撰写等具体要求）1. 研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型传递函数（以为输入，为

2、输出）2. 要求系统输出动态性能满足试设计串联PD校正装置。3. 用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较其时域相应曲线有何区别，并说明原因。时间安排： 1.1516 明确设计任务，建立非线性模型 1.1719 线性化，设计校正装置 1.2324 仿真分析，撰写课程设计报告指导教师签名： 年 月 日系主任（或责任教师）签名： 年 月 日目录1 设计内容及要求 32 单级移动倒立摆的牛顿欧拉方法建模 32.1 非线性数学模型 32.2 数学模型线性化 53 倒立摆系统的串联比例微分（PD）校正 63.1 未校正系统输出动态性能 63.2 系统的串联

3、PD校正 83.3 校正后系统输出动态性能 94 校正前系统与校正后系统的比较 115 心得体会 12参考文献 13本科生课程设计成绩评定表 14单级移动倒立摆建模及串连比例-微分校正1 设计内容及要求1.1初始条件u图示为一个倒立摆装置，该装置包含一个小车和一个安装在小车上的倒立摆杆。由于小车在水平方向可适当移动，因此，控制小车的移动可使摆杆维持直立不倒。M(小车的质量)=1kgm(倒立摆的质量)=0.1kg;2L(倒立摆的长度)=2m；x(小车的位置)u(加给小车的外力)1.2设计要求4. 研究该装置的非线性数学模型，并提出合理的线性化方法，建立该装置的线性数学模型传递函数（以为输入，为输

4、出）5. 要求系统输出动态性能满足试设计串联PD校正装置。6. 用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，用Matlab对校正后的系统进行仿真分析，比较其时域相应曲线有何区别，并说明原因。2 单级移动倒立摆的牛顿欧拉方法建模2.1非线性数学模型系统建模可以分为两种：机理建模和实验建模。实验建模就是通过在研究对象上加上一系列的研究者事先确定的输入信号，激励研究对象并通过传感器检测其可观测的输出，应用数学手段建立起系统的输入输出关系。这里面包括输入信号的设计选取，输出信号的精确检测，数学算法的研究等等内容。机理建模就是在了解研究对象的运动规律基础上，通过物理、化学的知识和数学手段建立起系统内部的输

5、入状态关系。对于倒立摆系统，由于其本身是自不稳定的系统，实验建模存在一定的困难。但是经过小心的假设忽略掉一些次要的因素后，倒立摆系统就是一个典型的运动的刚体系统，可以在惯性坐标系内应用经典力学理论建立系统的动力学方程。在此次的课程设计中我采用其中的牛顿欧拉方法建立单级移动一级倒立摆系统的数学模型。在忽略了空气阻力和各种摩擦力后，可将倒立摆系统抽象成小车和均质杆组成的系统设输入作用力为u，输出为摆角写原始方程式。设摆杆中心A的坐标为，于是，画出系统隔离体受力图如图1ou隔离体受力图yMxllAmgVVHHl coso倒立摆系统yuxmgllPMA图1摆杆围绕中心A点转动方程为： .(1)式中J为

6、摆杆围绕重心A 的转动惯量。摆杆重心A 沿x轴方向运动方程为：即：.(2)摆杆重心A 沿y轴方向运动方程为：.(3)小车沿x轴方向运动方程式为：.(4)方程（1）（4）为车载倒立摆系统运动方程组。因为还有sin和c o s 项，所以为非线性微分方程组，且中间变量不易相消。2.2数学模型线性化当很小时()，非线性三角函数可近似为,。故可对方程组进行线性化，带入，方程式（1）（4）可用线化方程表示为：将方程组化简消掉中间变量V、H、x得：.(5)此为二阶线性化偏量微分方程在零初时条件下，对方程(5)中各项做拉普拉斯变换，可得s的代数方程： .(6)以作用力u为输入，摆角为输出并代入转动惯量求得传递

7、函数：代入M(小车的质量)=1kg，m(倒立摆的质量)=0.1kg;2L(倒立摆的长度)=2m；得：3 倒立摆系统的串联比例微分（PD）校正3.1未校正系统输出动态性能原系统结构图如图2所示，设输入为单位阶跃响应图2 图3图3为原系统单位阶跃响应曲线（设在t=1s时输入单位阶跃信号），从该曲线可以看出原系统不稳定。图4图5图4、图5分别为系统未校正前的闭环根轨迹和波特图，由这两张图也可看出系统处于非稳定状态。3.2系统的串联PD校正 在改善二阶系统性能的方法中，比例-微分控制和测速反馈控制是两种常用的控制方法。比例-微分（PD）控制是一种早期控制，可在出现位置误差前提前产生修正作用，从而达到改

8、善系统性能的目的。在此次课程设计中要求用串联比例-微分（PD）控制器改善倒立摆系统性能。 因为微分控制作用只对动态过程起作用，而对稳态过程没有影响，且对系统噪声非常敏感，所以单一的D控制器在任何情况下都不宜于被控对象串联起来单独使用，通常，微分控制规律总是与比例控制规律或比例-积分控制规律结合起来使用。 具有比例-微分控制规律的控制器,称为PD控制器，其输出m(t)与输入e(t)的关系如下式所示式中K为比例系数，T为微分时间常数。K与T都是可调的参数。PD控制器如图6所示图6 PD控制器中的微分控制规律，能反应输入信号的变化趋势，产生有效的早期修正信号，以增加系统的阻尼程度，从而改善系统的稳定

9、性。再串联校正时，可使系统增加一个的开环零点，使系统的相角裕度提高，因而有助于系统动态性能的改善。在原系统上串联一比例-微分（PD）控制器，如图7所示图7 系统开环传递函数为：应用Matlab7.0中的Simulink响应最优化软件包（Simulink Response Optimization）对校正系统中的比例微分控制器进行参数整定Simulink Response Optimization是一个在Simulink模型中调节设计参数的工具，它与Simulink模型结合在一起，根据用户定义的时域内的性能指标约束，自动优化系统参数。利用该工具，可以对标量形式、 矢量形式以及矩阵形式的变量进行优

10、化，并可对任意层次的模型进行变量约束。Simulink Response Optimization支持连续、离散以及多速率的模型，并可以通过蒙特卡罗仿真处理模型中的某些不确定量。输入调节时间，超调量，由Simulink响应最优化软件包算得结果如图8所示，算得比例系数K-752.8412，微分时间常数T0.0528。图83.3校正后系统输出动态性能将上述校正结果带入系统串联比例微分控制器的开环传递函数中则：系统校正后单位阶跃响应见图9图9由系统校正后单位阶跃响应曲线（设在t=1s时输入单位阶跃信号）可得，设计要求均已满足图10图11图10、图11分别为系统校正后的闭环根轨迹和波特图，由这两张图可

11、看出系统已处于稳定状态。4 校正前系统与校正后系统的比较通过加入比例-微分（PD）控制器，我们得到了一个稳定的倒立摆系统，比例-微分（PD）控制器的串入，使得系统动态过程的超调量下降由原来的不稳定时的无穷到校正后的不到10%,同时调节时间缩短至0.5s;值得注意的是串入比例-微分（PD）控制器后开环增益k保持不变,可见比例-微分校正环节的引入并不影响系统的稳态精度，同时也不改变系统的无阻尼振荡频率wn;由于稳态误差与开环增益成反比,因此适当选择开环增益和微分器的时间常数T, 即可减小稳态误差,又可获得良好的动态性能。5 心得体会通过参加这次自动控制理论的课程设计，我学到了很多无法在课堂上学到的

12、知识。在课堂上我们学习的都是理论知识，而课程设计是锻炼我们把那些理论运用到我们实际的生活中。作为一名学习自动化的大三学生，我觉得能做类似的课程设计是十分有意义，而且是十分必要的。在已度过的大三的时间里我们大多数接触的是专业基础课。我们在课堂上掌握的仅仅是专业基础课的理论面，如何去锻炼我们的实践面？如何把我们所学到的专业基础理论知识用到实践中去呢？我想这样的课程设计就为我们提供了良好的实践平台。在做课程设计的过程中，我感触最深的当数查阅大量的设计手册了。为了让自己的设计更加完善，更加符合设计要求，翻阅大量的参考书目是十分必要的，同时也是必不可少的。我们是在作设计，但我们不是艺术家。他们可以抛开实

13、际，尽情在幻想的世界里翱翔，我们是工程师，一切都要有据可依.有理可寻，不切实际的构想永远只能是构想，永远无法升级为设计。作为一名自动化专业的学生掌握一门或几门编程语言和仿真软件同样是必不可少的，由于本次课程设计要求用Matlab 制图、编程、仿真等，所以我们还要好好掌握这个软件。虽然过去从未独立应用过它们，但在学习的过程中带着问题去学我发现效率好高，记得大一学CAD时觉得好难就是因为我们没有把自己放在使用者的角度，单单是为了学而学，这样效率当然不会高。边学边用这样才会提高效率，这是我作本次课程设计的第二大收获。但是由于水平有限，难免会有错误，还望老师批评指正。此次提供给我们课程设计的机会是十分必要的，这不仅可以提起我们对这门课的学习兴趣，同时还可以在专业上用实践锻炼一下我们，使我们不但不再对所学专业感到陌生，而且还可以培养大家的积极性。课程设计也培养了我们的团队合作精神，让几个人一起作一个课题可以让我们更好的发挥自己的特长。课程设计中我既巩固了课堂上学到的理论知识，又掌握了Matlab的在自动化应用中的基本使用方法。在此基础上学习到了自动控制系统设计的基本思想和方法，通过查资料、分析资料及请教老师和同学等多种途径学会了科学地分析实际问题并解决问题。同时，这次课程设计也培养了我认真严谨的工作作风和实事求是的