已知双曲线C的实半轴长和虚半轴长的乘积为

1、已知双曲线C的实半轴长和虚半轴长的乘积为，C的两个焦点分别为F1、F2，直线L过F2且与直线F1F2的夹角为，tg=，L与线段F1F2的垂直平分线的交点是P，线段PF2与双曲线C的交点为Q(且PQPF2=21)，求双曲线的方程.解：如图，以直线F1F2为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立坐标系.设双曲线C的方程为-=1 (ab0)设F1，F2的坐标分别为(-c,0)、(c,0)，其中C=，则点P的坐标为(0，-，c).由线段的定比分点公式可得Q点的坐标为(c,- c).将Q点坐标代入双曲线方程得-=1，整理得16()4-41()2-21=0解得()2=3或()2=-(舍去)由()2=3和

2、题设ab=，解得a=1，b=.故所求双曲线方程为x2-=1.已知点P在直线x=2上移动，直线l通过原点且OP垂直 ，过点A(1，0)和点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程，并指出该轨迹的名称和它 的焦点坐标.解：设点P的坐标为(2，y1)，则直线OP的斜率kOP=.l直线OP.直线l的斜率k1满足kOP·k1=-1，即·k1=-1，得k 1=-.又直线l过原点，所以l的方程为y=-x.直线m过点A(1，0)，P(2，y1).m的方程为y1x-y-y1=0由l的方程得y1=-代入m的方程得-x-y+=0，即2x2+y2-2x=0.显然点Q与点A(1，0)不重合，故x

3、1.又2x2+y2-2x=0可化为+=1 (x1)，已知椭圆的焦点为F1(0，-1)和F2(0，1)，直线 y=4是椭圆的一条准线.(1)求椭圆方程；(2)设点P在椭圆上，且PF1-PF2=1，求tanF1PF2的值.解：如图.(1)设所求椭圆方程为+=1，(a b0)由F1(0，-1)和F2(0，1)，知c=1，得a2=b2+1， 由一条准线方程为y=4知，=4 又a2=b2+c2 由、解得a2=4，b2=3.故所求椭圆方程为+=1.(2)由椭圆定义及a=2有PF1+PF2=4 由题设有PF1-PF2=1 解出PF1=，PF2=，又F1F2 =2.在PF1F2中，F1PF2=，cos=，从而

4、sin=，tg=，tgF1PF2=.四、能力训练(一)选择题1.“点M的坐标是方程f(x，y)=0的解”是“点M在方程f(x，y)=0曲线上”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件2.抛物线x=-的焦点坐标是( )A.(0，1) B.(-1，0)C.(0，-) D.(-，0)3.椭圆(1-m)x2-my2=1的长轴长是( )A. B. C. D. 4.下列各对双曲线中，既有相同离心率又有相同渐近线的是( )A.-y2=1和-=1B. -y2=1和y2-=1C.y2-=1和x2-=1D. -y2=-1和-=15.抛物线x2-4y=0上一点P到焦点的距

5、离为3，那么P的纵坐标是( )A.3 B.2 C. D.-26.已知椭圆+=1 (ab0)的两 个焦点把夹在两条准线间的线段三等分，那么这个椭圆的离心率是( )A. B. C. D. 7.圆x2+y2-2axsin-2bycos-a2cos2=0在x轴上截得的弦长是( )A.2a B.2a C.a D.4a8.过双曲线的一个焦点，有垂直于实轴的弦PQ，F是另一个焦点，若PFQ=，则双曲线离心率是( )A.+2 B. +1 C. D. -19.抛物线y2+4y-4x=0的准线方程是( )A.x=0 B.y=0 C.x=-2 D.y=-210.椭圆的两准线方程分别为x=，x=-，一个 焦点坐标为(

6、6，2)，则椭圆方程是( )A.+=1B.+=1C.+=1D.+=111.设双曲线-=1的两条渐近线含 实轴的夹角为，而离心率e，2，则的取值范围是( ) A.， B.，C.， D.，12.椭圆+=1的弦AB被点(1，1)平分，则 AB所在的直线方程是( )A.4x-9y-11=0 B.4x+9y-13=0C.9x+4y-10=0 D.9x-4y-5=013.和x轴相切，且和圆x2+y2=1外切的动圆圆心的轨迹方程是( )A.x2=2y+1 B.x2=-2y+1C.x2=2y+1或x2=-2y+1 D.x2=2y+114.如果椭圆+=1 (ab0)和曲线+=1(m0，n0)有相同的焦点F1和F

7、2 ，P是这两条曲线的交点，则PF1·PF2的值是( )A.a-m B.(a-m)C.a2-m2 D.-15.已知0a1b，那么曲线a2x2-a2y2=logab是( )A.焦点在x轴的双曲线B.焦点在y轴的椭圆C.焦点在x轴的等轴双曲线D.焦点在y轴的等轴双曲线(二)填空题16.直线xsin+ycos=m(常量(0，) 被圆x2+y2=2所截的弦长为，则m=_.17.设椭圆-=1的准 线平行于x轴，则m的取值范围是_.18.如果方程x2cos2+y2sin=1，表示椭圆，那么 角的取值范围是_.19.设双曲线C：-=1椭圆的焦点恰为双 曲线C实轴上的两个端点，椭圆与双曲线离心率为互

8、为倒数，则此椭圆方程是_.(三)解答题20.已知两圆C1x2+y2+4x-4y-5=0 C2x2+y2-8x+4y+7=0(1)证明此两圆相切，并求过切点的公切线方程.(2)求过点(2，3)且与两圆相切于上述切点的圆的方程.21.(1)椭圆+=1上一点P与两焦点 F1F2连线所成的角F1PF2=，求F1PF2的面积；(2)将上题的椭圆变成双曲线-=1 ，求F1PF2的面积.22.抛物线的顶点在原点，它的准线过双曲线-=1的一个焦点，并与双曲线的实轴垂直，又双曲线与抛物线的一个交点是(1. 5，)，求抛物线和双曲线的方程.23.已知椭圆+=1，左、右焦点分别为 F2、F1，右准线为L，问能否在椭

9、圆上求得一点P，使PF1是P到L的距离d与PF2的比例中项?若能，求出P点坐标，若不能，说明理由.24.试就k的取值(kR，且k4)讨论方程+(k-2)y2=1+k所表 示曲线的形状.25.已知椭圆+=1中有一内接PAB，X OP=60°，且kPA+kPB=0(1)求证：直线AB斜率是定值；(2)求ABP的面积的最大值.能力训练参考答案(一)1.C 2.B 3.C 4.D 5.B 6.D 7.B 8.B 9.C 10.C 11.C 12.B 13.D 14.A 15.D(二)16.±；17.(-，-)；18.2k2k+或2k+2k+(k Z)；19. +=1(三)20.解

10、两圆方程化为：c1：(x+2)+(y-2)=13 C2(x-4)+(y+2)=13 ，C1、c圆心分别为(-2，2)、(4，-2)，半径都是，圆心距d=2，即圆心距等于两圆半径之和，故两 圆外切，因连心线斜率为k1=-，解方 程组 xy+4x-4y-5=0 xy-8x+4y+7=0得切点坐标为(1 ，0)，公切线方程为y=(x-1),即3x-2y-3=0,(两圆相外切时，两圆方程相 减得根轴方程，即过切的公切线方程).(2)与两圆相切于点(1，0)的圆圆心必在直线y=-(x-1)上，且(x-1)+y=(x-2)+(y-3)，解上面两方程组成的方程组得圆心坐标为(-4，)，r=,所求圆方程为(x

11、-4)+(y-)= ,即3x+3y+24x-20y-2 7=0.21.(1)(2c)=|PF1|+|PF2|-2|PF1|PF2|cosa=(|PF1|+|PF2|)-2|PF1|PF2|(1+cosa) |PF1|·|PF2|=,S=|PF1|PF2|sina=btg,(2)(2c)=(|PF1|-|PF2|)+2|PF1|PF2|(1-cos)，|P F1|·|PF2|=,S=bctg.22.双曲线焦距是2设抛物线方程为y=4;(1.5,)在其上，=1故抛物线方程为y=4x,又-=1,a+b=1,双曲线方程是4x-=1;23.a=5,b=,c=2,e=,设若有点P，使|PF1|=d·|PF2|， 即= |PF1|+|PF2|=10，|PF1|+|PF2|=10；|PF2|= ；|PF1|= |PF2|= ;|PF1|-|PF2|=2c，P不存在；24.k-1或k4实轴在y轴上的双曲线；-1k2，实轴在