导数含参数取值范围分类讨论题型总结与方法归纳

1、共享知识分享快乐导数习题题型十七： 含参数导数问题的 分类讨论问题含参数导数问题的分类讨论问题1求导后，导函数的解析式含有参数，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式） , 导函数为零的实根中有参数也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。 已知函数 f (x)1x31(a2)x22ax （a0） , 求函数的单调区间32f (x)x(a2) x2a( xa)( x2) 例 1 已知函数f ( x)x2a(a2)ln x （ a0）求函数的单调区间xf (x)x2(a2)x2a( x2)( x a)x2x2 例 3 已知函数2axa21，其中 a R 。f x1x Rx2（）

2、当 a1时，求曲线 yfx 在点 2, f 2处的切线方程；（）当 a0 时，求函数fx 的单调区间与极值。解：（）当 a1 时，曲线 yfx在点 2, f2处的切线方程为6x25 y 32 0。（）由于 a0 ，所以 fx2a(x 21)2, 由 f x0 ，得 x11 , x2 a 。这两个实根都在定x 21a2a x212x2axa212axax1f ax义域 R 内，但不知它们之间x22x2121的大小。因此，需对参数a 的取值分 a0 和 a0 两种情况进行讨论。(1)当 a0 时，则 x1x2 。易得 fx在区间,1， a,内为减函数，a在区间1,a为增函数。故函数fx 在 x11

3、处取得极小值f1a2 ；aaa函数 fx 在 x2a 处取得极大值fa1 。（ 1）当 a0 时，则 x1x2 。易得 fx 在区间 (, a) ， (1 ,) 内为增函数，在区间a( a, 1) 为减函数。故函数fx 在 x11处取得极小值f1a2 ；函数f x 在aaax2 a 处取得极大值fa1。以上三点即为含参数导数问题的三个基本讨论点，在求解有关含参数的导数问题时，可按上述三点卑微如蝼蚁、坚强似大象共享知识分享快乐的顺序对参数进行讨论。因此，对含参数的导数问题的讨论，还是有一定的规律可循的。当然，在具体解题中，可能要讨论其中的两点或三点，这时的讨论就更复杂一些了，需要灵活把握。 (

4、区间确定零点不确定的典例)例 4某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3 元，并且每件产品需向总公司交a 元（ 3 a 5）的管理费，预计当每件产品的售价为x 元（ 9x 11）时，一年的销售量为（ 12- x）2 万件 .（ 1）求分公司一年的利润L（万元）与每件产品的售价x 的函数关系式；（ 2）当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L 最大，并求出L 的最大值 Q（ a） .解（ 1）分公司一年的利润L（万元）与售价 x 的函数关系式为： L=(x-3-a)(12-x)2 9,11 .,x(2)L (x)=(12-x)2-2(x-3-a)(12-x)=(12-x)(18+2a-

5、3x).L (x)令 L=0 得 x=6+ 2 a 或 x=12（不合题意，舍去）x 182a.33X=12 3 a 5, 86+2a28.yL (x)3 3在 x=6+ 2 a 两侧 L的值由正变负 .3912x8 6+ 2 a 9 即 3 a 90所以当时，32L max=L(9)=(9-3-a)(12-9)2=9(6-a).当 9 6+ 2 a 28 即 9 a 5 时，3329(6a),3a92221,L=L(6+a)=(6+a-3-a) 12-(6+232a) =4(3-a) . 所以 Q(a)=max33331 a)3 ,94(3a5.32答若 3 a 9 ，则当每件售价为9 元时

6、，分公司一年的利润L 最大，最大值Q（ a） =9(6-a) （万元）；2若 9 a 5，则当每件售价为(6+2 a) 元时，分公司一年的利润L 最大，最大值 Q(a)=4（ 3- 1 a）3( 万元 ).233（导函数零点确定，但区间端点不确定引起讨论的典例）例 2、已知 f xx ln x, g xx 3ax 2x2( ). 求函数 fx的单调区间 ;( ). 求函数 fx在 t ,t2t0上的最小值 ;( ) 对一切的 x0, 2fxg x2恒成立 , 求实数 a 的取值范围 .解： ( ) f ( x)ln x1, 令 f x0,解得 0x1 ,f x 的单调递减区间是0, 1;ee令

7、 f x0, 解得 x1, f ( x)的单调递增是（e，），e( )( )0tt+21 ，t 无解； ( )0t 1t+2 ，即 0t0） , 求函数的单调区间2f (x)ax2x(1a)( x1)(ax1 a)xx 例 3已知 a 是实数，函数fxx xa（）求函数fx 的单调区间；（）设 g a 为 fx 在区间0,2 上的最小值。（ i ）写出 g a 的表达式；（ ii ）求 a 的取值范围，使得6g a2 。3axa3xx解：（）函数的定义域为 0,， fxa30(x) 0xx2xx，由 f22 x卑微如蝼蚁、坚强似大象共享知识分享快乐得 xa 。考虑a 是否落在导函数f (x)

8、的定义域0,内，需对参数 a 的取值分 a0及 a0 两33种情况进行讨论。（ 1）当 a0时，则 f ( x)0在 0,上恒成立，所以f x的单调递增区间为0,。（ 2）当 a0时，由 f ( x)0，得 xa ；由 f ( x)0，得 0xa 。33因此，当 a 0 时， fx的单调递减区间为0, a， fx 的单调递增区间为a ,。33（）（ i ）由第（）问的结论可知：（ 1）当a0时， fx在 0,上单调递增，从而 fx 在0,2上单调递增，所以gaf 00 。（ 2）当 a0时， fx在 0, a上单调递减，在a ,上单调递增，所以：33 当 a0, 2，即 0a6 时， fx 在

9、 0, a上单调递减，在a ,2上单调递增，333所以 g aa2aa2a3af33。39 当 a2,，即 a6 时， fx 在0,2 上单调递减，所以gaf 22 2 a 。30,a0ga2aa ,0a6综上所述，332 2a , a 6（ ii ）令6 g a2 。若 a0 ，无解；若 0 a 6 ，由2aa6 ；62 解得 3 a33 若 a6，由 62 2a2 解得 6 a 2 3 2 。综上所述， a 的取值范围为 3a23 2 。三 . 求导后，因导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式）不确定，而引起的讨论。卑微如蝼蚁、坚强似大象共享知识分享快乐 例 1 已知函数 f (

10、x)1 ax2x 求函数的单调区间2f ( x) ax 1 例 2 已知函数 f ( x)ln xax 求函数的单调区间1af (x)ax1f ( x)xx设 k1, x 1例3R ，函数 f (x) 1 x, F ( x) f ( x) kx, x R ，x1, x 1试讨论函数F ( x) 的单调性。1解： f (x)1, x 1, F (x)f ( x)kx, xRxx1, x11k 121x, x1kx, x 1,1x2F (x)f ( x) kx1 x, F ( x)。x1kx, x 112kx112x1, x考虑导函数 F ( x)0 是否有实根，从而需要对参数k 的取值进行讨论。

11、1k 1x2。由于当 k00 无实根，而当 k0 时，F ( x) 0（一）若 x 1，则 F (x)1x2时，F ( x)有实根，因此，对参数 k 分 k0 和 k0 两种情况讨论。（ 1）当 k0时， F (x)0在 (,1) 上恒成立，所以函数F ( x) 在 (,1) 上为增函数；2kx11x111k 1kk（ 2）当 k0时， F (x)x。1x21x2由 F ( x)0 ，得 x111, x211，因为 k0，所以 x11x2 。kk由 F ( x)0，得 11x1 ；由 F ( x)0 ，得 x11k。k因此，当 k0 时，函数 F ( x) 在 (,11) 上为减函数，在(11

12、,1) 上为增函数。kk（二）若 x1，则 F (x)12kx 1 。由于当 k 0 时， F ( x) 0无实根，而当 k 0 时，2x1卑微如蝼蚁、坚强似大象共享知识分享快乐F ( x)0 有实根，因此，对参数k 分 k0 和 k0 两种情况讨论。（ 1） 当 k0 时， F (x)0在 1,上恒成立，所以函数 F (x) 在 1,上为减函数；kx1112kx12k（ 2） 当 k0 时， F ( x)。2x1x1由 F ( x)0 ，得 x112 ；由 F ( x)0，得 1x112 。4k4k因此，当 k0 时，函数 F (x) 在 1,112上为减函数，在112 ,上为增函数。4k4

13、k综上所述：（ 1）当 k0时，函数 F ( x) 在 (,11) 上为减函数，在 (11,1) 上为增函数，在1,上kk为减函数。（ 2）当 k0时，函数 F ( x) 在 (,1) 上为增函数，在1,上为减函数。（ 3）当 k0时，函数 F (x) 在 (,1) 上为增函数，在1,11上为减函数，在11,4k24k2上为增函数。19设 a 0, 讨论函数 f （ x） =lnx+a （ 1-a ） x2-2 （ 1-a ）x 的单调性。解：函数f ( x) 的定义域为 (0,). f(x)2a(1a) x22(1a) x1,x当 a1时 , 方程 2a(1-a)x22(1a) x10 的判

14、别式12(a1)a1 .3当 0a10, f(x) 有两个零点，时 ,3x11(a1)(3a 1)0, x21(a1)(3a1)2a2a(1a)2a2a(1a)（ 1）且当 0xx1或 xx2时, f ( x)0,f ( x)在 (0, x1 )与(x2 ,) 内为增函数；当 x1 x x2时, f (x) 0, f ( x)在 (x1, x2 ) 内为减函数；当 1a 1时 ,0, f ( x)0, 所以 f ( x)在 (0,) 内为增函数；3当 a1时 , f ( x)10), f (x)在 (0,) 内为增函数；0( xx卑微如蝼蚁、坚强似大象共享知识分享快乐当a1时0 ，x11(3a

15、1)(a1)1(3a1)( a1)2a2a(1a)x12a2a(1 a)2213a11a 3a 12a(a1)(3a1)1(3a 1)( a1)由12a2a(1a)4a24a 2 (1a)24a24a 2 (1a)4a2 (1 a)4a20(1 a)x11(3a1)( a1)0x11(3a1)( a1)2a2a(1 a)2a2a(10 f x 是增函数， 在 a,3a 上 fx 0 f x 是增函数。所以函数在x=a 时， f x 极大f a ，所以函数在x=a 时， fx 极小 f 3a因对x0,3 有 f ( x)4 恒成立，求实数 a 的取值范围 . 极值点指定区间端点位置关系不确定引起

16、讨论。讨论如下： a0当两个极值点都在指定区间0,3 内时。即 03a3，也就是 0a0 时为什么分为 0a0 fx 是增函数，在a,3a 上 fx 0 f x 是增函数。所以函数在 x=a 时， fx 极大f a ，所以函数在x=a 时， f x 极小 f 3af x maxmaxfa , f3fx minminf0 , f 3ax 0,3 有 f (x)4恒成立，0a10a 1等价于a 36a39a 340fa402754a27a240f3400a1解得 a1即 0a 1123a12399当两个极值点有一个在指定区间0,3内时。即 03 时，也就是 10 时为什么分为 0a0 fx 是增函

17、数， 在 a,3 上 fx 3 时， （当 a0 时为什么分为0a0 fx 是增函数，fx maxf 3 4a3410840与 f x40矛盾。综上：对x0,3 有 f ( x)4 恒成立时，实数a 的取值范围是 0a123 .9例 4 设函数 fxx2b lnx 1 ，其中 b0 ，求函数 fx 的极值点。解：由题意可得fx 的定义域为1,， f x2xxb2x22xb ， f x的分母 x1在1x1定义域1,上恒为正，方程 2x22xb0 是否有实根，需要对参数b 的取值进行讨论。（ 1）当48b0，即 b1时，方程 2x22xb0 无实根或只有唯一根x1，所以22gx2x22xb0 ,

18、在1,上恒成立，则 f x0 在1,上恒成立，所以函数fx 在1,上单调递增，从而函数fx在1,上无极值点。（ 2）当48b0，即 b1时，方程 2x22xb0 ，即 f x0 有两个不相等的实根：2x111 2b , x21 1 2b 。22这两个根是否都在定义域1,内呢？又需要对参数b 的取值分情况作如下讨论：（）当 b0 时， x1112b1, x2112b1，所以 x11, x21,。22此时， f x与 fx 随 x 的变化情况如下表：x1, x2x2x2 ,f x0fx递减极小值递增卑微如蝼蚁、坚强似大象共享知识分享快乐由此表可知：当b0 时， f x有唯一极小值点 x2112b2

19、。（）当 0b1时， x1112b1, x2112b2221 ，所以x1, x21,。此时， f x 与 fx 随 x 的变化情况如下表：1x1,x1x1x1 , x2x2x2 ,f x00fx递增极大值递减极小值递增由此表可知：当 0b1 时， fx有一个极大值点x111 2b 和一个极小值点22x2112b。2综上所述：（ 1）当 b0 时， fx有唯一极小值点112bx2；（ 2）当 0b1x 有一个极大值点 x112bx112b时， f2和一个极小值点2；2（ 3）当 b1时， fx无极值点。2从以上诸例不难看出，在对含参数的导数问题的讨论时，只要把握以上三个基本讨论点，那么讨论就有了

20、方向和切入点，即使问题较为复杂，讨论起来也会得心应手、层次分明，从而使问题迎刃而解。(19)() 小问 5 分， ( ) 小问 7 分.)已知函数f ( x)ax3x2bx ( 其中常数 a,b R), g(x)f (x)f ( x) 是奇函数 .( ) 求 f (x) 的表达式 ;( ) 讨论 g( x) 的单调性，并求g( x) 在区间 1,2 上的最大值和最小值.卑微如蝼蚁、坚强似大象共享知识分享快乐（ 21）已知函数f ( x)1aR)ln x ax1(ax1（ I ）当 a1时，求曲线 yf (x) 在点 (2, f (2) 处的切线方程；（ II）当 a时，讨论 f ( x) 的单