几何中的计数问题(教师版)

1、第九讲 几何中的计数问题（教师版）家庭作业走好第一步1、如图所示，图中共有 21 条线段。2、如图所示，图中共有 6 个三角形。3、如图所示，图中共有 18 个长方形。4、如图所示，图中共有 4 个三角形。5、如图所示，图中共有 13 条线段。6、如图所示，图中共有 6 个三角形。跨上新台阶7、如图所示，图中共有 18 个梯形。8、如图所示，图中共有 5 个长方形。9、如图所示，图中共有 11 个长方形。冲刺最高峰10、如图所示，图中共有 27 个长方形。第十讲 速算与巧算 （教师版）家庭作业走好第一步1、 计算：365+298 =365+3002=663 2、 计算：37121003 =37

2、12-1000-3=27093、 计算：201+196+203+199+202+195 =200×6+14+31+25 =1200-4=11964、 计算：8+98+998+9998+99998 =（102）+（1002）+（1000-2）+（100002）+（1000002） =10+100+1000+10000+100000-2×5=1111005、 计算：362+357+361+359+363+360 =（360+2）+（360-3）+（360+1）+（360-1）+（360+3）+360=360×6+（2-3+1-1+3）=2160+2=21626、 24

3、00÷25 解法一：=（2400×4）÷（25×4）=9600÷100=96解法二：=24×100÷25=24×（100÷25）=24×4=96跨上新台阶7、 计算：22222×99999+99999×33333 =99999×（22222+33333） =99999×55555=（100000-1）×55555=5555500000-55555=55554444458、计算111111×111111冲刺最高峰9、 计算：925

4、5;512512×805120×51=512×（925-805-120）=512×0=010、计算：85858585×99999999÷1010101÷11111111解：（85858585÷1010101）×（99999999÷11111111）85×985×（101）85085765第十一讲 数阵图（教师版）家庭作业走好第一步1、 在下列图中，将从1开始的连续自然数填入图中的内，要求每边上的数字之和都相等，中心处各有几种填法?解：中心处可填1，4，7或10。2、 将111

5、填入左下图的内，使每条虚线上的三数之和都等于18。 解：本题是5-3辐射图。设中心数为a，由五条虚线上的数字之和得到5×18=（1+2+ +11）+4a，解得a=6。填数方法如左下图。3、将16填入右上图的中，要求四条直线上的数字之和都等于10。 除了最上面直线中间的只在一条直线外，每个都在两条支线上。设最上面直线中间内填的数为，则四条直线上的数字之和，等于16加两遍，再减去x，即10×4=（1+2+3+ +6）×2-x解得x=2。填法如右上图。4、16填入下图的六个中，使每个大圆周上的四数之和都等于16。跨上新台阶5、 将19这九个自然数分别填入左下图中的九个内

6、，使三角形每边上的四数之和都等于20，且有一个顶点内的数字为1。 冲刺最高峰6、 将19这九个自然数填入左下图的九个小三角形中，使得每个由四个小三角形构成的三角形内的四个数字之和都等于17。 第十二讲、格点与面积（教师版） 家庭作业走好第一步1、求下列各个格点多边形的面积。 L=12；N=10, S=N+L/2-1=10+6-1=15(面积单位) L=10；N=16, S=N+L/2-1=16+5-1=20(面积单位) L=6,N=12, =S=N+L/2-1=12+3-1=14(面积单位)L=10；N=13 S=N+L/2-1=13+5-1=17(面积单位)2、求下列格点多边形的面积（每相邻

7、三个点或成面积为1的等边三角形） L=7；N=7, S=2×N+L-2=2×7+7-2=19(面积单位) L=5；N=8, S=2×N+L-2=2×8+5-2=19(面积单位) L=6；N=8， S=2×N+L-2=2×8+6-2=20(面积单位)L=7；N=8； S=2×N+L-2=2×8+7-2=21（面积单位）跨上新台阶3、下面每个图中有49个点，其中所有形如“：”的相邻四点所形成的四边形都是面积为1的正方形，试计算ABC和四边形DEFG的面积 （1）S=N+L÷2-1=13+6÷2-1=

8、15（2）S=N+L÷2-1=16+6÷-1=18 冲刺最高峰4、下面每个图中有21个点，其中每相邻的三点“”或“”所形成的三角形都是面积为1的等边三角形，试计算ABC和四边形DEFG的面积。（1）N=2N+L-Z=2×4+4-2=10（2）N=2N+L-2=2×5+4-2=12第十三讲、平均数问题（教师版）家庭作业走好第一步1.一个房间里有9个人,平均年龄是25岁；另一个房间里有11个人,平均年龄是45岁.两个房间的人合在一起,他们的平均年龄是多少?解: (25×9+45×11)÷(9+11)=36(岁)答:平均年龄是36

9、岁。2. 7个数的平均数是29,把这7个数排列成一列,前3个数的平均数是25,后5个数的平均数是32,第三个数是?解:25×3+32×5-7×29=32.答:第三个数是32。3. 某班有40名学生，期中数学测验，有2名同学因病缺考，这时班级平均分为89分，缺考的同学补考各得99分，这个班期中测验平均分数是多少?解：89× (402)+99×2÷40=89.5(分)答：这个班期中测验平均分数是89.5分.4、水果糖每千克卖12元，奶糖每千克卖10元。把5千克水果糖和3千克奶糖混合起来，每千克卖多少元? 解：(12×5+10&#

10、215;3)÷(5+3)=11.25(元)答:每千克卖11.25元.5、一段山路长15千米。一辆汽车行这段山路，去时是上山，每小时行30千米。从原路下山每小时行50千米。求这辆汽车上山和下山的平均速度。 解：15×2÷(15÷30+15÷50)=37.5(千米)答:这辆汽车上山和下山的平均速度是37.5千米.6、一辆汽车往返于甲、乙两地。去时平均每小时行40千米，返回时平均每小时行60千米。求这辆汽车往返的平均速度。 解：设全程是120千米。 120×2÷(120÷40+120÷60)=48(千米)答:

11、这辆汽车往返的平均速度是48千米.7、某小组加工一批零件，7天中平均每天加工32个。已知他们前4天平均每天加工34个，后4天平均每天加工31个。求第4天加工零件多少个?解：4×4+31×432×7=36(个)答:第4天加工零件36个.跨上新台阶8、十个参赛者的平均得分是82分。前6人的平均分是83分，后6人的平均分是80分。求第5个和第6个人的平均分是多少? 解：(83×6+80×682×10)÷2=79(分)答:平均分是79分.9、商店新进两种服装，乙种服装的件数是甲种服装的4倍。甲种服装每件120元，乙种服装每件80元。

12、新进的服装平均每件多少元? 解：(120+80×4)÷(1+4)=88(元)答:新进的服装平均每件88元.冲刺最高峰10、甲、乙两块棉田，总平均每公顷收皮棉940千克。甲棉田6公顷，平均每公顷收1020千克，乙棉田平均每公顷收820千克，乙棉田有多少公顷? 解：(1020940) ×6=480(千克) 480÷(940820)=4(公顷) 答:乙棉田有4公顷.第十四讲、综合练习（教师版）1、199-198+197-196+195-194+5-4+3-2+1巧算方法：根据题目的特征，我们把算式从左至由每两个数作为一组，每组的计算结果均为1。199-198=

13、1，197-196=1，195-194=1，5-4=1，3-2=1。整个算式成了求100个1的和，因此整个算式的结果等于100。解：199-198+197-196+195-194+5-4+3-2+1=（199-198）+（197-196）+（195-194）+（5-4）+（3-2）+11+1+1+1+1+1 100个1=1002、80×1995-3990+1995×22巧算方法：把3990分解为1995×2，这样80×1995、2×1995、22×1995中都有相同因数1995，可利用乘法分配律，把相同的因数1995提取出来，进行巧算

14、。解：80×1995-3990+1995×22=80×1995-2×1995+1995×22=1995×（80-2+22）=1995003、22×47+42×53巧算方法：把42分解为22+20，然后运用乘法分配律巧算。解：22×47+42×53=22×47+（20+22）×53=22×47+20×53+22×53=22×（47+53）+20×5322×100+20×53=32604、99999×

15、77778+33333×66666巧算方法：把66666分解为2×33333，然后应用乘法分配律巧算。解：99999×77778+33333×66666=99999×77778+33333×3×22222=33333×3×（77778+22222）=99999000005、999999999×888888888÷666666666巧算方法：先把除法算式转化为分数，然后再分解、约简。解：999999999×888888888÷666666666=1333333326、

16、98989898×99999999÷1010101÷11111111巧算方法一：把98989898分解为98×10101，99999999分解为9×11111111，1010101转化为×，÷11111111转化为×然后约分计算。巧算方法二：把原式按a÷b=,转化为分数，然后约分化简。7、1995××巧算方法：把1995××1994××1995×100010001，然后运用乘法分配律巧算。解：1995××=1995&

17、#215;1994×100010001-1994×1995×100010001=1994×1995×（100010001-100010001）=1994×1995×0=08、2000×1999-1999×1998+1998×1997-1997×19962000×1999-1999×1998的被减数和减数都有相同因数1999，可把1999提取出来，1998×1997-1997×1996的被减数和减数都有相同因数1997，可把1997提取出来。上面所

18、得运算结果仍可运用乘法分配律，巧算出结果来。解：2000×1999-1999×1998+1998×1997-1997×1996=1999×（2000-1998）+1997×（1998-1996）=1999×2+1997×2=（1999+1997）×2=3996×2=79929、假设一种运算符号，xy表示把x和y加起来被4除。例如：812=（8+12）÷4=5求1317的值。思路分析：遵循新定义的关系式计算。解：1317 =（13+17）÷4 =30÷4=710、2（

19、35） =2（3+5）÷4 =28÷4 =22 =4÷4 =111、设a*b表示a的3倍减去b的2倍，即a*b=3a-2b。例如当a=6,b=5时，6*5=3×6-2×5=8已知：x*(4*1)=7,求x。解：x*(4*1)=7x*(3×4-2×1)=7x*(12-2)=7x*10=73x-2×10=73x=27x=912快车与慢车同时从甲思路分析:已知慢车从乙地出发到与甲相遇共行12小时,而快车行这段路程只用8小时.从这里可知行同样长的路慢车所行的时间是快车所需时间的(12÷8)=1(倍).快车从甲地到

20、与慢车相遇点共行了12小时,慢车行这段路要用(12×)=18小时.当快车和慢车相遇后,快车行至乙地时(快车行了8小时),慢车还要行(18-8)=10小时才能到达甲地.解:12×(12÷8)-8=12×1-8=18-8=10（小时）答：慢车还要行10小时才能到达甲站。13、两地相距380千米。有两辆汽车从两地同时相向开出。原计划甲汽车每小时行36千米，乙汽车每小时行40千米，但开车时甲汽车改变了速度，以每小时40千米的速度开出，问在相遇时，乙汽车比原计划少行了多少千米?思路分析:已知两地相距380千米和原计划甲汽车乙汽车的速度,可求出原计划两车多少小时相遇

21、,也可进一步求出原计划相遇时,乙汽车的行程.开车时甲车改速度为每小时40千米,与乙车车速相等,可见两车在两地中点相遇,相遇时两车各行(380÷2)=190(千米),进而再求出乙比原计划少行多少千米.解:40×380÷(40+36)-380÷2=40×380÷76-190=40×5-190=200-190=10(千米)答:乙比原计划少行了10千米.14客车和货车同时从甲乙两站相对开出,客车每小时行54千米,货车每小时行48千米,两车相遇后又以原来的速度继续前进,客车到乙站后立即返回,货车到甲站后也立即返回,两车再次相遇时,客车

22、比货车多行216千米.求甲乙两站间的路程是多少千米?思路分析:客车比货车每小时多行(54-48)=6千米.客车比货车多行216千米要用(216÷乙两站间距离的3倍,除以3就可以求出甲乙两站的路程.解:(54+48)×216÷(54-48)÷3102×216÷6÷3102×36÷3=3672÷3=1224(千米)答:甲乙两站间的路程是1224千米.15快慢两车同时从甲、乙两地相向而行，快车每小时行45千米，慢车每小时行20千米。两车不断往返于甲、乙两地。当两车第三次相会后，快车又行360千米与慢车

23、相会。甲、乙两地距离是多少千米？思路分析：已知当两车第三次相会，到再次相遇时，快车行了360千米，快车和慢车各行了（360÷45）=8小时。快、慢车8小时的行程之和，相当于甲、乙两地距离的2倍。除以2就可以求出甲、乙两地距离是多少千米？解：（45+20）×（360÷45）÷2=65×8÷2=520÷2=260（千米）答：甲、乙两地间的距离为260千米。16、一列客车和一列货车同时同地反向而行，货车比客车每小时快6千米，3小时后两车相距342千米，求两车的速度。思路分析：把两车相距的342千米除以3小时，就可求出货车和客车速度

24、之和。又知货车比客车每小时快6千米，即两车速度之差，就可按和差问题的解题规律解答。解：（1）货车和客车速度之和是多少千米？342÷3=114（千米）（2）货车每小时行多少千米？（114+6）÷2=60（千米）（3）客车每小时行多少千米？（114-6）÷2=54（千米）综合算式：（342÷3+6）÷2=（114+6）÷2=120÷2=60（千米）（342÷3-6）÷2=（114-6）÷2=108÷2=54（千米）答：货车每小时行60千米，客车每小时行54千米。17、小明计算20道竞赛题，

25、做对一道得5分，做错一道题倒扣3分。结果小明考得60分，问他做对了几道题？（上海市嘉定区从小爱数学邀请赛预赛试题）思路分析：做一道竞赛题可得5分，假设小明20道全做对，可得（5×20）=100分，实际他只得了60分，少得了（100-60）=40分，做错一题不仅得不到5分，反而要倒扣3分，也就是做错一题要少得（5+3）=8分。少得的40分中有多少个8分，就是小明做错的题目数。把竞赛题总数减去算错的题目数，就是小明算对的题目数。解：（1）假设20题全做对应得多少分？5×20=100（分）（2）小明比应得的分数少了多少分？100-60=40（分）（3）做错一道题要少得多少分？5+

26、3=8（分）（4）小明做错了几道题？40÷8=5（道）（5）小明做对了几道？20-5=15（题）综合算式：20-（5×20-60）÷（5+3）=20-（100-60）÷8=15（题）答：小明做对了15道题。18、30枚硬币由2分和5分组成，共值9角9分，两种硬币各多少枚？思路分析一：假设30枚硬币全是2分币，则共值（2×30）=60分，比实际少了（99-60）=39（分）。这39分是把其中的5分币当作2分币后，一共少算的钱数除以每一枚少算的钱数，就可以求出5分币的枚数。进而再求2分币的枚数。解：（99-2×30）÷（5-2）

27、=（99-60）÷3=39÷3=13（枚）5分币的枚数30-（90-2×30）÷（5-2）=30-39÷3=17（枚）2分币枚数思路分析二：假设30枚全是5分币，那么钱总值（5×30）=150分，比实际多算了（150-99）=51分。所以会多出51分钱，是因为把其中的2分币也当作5分币的缘故。把一枚2分币当作5分币要多算（5-2）=3分，多算的51分中包含多少个3分，就是2分币的枚数。解：（50×30-99）÷（5-2）=（150-99）÷3=51÷3=17（枚）2分币30-17=13（枚）5分

28、币答：有2分币17枚，5分币13枚。19、有一老人说：把我的年龄加上17用4除，再减去15后用10乘，恰巧是100岁。这位老人今年几岁？思路分析：可从应用题的最后结果100岁开始逆推。老人年纪是乘了10以后等于100岁的，那么不乘10便是：100÷10=10（岁），10岁是减去15后的差，未减前是：10+15=25岁，25岁是除以4后的商，未除前：25×4=100，100岁是加上17后的和，未加前：100-17=83岁。解：（100÷10+15）×4-17=（10+15）×4-17=25×4-17=83（岁）答：这位老人今年83岁。2

29、0、有一条铁丝，第一次用去它的一半少1米，第二次用去了剩下的一半多1米，最后还剩2.5米。这条铁丝原来长多少米？思路分析：第二次用去了剩下的一半多1米，最后剩下2.5米，如果第二次用去的正好是剩下的一半，那么第二次用去后剩下：2.5+1=3.5（米）。也就是说3.5米正好是第一次用去后剩下的一半，第一次用去后还剩3.5×2=7（米），如果第一次用去的正好是一根铁丝的一半，则还剩下：7-1=6（米），这根铁丝长为（6×2）=12米。解：（2.5+1）×2-1×2=3.5×2-1×2=12（米）答：这根铁丝长12米。21、书架分上、中、下

30、三层，一共分放192本书。现在从上层取出与中层同样多的书放到中层，再从中层取出与下层同样多的书放到下层，最后从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层，这时三层所放的书本数相同。试问：这个书架的上、中、下层原来各有多少本书？思路分析：经从上层取书到中层，中层取书到下层，下层又取书到上层后，这时三层所放的书本数相同，每层有书：192÷3=64（本）。从下层取出与上层剩下的本数同样多的书放到上层后，上层才有64本，若不从下层取来，上层有64÷2=32（本），下层有：64+32=96（本）。从中层取出与下层同样多的书放到下层后，下层才有96本，若不从中层取来，下层有96

31、7;2=48（本），中层有64+48=112（本）。从上层取出于中层同样多的书放到中层后，中层才有112本的，若不从上层取来，中层有：112÷2=56（本），上层有：32+56=88（本）。解：192÷3÷2=32（本）192÷3+32=96（本）96÷2=48（本）下层原有的书192÷3+96÷2=112（本）112÷2=56（本）中层原有的书32+56=88（本）上层原有的书答：上层原有88本书，中层原有56本书，下层原有48本书。22、四（1）班同学植树，每人植1棵还剩20棵，每人植2棵差30棵。有多少个同学

32、？有多少棵树苗？思路分析：因为每人多值（2-1）=1棵，相差棵（20+30）=50棵，可知有50÷（2-1）=50个同学，进而求树苗数。解：（20+30）÷（2-1）=50÷1=50（人）50×1+20=70（棵）答：有50个同学，有70棵树。23、少先队员植树，如果每人种5棵，则剩下13棵；若每人种7棵，则差21棵。参加植树的少先队员有多少人？这批树有多少棵？思路分析：已知少先队员植树，每人种5棵剩下13棵，若每人种7棵，则差21棵。因为每人少种（7-5）=2棵，相差树苗（13+21）=34棵，可知有队员（34÷2）=17人，进而再求这批树苗

33、数。解：（21+13）÷（7-5）=34÷2=17（人）5×17+13=98（棵）或7×17-21=98（棵）答：有少先队员17人，共有树苗98棵。24、有一个班的同学去划船,他们算了一下,如果增加一条船,正好每条船坐6人.如果减少一条船,正好每条船坐9人.问:这个班共有多少同学?思路分析一:根据题意,学生人数一定,按现有船数安排:每船坐6人,还有6人无船坐(需要增加一条船)；如果每船坐9人,还要有9人才能坐满每条船(即减少一条船).这两次分配方法的人数相差(9+6)=15人.这差是由于两次分配每条船所坐人数相差(9-6)=3人而出现的.由此可知,现在有

34、船数(15÷3)=5条,学生人数:6×5+6=36(人)解(9+6)÷(9-6)=15÷3=5(条)6×5+6=30+6=36(人) 或9×5-9=45-9=36(人)思路分析二:以增加一条船后或减少一条船后的人数相等为等量关系,列方程解.解:设原有x条船,则人数有(x+1)×6或(x-1)×9(x+1)×6=(x-1)×9 6x+6=9x-9 3x=15 x=5(5+1)×6=6×6=36(人)答:这个班有36人.25小红家买来一篮橘子,分给全家人.如果其中二人每人分4只,

35、其余每人分2只,还多出4只,如果一人分6只.其余每人分4只,又缺12只,小红家买来多少橘子?小红家共有多少人?思路分析:第一次的分法是其中二人每人分4只,其余每人分2只,还多出4只，也可以看成每人都分2只就多出4+（4-2）×2=8只。第二次的分法是其中一人分6只，其余每人分4只，又缺12只，可以看成每人分4只，反而缺（12-2）=10只。一次分余下，一次分不足，相差：10+8=18(只).由于每人多分2只,就要多分18只.这样,小红家的人数就可以求出了,这样,小红家的橘子数也可以求出来了.解(1)小红家共有几人? (4-2)×2+4+12-(6-4)÷(4-2)

36、=2×2+4+12-2÷2=4+4+10÷2=18÷2=9(人)(2)小红家买来多少只橘子?4×2+2×(9-2)+4=8+2×7+4=8+14+4=26(只)或6+4×(9-1)-12=6+32-12=26(只)答:小红家共有9人,共买来橘子26只.26四(1)班有40个同学参加考试,其中2个同学缺考,平均成绩是89分；缺考的同学补考后各得99分,这个班的平均成绩是多少分?思路分析(40-2)=38人的平均成绩89分,38人的总分是(89×38)=3382分,2人缺考的同学补考后各得99分,2人共得(9

37、9×2)=198分.(3382+198)=3580分是全班40个同学的总分,可按总数量÷总分数=平均数求出全班同学的平均数.解:89×(40-2)+99×2÷4089×38+99×2÷40=3382+198÷40=3580÷40=89.5(分)答:这个班的平均成绩是89.5分.27在一次登山比赛中,李明上山时每分钟走50米,18分钟到达山顶,然后按原路下山,每分钟走75米.李明上下山平均每分钟走多少米?思路分析:李明上山每分钟走50米,18分钟到达山顶,李明上山共走(50×18)=90

38、0米,按原路下山,同样走900米.李明走的总路程为900×2=1800(米).李明上山走了18分钟,下山每分钟走75米,下山走了(900÷75)=12(分).李明上下山用的总时间为(18+12)=30(分)总路程1800米除以所用的总时间30分,就可求出李明上下山的平均速度.解:50×18×2÷(18+50×18÷75)=900×2÷(18+900÷75)=1800÷(18+12)=60(米)答:李明上下山平均每分钟走60米.28摩托车驾驶员以每小时20千米的速度行了60千米，回来时每

39、小时行30千米，问往返全程平均速度是多少？解:60×2÷(60÷20+60÷30)=120÷(3+2)=24(千米)答:往返全程的平均速度是每小时24千米.29期中考试中,小明语数两科的平均分是87分；数英两科的平均分是90分；英常两科的平均分是88分.已知常识成绩比语文高10分,试问各科成绩是多少?思路分析:由语数两科平均分是87分,数英两科平均分是90分,可知英语成绩比语文高(90-87)×2=6由英常两科平均分是88分,根据平均问题的数量关系,可知英语常识两科总分是(88×2)=176分,英语常识分别比语文高6分10分

40、,可知语文成绩(176-6-10)÷2=80(分).这样,英语成绩是80+6=86(分),常识成绩是80+10=90(分),数学成绩是87×2-80=94(分)30某文具店中的铅笔彩色笔圆珠笔用三种方式搭配装在文具匣内出售.文具匣内装4支铅笔售4元；在同一种文具匣内装4支彩笔和2支圆珠笔售8元；仍在这种文具匣内装4支彩色笔和2支圆珠笔,再加2支铅笔售9元.如果在这个文具匣内装3支铅笔2支彩色笔和1支圆珠笔,那么售价应该是多少元?解:1只文具匣+4支铅笔=4元1只文具匣+4支彩色笔+2支圆珠笔=8元1只文具匣+4只彩色笔+2支圆珠笔+2支铅笔=9元由-得:2支铅笔=1元1只铅笔=1÷2=0.5元由代入得:1只文具匣+0.5×4=4元1只文具匣=4-2=2元由得:4支彩色笔+2支圆珠笔=8-2=6元由÷2得:2只彩色笔+1支圆珠笔=6÷2=3元因为一只文具匣2元,3支铅笔0.5×3=1.5元,所以在这个文具匣里装3支铅笔2支彩色笔和1支圆珠笔的售价应该是:3+2+0.5×3=6.5(元)答:在这个文具匣内装3支铅笔2支彩色笔和一支圆珠笔的售价应