高等数学(完整版)详细（课堂PPT）

1、),2, 1,0(23nn0a1a2ana,时nnaaaaA210边形面积为n232g21ts g2st 1tT 22t32tg21 2122)2(1 212g12 63. 2,321nuuuu,1nnu1nnunuuuu321nunkknuS1nuuuu321,lim存在若SSnn1nnuS21nnnnuuSSr,lim不存在若nnS0limnnr)0(20aqaqaqaaqannn,1q12nnqaqaqaaSqqaan1时，当1q, 0limnnq由于qannS1lim;1 qa,1时当q,limnnq由于,limnnS,1q,1时当qanSn,1时当qaaaaan 1) 1(nSnnS

2、lim1q1q,a,0 .) 1(1)2( ;1ln) 1 (11nnnnnn12lnnSnnln) 1ln()2ln3(ln) 1ln2(ln) 1ln( n）n(23ln34lnnn1ln) 1(1431321211nnSn211111n）n(131214131111nn2211lnnn211lnn221lnnn nnnln2) 1ln() 1ln(2211lnkSnkn2ln21ln3ln3ln22ln4lnln2) 1ln() 1ln(nnn5ln4ln23ln 2lnnnln) 1ln(2ln)1ln(1n, 2lnlimnnS.2ln1nnu,1nnuS1nnuc,1nkknuSn

3、kknuc1,nScnnlimSc1nnucnnSclim,1nnuS1nnv)(1nnnvu .S,1nkknuS,1nkknv)(1knkknvu nnS)(nS)(1nnnvu .S)(1nnnvu )(1nnnvu ,) 1(2nnu取,) 1(12 nnv0nnvu而1nnu1nnkunllknu1knkSSnknS与,时由于n.kSS ,1nnuS)()(54321uuuuu), 2 , 1(mm),2,1(nSnnnmmS limlimS,0) 11 () 11 (1111141141131131121121)()()(1411411311311211211111nnan12nn

4、na2nn121,1nnuS.0limnnu1nnnSSu1limlimlimnnnnnnSSu0SS,1) 1(544332211nnn1) 1(1nnunnnun,时当0limnnunnn13121111，01limlimnunnn0)(lim2nnnSSnn2nnnn21312111nnSS2212021,0nu1nnu1nnunS),2, 1( n1nnu,收敛则nS,0nunSnSnS1nnu22,1nnu1nnv1nnv1nnu1nnu1nnvnnvu 23pppn13121124,ZN,Nn ,1) 1(nun, ) 1(1)2(pnupn.1收敛则nnu;1发散则nnu251)

5、 1(1nnn2) 1(1) 1(1nnn),2, 1(11nn111nn21kk26,1nnu1nnv,limlvunnn,1收敛时且nnv;1也收敛nnu,1发散时且nnv.1也发散nnu27,nunv,limlvunnn l0,1pnnv ,nu,1p l0lunn limpn,1p l0发散nu0lnvlnvnunu收敛nu28nnn1lim11sinnnnlim sin1nn11.1sin1发散nn1211lnnnnlim221limnnn1.11ln12收敛nnnn1sin)1ln(21n21n2n211lnn29nu,lim1nnnuu11 1 301lim1nnnuu:11np

6、nnnnuu1limppnnn1) 1(1lim1, 1p, 1p31 limn)0(11xxnnnnnnuu1limnxn) 1( 1nxnx,10时当 x,1时当 x.1发散级数nn,1时当 x321nnu,limnnnu;,1) 1(级数收敛时当 .,1)2(级数发散时当 133:11pnnpnnnnu1)(1n,1pnnu , 1p, 1p3411nnnnnnnnu1n1)(0n,nnSSr21)2(1) 1(10nnnnnr21) 1(1) 1(1nnnn1) 1(1nnnnn) 1(11111n35nnuuuu1321) 1(; ),2, 1() 11nuunn,0lim)2nnu

7、nnnu11) 1(,1uS .1nnur,2, 1,0nun设36nn1) 1(4131211) 11!1) 1(!41!31!211)21nnnnn10) 1(104103102101)31432;1) 11nn;!1)21nn.10)31nnn ! ) 1(1 n!1n11 nnnuu1 101 1nnnn10 nn1101 37,1nnu111) 1(nnn,! ) 1(1) 1(11nnn1110) 1(nnnn1nnu1nnu1nnu381nnunv),2,1(n,0nv1nnv12nnvnnnuvu 2,1nnu1nnu)(21nnuu nv,nu39.) 1()2(;sin)

8、1 (1214nnnnennn,1sin44nnn141nn14sinnnn14sinnnn40,2nnenu nnnuu1lim limn12) 1(nennen2211limnnen11e12) 1(nnnen12) 1(nnnen410limnnu limn1nununnnulim111421nnu设01nnuu0limnnunnnu1) 1(,1收敛若nnu1nnu称,1发散若nnu1nnu称431nnu12nnunnnuu2limnnu lim012nnu121nn11nn44;) 1ln(1) 1 (1nn.1)2(1nnnn,) 1ln(nnnn1) 1ln(111nn11npn

9、p:级数nlimnnn1lim111nnnnn1n14546121)()()()(nnnxuxuxuxu, I0 x10)(nnxu10)(nnxu0 x称0 x称),2, 1()(nxun47, )(xS)()(1xuxSnn)(xSn)()(1xuxSnkkn)()()(xSxSxrnn, )()(limxSxSnn0)(limxrnn48, )1,1(,11,(），及nnnxxxx201xxnn110.1x, )0(02xnxxnnn,)(limxunn. 1x,)1,1(时当x,1时收敛当x,10时但当 x4900)(nnnxxa202010)()(xxaxxaa), 1 , 0( n

10、an00 x0nnnxannxaxaxaa22101,110 xxxnnnnxxa)(050ox0nnnxa,0点收敛在xx 0 xx 0 xx 0 xx 510nnnxa,0 RRxox520nnnxa,lim1nnnaa;1R;R.0R530nnnxa1limnnnaaR541limnnnaaRnxxxxnn 132) 1(3211nn11,1) 1(11nnn,11nn. 1, 1( limn55.!)2(;!1) 1 (00nnnnxnxn limlim1nnnnaaR!1n) 1(limnn. ),( limlim1nnnnaaR!n!) 1( n11limnn0! ) 1(1n56

11、nnxnn202) !(! )2(求幂级数 lim)()(lim1nnnnxuxu2!) 1( ! ) 1(2nn2!2nn22)1()22( )12(limxnnnn24x142x当.21R21x即142x当21x即) 1(2nxnx25712) 1(nnnnx求幂级数,1 xtnnntn121nnnnaaRlimlim1nn21) 1(211nnnnnnn2) 1(2lim12,11nn,) 1(1nnn,22t,212x.31x58nnnxa0nnnxb0,21RRnnnxa0)(0为常数nnnxa1Rx ,min21RRR nnnnnnxbxa00,)(0nnnnxbaRx ,0nnn

12、xcRx nnnnnnxbxa00knnkknbac059nnnxa0nnnxb0),2, 1,0, 1(0naan,3,2,0, 1, 110nbbbn,Rnnnxa0nxxx21.1R1x1nnnxb0 x1160nnnxa0,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx611nnxn求幂级数,)1,1(时故当x1)(nnxnxS1)(nnxxxxx12)1 (xx. )(xS11nnxnx1nnxx6201nnnx. )(xS时级数且1x01)(nnnxxS xnnxxx00d1xxxx0d111)1

13、ln(1xx) 10( x1x有时则当,0 x0111nnnxxxnnxxx00d163) 1 ,0()0, 1x)(xS, )1ln(1xx)(xS)0(S,1)1 (lnlim0 xxx, )1ln(1xx,10 x,1) 10( x1x64两个幂级数在公共收敛区间内可进行加、减与)0(0nnnnaxa65nnnxa00 xx 在0 xx 0 xx .0 xR 66nnnnx02) 1(2nnaa1nn) 1(2) 1(2211,23,61nnnxu)(lim2) 1(2limxnnn2x2x2x.2R6768, )(lim221nanaan. 1annanaaS221nkkak1,1nn

14、xn, )(xS1)(nnxnxS11nnxnx1nnxxxxx12)1 (xxnnSlim)(1aS2) 1( aa69)(xSnnnxa0幂级数70)()(0 xfxf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)()(xRn)(xRn10) 1()(! ) 1()(nnxxnf0)(xxf在71)(0 xf)(00 xxxf200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)(0)(xxf在72)(0 x.0)(limxRnn7374展开成幂级数的步函数)(xf)(limxRnn75xexf)(,)()(xnexf), 1 ,0(1)0()(nfn1

15、)(xRne! ) 1( n1nxxe! ) 1(1nxn,!1!31!21132nxxnxxxenRlim!1n! ) 1(1nn0),(xx2!21x3!31xnxn!176xxfsin)()()(xfn)0()(nfx)sin(2 nx,R )(xRn) 1(sin(2 n! ) 1( n1nx! ) 1(1nxn12kn),2, 1,0( k3!31x5!51x12! ) 12(11) 1(nnnx),(xxsinn0kn2,) 1(k,012! ) 12(115!513!31) 1(nnnxxxx77nnxnxxx2142! )2(1) 1(!41!211cos),(x),(x121

16、53! ) 12(1) 1(!51!31sinnnxnxxxx78mxxf)1 ()(, 1)0(f,)0(mf, ) 1()0( mmf, ) 1()2)(1()0()(nmmmmfn mx12!2) 1(xmm1limnnnaaRnmnn1lim1nxnnmmm!) 1() 1(792!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(xmxm1)1 ()11(x801,2121mxx21112421x364231x)11(x48642531x111 x24231x3642531x)11(x486427531xx21111 x2x3x)11(xnnx) 1(x) 11(1112xxxxxn8

17、1211x x11nnxxx) 1(12)11(x2x211xnnxxx242) 1(1)11(x82)1ln()(xxfxxf11)()11() 1(0 xxnnnxxxxnnnd) 1()1ln(00,1) 1(01nnnxn.11x11) 1(41312112lnnn11x11x有在而1)1ln(xx83xsin4x)(sinsin44xx)sin(cos)cos(sin4444xx)sin()cos(4421xx2132)4(!31)4(!21)4(121xxx)(x2)4(!21x4)4(!41x1)4(x3)4(!31x5)4(!51x843412 xx)3)(1(13412xxx

18、x)3(21)1 (21xx 14121x 4121x222) 1(xnnnx2) 1() 1( 81141x224) 1(xnnnx4) 1() 1(nnnnnx) 1(2121) 1(3220)31(x)21(x 18141x185xe1),(x)1 (lnxx1, 1(xx2!21x,!1nxn221x331x441x11) 1(nnxn86! ) 12() 1(12nxnnxsinx!33x!55x!77xxcos1!22x!44x!66x! )2() 1(2nxnnmx)1 ( 1xm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(x11,) 1(132nnxxxx),(x),(

19、x) 1, 1(x) 1, 1(x870)(xxf在, 0)(limxRnnxy2sinxy2cos21210! )2(1) 1(2121nnn,! )2(4) 1(2121nnnnxn),(xnx2)2(88)(xFm2!2)2)(1(111)(xmmxmmxF)()1 (xFx211)(xmxmxFx1mxm2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(nxnnmm!)() 1(nxnnmm! ) 1() 1() 1(89xxxf11arctan)()(xf211x,) 1(02nnnx)1 , 1(x)0()(fxf002d) 1(nxnnxx01212) 1(nnnxn,4)0(

20、f,12) 1(4)(012nnnxnxf1, 1x90)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn)32ln()(2xxxf)1ln(2ln)1ln()(23xxxf )1ln(x)32)(1 (322xxxx1nnnx) 11(x)1ln(23xnnnxn)(23) 1(11)(3232xnnnxn)(1 12ln231)(3232x2ln)(xf1nnnxnnnxn)() 1(231191一、近似计算一、近似计算 二、欧拉公式二、欧拉公式函数幂级数展开式的应用函数幂级数展开式的应用 机动 目录 上页 下页 返回 结束 92mxxm1)1 (2!2) 1(xmm

21、nxnnmmm!) 1() 1()11(x例例1. 计算5240.104 32r8231!254112331!3594116431!451494181181131256)31511(3240459926. 200741. 03的近似值, 精确到282811811131!254134105 . 013431518231!254112331!35941解解: 553243240514)1(331机动 目录 上页 下页 返回 结束 93)11(432)1ln(432xxxxxx2ln的近似值 ,使准确到.104解解: 已知)11(432)1ln(432xxxxxx故)1ln()1ln(11lnxxx

22、x5351312xxx令211xx得7533171315131313122ln)11(x,31x于是有机动 目录 上页 下页 返回 结束 949431912r211)91(91132911111327533171315131313122ln6931. 01131111133113193414102 . 0787321在上述展开式中取前四项, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 95xx11ln中,令121nx53)121(51)121(3112121lnnnnnn得) 1ln( n具此递推公式可求出任意正整数的对数 . 如53)91(51)91(319122ln25ln6094. 1 ( n为

23、自然数) , 53)121(51)121(311212lnnnnn5351312xxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 96753)20(!71)20(!51)20(!312020sin,!3sin3xxx求9sin误差. 解解: 先把角度化为弧度9(弧度)52)20(!51r5)2 . 0(120151031!3sin3xxx!55x!77x000646. 0157080. 03)20(!312020sin误差不超过 510的近似值 , 并估计91802015643. 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 97( 取 xexd21201的近似值, 精确到)56419. 01解解:12xe!

24、) 1(20nxnnn)(xxexd22210 xd 2210!) 1(20nxnnn0!) 1(2nnnxxnd2021.104! 1)(2x!2)(22x!3)(32x0 !) 1(2nnn1221n) 12(n机动 目录 上页 下页 返回 结束 98!3721!252132111642xdex22102!3721!252132111642nnnnr22) 12( !1141042102) 12( !nnn则 n 应满足4nxexd22120则所求积分近似值为欲使截断误差5205. 0,4n取机动 目录 上页 下页 返回 结束 99xxxdsin10的近似值, 精确到.104解解: 由于,

25、 1sinlim0 xxx故所给积分不是广义积分.若定义被积函数在 x = 0 处的值为 1, 则它在积分区间! ) 12() 1(!7!5!31sin2642nxxxxxxnnxxxdsin101!331!551! ) 12() 12() 1(nnn3r00167. 005556. 01上连续, 且有幂级数展开式 :!7714103 . 03528019461. 0机动 目录 上页 下页 返回 结束 100)(1nnnviu 则称 收敛收敛 , 且其和为)(1nnnviu 绝对收敛,1nnu)(1nnnviu 收敛 .,1uunn,1vvnn若nnnviu 1. viu 221nnnvu 收

26、敛,若对复数项级数,22nnnvuu22nnnvuv1nnv绝对收敛则称 绝对收敛绝对收敛. 由于, 故知 欧拉 目录 上页 下页 返回 结束 101yixz的指数函数为)(!1!2112zznzzenz易证它在整个复平面上绝对收敛 .当 y = 0 时, 它与实指数函数xe当 x = 0 时,nyiyinyiyiyie)(!1)(!31)(!21132nnynyy242! )2() 1(!41!211iycos12153! ) 12() 1(!51!31nnynyyyyi sin的幂级数展式一致.机动 目录 上页 下页 返回 结束 102xixexisincosxixexisincos（欧拉

27、公式）2cosxixieex（也称欧拉公式）利用欧拉公式可得复数的指数形式rxxyyoyixzyixzsincosirier则ieexxixi2sin机动 目录 上页 下页 返回 结束 103据此可得ni)sin(cosninsincos(德莫弗公式德莫弗公式)利用幂级数的乘法, 不难验证2121zzzzeee特别有yixe)sin(cosyiyex),(Ryxyixeyixee )sin(cosyiyexxerxxyyoyixz第六节 目录 上页 下页 返回 结束 104瑞士数学家. 他写了大量数学经典著作, 如无穷小分析引论 , 微 还写了大量力学, 几何学, 变分法教材. 他在工作期间几

28、乎每年都完成 800 页创造性的论文. 他的最大贡献是扩展了微积分的领域, 要分支 (如无穷级数, 微分方程) 与微分几何的产生和发展奠定了基础.分学原理 , 积分学原理等, 为分析学的重在数学的许多分支中都有以他的名 字命名的重要常数, 公式和定理. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 105函数项级数的一致收敛性函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性一、函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质及一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质二、一致收敛级数的基本性质 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第十一章 106幂级数在收敛域内的性质类似于多项式,但一般函数项级数则

29、不一定有这么好的特点. 例如例如, 级数)()()(1232nnxxxxxxx每项在 0,1 上都连续, 其前 n 项之和为,)(nnxxS和函数)(lim)(xSxSnn10 x, 01x, 1该和函数在 x1 间断.机动 目录 上页 下页 返回 结束 107因为对任意 x 都有: ),2, 1(1sin222nnnxn所以它的收敛域为 (, +) ,但逐项求导后的级数 xnxx22cos2coscos22222sin22sin1sinnxnxx其一般项不趋于0, 所以对任意 x 都发散 .又如又如, 函数项级数问题问题: 对什么样的函数项级数才有:逐项连续 和函数连续; 逐项求导 = 和函

30、数求导; 逐项积分 = 和函数积分 机动 目录 上页 下页 返回 结束 108设 S(x) 为 )(1xunn若对 都有一个只依赖于 的自然数 N , 使 当n N 时, 对区间 I 上的一切 x 都有)()()(xSxSxrnn则称该级数在区间 I 上一致收敛于和函数S(x) .在区间 I 上的和函数,任意给定的 0,显然, 在区间 I 上 )(1xunn一致收敛于和函数S(x)部分和序列)(xSn一致收敛于S(x) 余项 )(xrn一致收敛于 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 109几何解释几何解释 : (如图) )(xSy)(xSyIx)(xSy , 0,ZN当n N 时,表示)(

31、)(xSxSn曲线 )()(xSyxSy与总位于曲线)(xSyn)(xSyn之间.机动 目录 上页 下页 返回 结束 110研究级数 ) 1)(1)3)(2(1)2)(1(1nxnxxxxx在区间 0, +) 上的收敛性.解解: 111) 1)(1kxkxkxkx), 2 , 1( k)3121()2111()(xxxxxSn)111(nxnx1111nxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 111)(lim)(xSxSnn)1111(limnxxn11x)0( x余项的绝对值:)()()(xSxSxrnn11nx11n)0( x因此, 任给 0, 取自然数 ,11N则当n N 时有)0()(

32、xxrn这说明级数在 0, +) 上一致收敛于 .11)(xxS机动 目录 上页 下页 返回 结束 112证明级数 )()()(1232nnxxxxxxx在 0,1 上不一致收敛 . 证证: nnnnxxxxxxxS)()()(12)(xS10 x, 01x, 1)()()(xSxSxrnn10 x,nx1x, 0取正数 ,21对无论多么大的正数 N ,)(11210Nx取, 1, 00 x,)(2101xrN而因此级数在 0, 1 上不一致收敛 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 113yox11nnnxxS)()(xS10 x, 01x, 12n4n10n30n) 1 , 1 ()(x

33、S对任意正数 r 0, 欲使,nr只要,lnlnrn因此取,lnlnrN只要,Nn ,)(nnrxr必有即级数在 0, r 上一致收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 114用一致收敛定义判别级数的一致收敛性时, 需求出 ),()(xSxSn及这往往比较困难. 下面介绍一个较方便的判别法.若函数项级数)(1xunn在区间 I 上满足:; ),2, 1()() 1naxunn,)21收敛正项级数nna则函数项级数 )(1xunn在区间 I 上一致收敛 .简介 目录 上页 下页 返回 结束 115由条件2), 根据柯西审敛原理, ,0N当 n N 时, 对任意正整数 p , 都有 221pn

34、nnaaa由条件1), 对 x I , 有)()()(21xuxuxupnnn)()()(21xuxuxupnnn221pnnnaaa则由上式得令,p2)(xrn故函数项级数 )(1xunn在区间 I 上一致收敛 . 证毕机动 目录 上页 下页 返回 结束 116oxRRab若幂级数nnnxa0的收敛半径 R 0 ,则此级 数在 (R, R ) 内任一闭区间 a , b 上一致收敛 .证证: ,maxbar 设则对 a , b 上的一切 x , 都有 ),2, 1 ,0( nraxannnn,0Rr 而由阿贝尔定理(第三节定理1) 级数 nnnra0绝对收敛 ,由维尔斯特拉斯判别法即知推论成立

35、. 说明说明: 若幂级数在收敛区间的端点收敛, 则一致收敛 区间可包含此端点. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 117证明级数22222sin22sin1sinnxnxx在(, +) 上 一致收敛 .证证: ),(x因对任意),2, 1 ,0(1sin222nnnxn而级数021nn收敛, 由维尔斯特拉斯判别法知所给级数在 (, +) 上 一致收敛 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 118维尔斯特拉斯判别法不仅能判别级数的一致收 敛性, 而且能判别其绝对收敛性. 当不易观察到不等式时，nnaxu)(可利用导数求)(maxxuanIxn例如例如, 级数,1251xnxnn), 0

36、x,12111max232525), 0nnuxnxnann用求导法可得已知2311nn收敛, 因此原级数在0, +) 上一致收敛 . ,1)(25xnxnxun机动 目录 上页 下页 返回 结束 119定理定理1. 若级数 :)(1满足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间.,)(上连续在则baxS证证:只需证明, ,0bax . )()(lim00 xSxSxx由于)()(0 xSxS)()()()(00 xrxSxrxSnnnn)()()()(00 xrxrxSxSnnnn;,)() 1上连续在区间各项baxun机动 目录 上页 下页 返回 结束 120因为级数)

37、(1xunn一致收敛于S (x) , N, 0故),(N使当 n N 时, 有3)(,3)(0 xrxrnn对这样选定的 n , ,)(0连续在xxSn从而必存在 0 ,有时当,0 xx3)()(0 xSxSnn从而得)()(0 xSxS,)(0连续在故xxS).()(lim00 xSxSxx即证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 121(1) 定理1 表明, 对一致收敛的级数, 极限运算与无限 求和运算可交换, 即有)(lim)(lim0011xuxunxxnnnxx(2) 若函数项级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 ) 1() 1() 1(12xxxxxxxn在

38、区间 0 , 1 上处处收敛, 而其和函数)(xS10 x, 01x, 1在 x = 1 处不连续 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 122若级数 :)(1满足xunn, )(,)()21xSbaxunn上一致收敛于在区间则该级数在 a, b 上可逐项积分, xxuxxSnxxnxxd)(d)(001,0bxxa即对且上式右端级数在 a, b 上也一致收敛 . 证证: 因为 xxukxxnkd)(01xxSxxunxxknkxxd)(d)(001;,)() 1上连续在区间各项baxun机动 目录 上页 下页 返回 结束 123所以只需证明对任意 ),(,00 xxbaxx一致有xxSxxS

39、xxnxxnd)(d)(lim00 根据级数的一致收敛性, ),(, 0NN 使当 n N 时, 有abxSxSn)()(于是, 当 n N 时, 对一切 ),(,00 xxbaxx有xxSxxSxxnxxd)(d)(00 xxSxSnxxd)()(0 xxSxSnbad)()(因此定理结论正确. 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 124若级数不一致收敛时, 定理结论不一定成立. 例如例如, 级数 2222) 1(221) 1(22xnxnnexnexn它的部分和 ,2)(222xnnexnxS因此级数在 0 , 1 上收敛于 S (x) = 0 , 所以.0d)(10 xxS但是xe

40、xnexnxnxnnd) 1(222222) 1(2211022) 1(1nnnee110)(dxxS为什么对级数定理结论不成立? 分析它是否满足 机动 目录 上页 下页 返回 结束 125定理2 条件. 级数的余项 2222)(xnnexnxr,10时当nx )2(12)(0nenxrn可见级数在 0, 1 上不一致收敛 ,此即定理2 结论 对级数不成立的原因. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 126若级数 满足：)(1xunn,)()31上一致收敛在级数baxunn)()(1xuxSnn且可逐项求导, 即 ; ),2, 1(,)()2nbaxun上连续在,)(1上一致收敛在区间则bax

41、unn; )(,) 1xSba上收敛于在区间证证: 先证可逐项求导. ),()(1xxunn设根据定理2, 机动 目录 上页 下页 返回 结束 127有对, ,baxxxuxxnxanxad)(d)(1)()(1auxunnn)()(11auxunnnn)()(aSxS上式两边对 x 求导, 得 ).()(xxS再证.,)(1上一致收敛在baxunn根据定理 2 , ,d)(1上一致收敛在级数baxxunxan而xxunxand)(1)()(11auxunnnn机动 目录 上页 下页 返回 结束 128)(1xunnxxunxand)(1)(1aunn所以.,上一致收敛在ba级数一致收敛并不保

42、证可以逐项求导. 例如, 例3中的级数22222sin22sin1sinnxnxx在任意区间上都一致收敛, 但求导后的级数 xnxx22cos2coscos其一般项不趋于 0, 所以对任意 x 都发散 . 证毕 机动 目录 上页 下页 返回 结束 129证明函数 31sin)(nnxxfn对任意 x 有连续导数.解解: 显然所给级数对任意 x 都收敛 , 且每项都有连续导数, 而逐项求导后的级数 31sinnnxn21cosnnxn,1cos22nnnx,121收敛nn故级数在 (,+) 上一致收敛, 故由定理3可知.cos)(21nnxxfn 再由定理1可知 .),()(上连续在 xf机动

43、目录 上页 下页 返回 结束 130nnnxa0的收敛半径,0R)(xS数nnnxaxS0)(,11nnnxan),(RRxxxaxxSnxnnxdd)(000,110nnnxna),(RRx则其和函在收敛域上连续,且在收敛区间内可逐项求导与逐项求积分,运算前后收敛半径相同,即证证: 关于和函数的连续性及逐项可积的结论由维尔斯 特拉斯判别法的推论及定理 1, 2 立即可得 . 下面证明逐项可导的结论:机动 目录 上页 下页 返回 结束 131.),(10内收敛在先证级数RRxannnn),(RRx任取,11Rxxx使再取定, 11xxq记则1nnxannnnxaxxxn11111nnnxaxq

44、n1111由比值审敛法知级数 ,10收敛nnqn故, 0lim1nnqn,1有界因此nqn故存在 M 0 , 使得 ),2, 1(111nMqnxn,01Rx 又,10收敛级数nnnxa由比较审敛法可知机动 目录 上页 下页 返回 结束 132.11收敛级数nnnxan),(11RRxannnn在因为幂级数,ba上一致收敛, 故原级数,0baxannn在内任一闭区间上满足定理3条件, 从而可逐项求导, ,的任意性再由ba即知 ),(,110RRxxanxannnnnn再证级数 11nnnxan的收敛半径 .RR 由前面的证明可知 .RR 若将幂级数 在11nnnxan机动 目录 上页 下页 返

45、回 结束 133,)(, 0上逐项积分Rxx,1nnnxa得级数的收敛半径不会缩小, .RR 因逐项积分所得 .RR 于是幂级数 nnnxa0(R, R ) 内有任意阶导数, 且有 knnknkxaknnnxS) 1() 1()()(),2, 1( k其收敛半径都为 R . 的和函数 S (x) 在收敛区间 证毕作业作业P237 1; 3(2); 4(2), (4), (5) 第七节 目录 上页 下页 返回 结束 134德国数学家. 他的主要贡献是在函数论及分析学方面. 1854年, 他解决了椭圆 以后还建立了椭圆函数的新结构. 他在分析学中建立了实数理论,引进了极限的 定义, 定义及性质,

46、还构造了一个处处不可微的连续函数: 积分的逆转问题, 给出了连续函数的严格为分析学的算术化作出了重要贡献 .)cos(0 xbannn),1, 10(23为奇数baba135一、三角级数及三角函数系的正交性一、三角级数及三角函数系的正交性 傅里叶级数傅里叶级数 136简单的周期运动 :)sin(tAy(谐波函数)( A为振幅, 复杂的周期运动 :)sin(10nnntnAAytnAtnAnnnnsincoscossin令,200Aa,sinnnnAa,cosnnnAbxt得函数项级数)sincos(210 xnbxnaannk为角频率,为初相 )(谐波迭加)称上述形式的级数为三角级数.137,

47、1,cos x,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx上在,正交 ,上的积分等于 0 .即其中任意两个不同的函数之积在138上的积分不等于 0 .,2d11xxxn dsin2xxn dcos2),2, 1(n且有 但是在三角函数系中两个相同的函数的乘积在 139定理定理 2 . 设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 且)sincos(2)(10nxbnxaaxfnnn右端级数可逐项积分, 则有), 1,0(dcos)(1nxnxxfan),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn140叶系数为系数的三角级数 称为的傅傅里里叶系数叶系数 ;10sincos2)

48、(nnnxnbxnaaxf), 1,0(dcos)(1nxnxxfan由公式 确定的nnba ,以)(xf)(xf),2, 1(dsin)(1nxnxxfbn的傅里里的傅傅里里叶级数叶级数 .称为函数)(xf 141设 f (x) 是周期为2的周期函数,并满足狄利克雷狄利克雷( Dirichlet )条件条件:1) 在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点;2) 在一个周期内只有有限个极值点, 则 f (x) 的傅里里叶级数收敛 , 且有10sincos2nnnnxbnxaa, )(xf,2)()(xfxf x 为间断点其中nnba ,为 f (x) 的傅里里叶系数 . x 为连续点注意注意:

49、 函数展成傅里里叶级数的条件比展成幂级数的条件低得多.142设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 上的表达式为),xxxf0,10,1)(解解: 先求傅里里叶系数xnxxfandcos)(100dcos11dcos) 1(1xnxxnx),2,1,0(0n将 f (x) 展成傅里里叶级数. oyx11143xnxxfbndsin)(100dsin11dsin) 1(1xnxxnx0cos1nnx0cos1nnxnncos12nn) 1(12,4n,0,5,3,1n当,6,4,2n当xxfsin 4)(x3sin31xkk) 12sin(121),2,0,(xx144),2,0,(

50、xx77sin x99sinx1) 根据收敛定理可知,时,级数收敛于02112) 傅氏级数的部分和逼近33sinsin4)(xxxf55sin xoyx11), 2, 1, 0(kkx当f (x) 的情况见右图.145xoy上的表达式为),xxxxf0,00,)(将 f (x) 展成傅里里叶级数. 解解: xxfad)(100dcos1xxnxxnxxfandcos)(10d1xx0221x202cossin1nnxnnxx2cos1nn2332设 f (x) 是周期为 2 的周期函数 , 它在 146), 2, 1(nxnxxfbndsin)(1nn 1) 1(),2,1(k12 knkn2

51、, 00dsin1xnxx)(xf4 cos x2xsinx2sin21 3sin 3cos xx 23231x4sin41 5sin 5cos xx 252512cos1nnan,2) 12(2k),2,1,0,) 12(,(kkxx说明说明: 当) 12(kx时, 级数收敛于22)(0147, )(xxf周期延拓)(xF傅里里叶展开,)(在xf上的傅里里叶级数), , )(xxf, )2(kxf其它148xxxxxf0, 0,)(级数 .oyx则xxFad)(10 xxfd)(10d2xx0222xxnxxFandcos)(1xnxxfdcos)(10dcos2xnxx02cossin2n

52、nxnnxx解解: 将 f (x)延拓成以 展成傅里里叶2为周期的函数 F(x) , 149x3cos312na)1cos(22nn12 knkn2,0),2,1(k,2) 12(4kxnxxFbndsin)(1xnxxfdsin)(10)(xf24xcosx5cos512)(x利用此展式可求出几个特殊的级数的和.当 x = 0 时, f (0) = 0 , 得2222) 12(1513118n1501. 周期为2 的奇、偶函数的傅里叶级数定理定理4 . 对周期为 2 的奇函数 f (x) , 其傅里里叶级数为周期为2的偶函数 f (x) , 其傅里里叶级数为余弦级数 ,),2,1,0( dc

53、os)(20nxnxxfan),3,2,1( 0nbn),2,1,0( 0nan0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅里里叶系数为正弦级数,它的傅里里叶系数为151的表达式为 f (x)x ,将 f (x) 展成傅里里叶级数.是周期为2 的周期函数,它在上),)(xf解解: 若不计),2, 1,0() 12(kkx是则)(xf周期为 2 的奇函数, yxo0dsin)(2xnxxfbn),2,1,0(0nan),3,2,1(n0dsin2xnxx因此02sincos2nnxnnxxnncos21) 1(2nn152n1根据收敛定理可得 f (x) 的正弦级数:)(xf,(x)3

54、sin312sin21(sin2xxx12nnxnnsin) 1(1),1,0,) 12(kkxyxo级数的部分和 n2n3n4上在),逼近 f (x) 的情况见右图.n5153tEtusin)(展成傅里里叶级数, 其中E 为正常数 .解解:)(tu2yxo2; ),2,1(0nbn0a0dsin2ttEE4ttntuan0dcos)(2tt ntE0dcossin20d) 1sin() 1sin(ttntnE是周期为2 的周期偶函数 , 因此0d)(2ttu154t 2cos310d) 1sin() 1sin(ttntnEankn212, 0 kn),2,1( k1a0)(tu)(t,) 1

55、4(42kE0d2sinttE21t 4cos151t 6cos351E2E4xkkEk2cos141412155,0),(xxf)(xF周期延拓 F (x)(xF f (x) 在 0 , 上展成周期延拓 F (x)余弦级数奇延拓偶延拓xoy正弦级数 f (x) 在 0 , 上展成xoy, 0(),(xxf0, 0 x)0,(),(xxf,0(),(xxf)0,(),(xxf1561xyo)0(1)(xxxf分别展成正弦级数与余弦级数 . 解解: 先求正弦级数.去掉端点, 将 f (x) 作奇周期延拓,0dsin)(xnxxf2nb0dsin) 1(2xnxx02cossincos2nnxnn

56、xnnxxnnncoscos1212 knkn2),2, 1(k,1222k,1k157nb12,1222knkknk2,1),2, 1(k21xxsin)2(x2sin2x3sin32x4sin4)0( x注意注意:在端点 x = 0, , 级数的和为0 ,与给定函数1xyo因此得 f (x) = x + 1 的值不同 . 158x1y将)(xf则有o0a0d) 1(2xxna0dcos) 1(2xnxx0222xx202sincossin2nnxnnxnnxx1cos22nn12,) 12(42knkkn2,0),2, 1(k作偶周期延拓 ,159121xxcosx3cos312)0( x

57、x5cos512说明说明: 令 x = 0 可得8513112228) 12(1212nk即41212) 12(14kkxk) 12cos(1yox1601. 周期为 2 的函数的傅里里叶级数及收敛定理 )sincos(2)(10 xnbxnaaxfnnn)(间断点x其中xxnxfandcos)(1xxnxfbndsin)(1),2, 1 ,0( n),2, 1( n注意注意: 若0 x为间断点,则级数收敛于2)()(00 xfxf1612. 周期为 2 的奇、偶函数的傅里里叶级数 奇函数正弦级数 偶函数余弦级数3. 在 0 , 上函数的傅里里叶展开法 作奇周期延拓 ,展开为正弦级数 作偶周期

58、延拓 ,展开为余弦级数1. 在 0 , 上的函数的傅里里叶展开法唯一吗 ?答答: 不唯一 , 延拓方式不同级数就不同 .162处收敛于)(xf0 x,1 x0,12x则它的傅里里叶级数在x在4x处收敛于 .提示提示:2)()(ff2 )(f)(f2222)4()4(ff2)0()0( ff21102设周期函数在一个周期内的表达式为 ,xyo11163)(xf0, 1x x0, 1上在,傅氏级数的和函数 .)(xS0, 1x x0, 10 x,0 x,0答案:xyo11)(xf1642)(xxxf函数)(x叶级数展式为, )sincos(210nnnnxbnxaa则其中系. 3b数提示提示:xx

59、xfbd3sin)(13xxxxd3sin)(21)3sin93cos3(2xxx03232的傅里 165法国数学家. 他的著作热的解析 理论(1822) 是数学史上一部经典性 书中系统的运用了三角级数和 三角积分, 他的学生将它们命名为傅里叶级数和傅里叶积分. 最卓越的工具. 以后以傅里叶著作为基础发展起来的 文献, 他深信数学是解决实际问题傅里叶分析对近代数学以及物理和工程技术的发展 都产生了深远的影响. 166德国数学家. 对数论, 数学分析和数学物理有突出的贡献, 是解析数论 他是最早提倡严格化方法的数学家.函数 f (x) 的傅里叶级数收敛的第一个充分条件; 了改变绝对收敛级数中项的

60、顺序不影响级数的和, 举例说明条件收敛级数不具有这样的性质.他的主要的创始人之一, 并论文都收在狄利克雷论文集 (1889一1897)中. 1829年他得到了给定证明167一般周期的函数的傅里叶级数一般周期的函数的傅里叶级数 一、以一、以2 l 为周期的函数的为周期的函数的傅里叶展开傅里叶展开 168周期为 2l 函数 f (x)周期为 2 函数 F(z)变量代换lxz将F(z) 作傅氏展开 f (x) 的傅氏展开式169设周期为2l 的周期函数 f (x)满足收敛定理条件,则它的傅里里叶展开式为10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf(在 f (x) 的连续点处)naxlxnxfl