希望杯全国联赛试卷

1、第十六届“希望杯”全国数学邀请赛初二第 2 试2005年4月17日上午 8 30 至 1030一、选择题 （每小题5 分，共 50 分）以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案 得分的英文字母填在每题后面的圆括号内.1、若，均为正整数，( )，则（）a bm=ababA m一定是奇数B m一定是偶数C只有当a，b均为偶数时，是偶数D 只有当，一个为偶数，另一个为奇数mab时， m是偶数2、设 ba0 ， a 2b25 ab ，则 ab 等于（）2abA 1B 1C 3D 3333c2005 ，3、Given a，b，c arepositiveintegers，anda，b ar

2、e prime numbers ，baabc isathen the value of（）A 14B 13C 12D 11( 英汉词典 positive integers：正整数 . prime numbers：质数 )_4、购买铅笔7 支，作业本3 个，圆珠笔 1 支共需3 元；购买铅笔10 支，作业本4 个，圆珠笔 1 支共需4 元，则购买铅笔11 支，作业本 5 个，圆珠笔2 支共需（）A 4.5 元B 5 元C 6 元D6.5 元5、计算机将信息转换成二进制数来处理. 二进制是“逢二进一” ，如二进制数(1101)2 转换3210111) 2 转换成十进制成十进制数是1× 2

3、 1× 2 0×2 1× 2 =13，那么二进制数 (1112005 个1数是（）A 22004 1B 22005C220051D22005 16、已知 ABC的三个内角的比是m ( m 1) ( m 2) ，其中是 m大于 1的正整数，那么 ABC是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D等腰三角形7、已知的三条高的比是3 4 5，且三条边的长均为整数，则的边长可能是ABCABC（）A 10B 12C 14D 168、已知两位数 ab 能被 3 整除，它的十位数字与个位数字的乘积等于它的个位数字，且它的任意次幂的个位数字等于它的个位数字。这样的两位数共有（）A

4、1个B 3 个C 4 个D 5 个9、放成一排的2005 个盒子中共有4010 个小球，其中最左端的盒子中放了a 个小球，最右端的盒子中放了b 个小球，如果任何相邻的12 个盒子中的小球共有24 个，则（）A a=b=2B a=b=1C a=1， b=2D a=2， b=1xyyzzx4,那么 x2 y210、已知整数 x ， y ， z 满足 x y z ，且yyzzx2.xz2 的值等于（）A 2B 14C2或 14D14 或 17二、填空题 （ 每小题 5 分，共 50 分 . 含两个空的小题，前空 3 分，后空 2 分 . ）11、如果 |a|= 3， |b|= 5，那么 | a b|

5、 | a b| 的绝对值等于.12、已知115 ，则 2x5xy2 y =.xyx2xyy13、某汽车从A 地驶向 B 地，若每分钟行驶a 千米，则11 点到达，若每分钟行驶2 a 千3米，则 11 20 时距离 B 地还有 10 千米；如果改变出发时间，若每分钟行驶3 a 千米，则411 点到达，若每分钟行驶a 千米，则1120 时已经超过 B地 30 千米。 A、 B两地的路程是千米。14、若 Mabc321是一个六位数，其中 a， b， c 是三个互异的数字，且都不等于0， 1，2， 3，又 M是 7 的倍数，那么M的最小值是.15、分解因式： ( x 1)( x2)( x 3)( x

6、6) x2.16、若在凸 n( n 为大于 3的自然数 ) 边形的内角中，最多有M个锐角，最少有m个锐角，则 M=；m=.17、如图1，等腰Rt的直角边长为 32，从直角顶点A作斜边的垂线交于1，ABCBCBCD再从 D1 作 D1D2 AC交 AC于 D2，再从 D2 作 D2D3 BC交 BC于 D3， ，则 AD1 D2D3 D4D5 D6D7 D8D9=DD DD DD DD DD=.；12345678910BFBD1EGCED3DD 5AFCABAD2 D4C图 2图 318、如图 2，将三角形纸片ABC沿 EF折叠可得图 3( 其中 EFBC) ，已知图 3 的面积与原三 图 4图

7、 1角形的面积之比为3 4 ，且阴影部分的面积为8 平方厘米，则原三角形面积为平方厘米。19、如图4， ABC中， BC AC=3 5，四边形 BDEC和 ACFG均为正方形，已知ABC与正方形的面积比是 3 5，那么与整个图形的面积比等于.BDECCEF20、如果正整数 n 有以下性质： n 的八分之一是平方数， n 的九分之一是立方数，它的二十 五 分 之 一 是 五 次 方 数 ， 那 么 n 就 称 为 “ 希 望 数 ”， 则 最 小 的 希 望 数是.三、解答题 （每题10 分，共 30 分） 要求：写出推算过程.21、图 5 是一个长为 400 米的环形跑道，其中A、 B为跑道对

8、称轴上的两点，甲 A 乙乙B甲且 A、 B 之间有一条50 米的直线通道。甲、乙两人同时从A点出发，甲按逆时针方向以速度v1 沿跑道跑步，当跑到B 点处时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度v2 沿跑道跑步，当跑到B 点处时沿直线通道跑回A 点处。假设两人跑步时间足够长。求：如果 v1 v2=3 2，那么甲跑了多少路程后，两人首次在A 点处相遇？如果 v1 v2=5 6，那么乙跑了多少路程后，两人首次在B 点处相遇？22、如果a 是小于 20 的质数，且1 可化为一个循环小数，那么 a 的取值有哪几个？a如果 a 是小于 20 的合数，且1 可化为一个循环小数，那么a 的取值有哪几个？a23、

9、如图 6，正三角形ABC的边长为 a， D是 BC的中点， P是 AC边上的点，连结PB和 PD得到 PBD。求：当点 P 运动到 AC的中点时， PBD的周长； PBD的周长的最小值。APBDC图 6第十六届“希望杯”全国数学邀请赛参考答案及评分标准初中二年级第 2 试一、选择题（每小题5分）题号12345678910答案BCDBCABCA A二、填空题（每小题5分，含两个空的小题，前空3 分，后空2 分）题 1号1213141516171819201答554 468321 ( x26x 6)231 2； 1627215· 320· 5126 73；0案31224三、解答

10、题21、设甲跑了n 圈后，两人首次在A 点处相遇，再设甲、乙两人的速度分别为v1=3m，v2 =2m，由题意可得在A 处相遇时，他们跑步的时间是400n（2 分）3m是 400n800 nm（ 3分）233m因为乙跑回到A 点处，所以 800 n 应是 250 的整数倍，从而知n 的最小值是 15，（ 4 分）3所以甲跑了15 圈后，两人首次在 A点处相遇（5 分）设乙跑了250 p 200 米，甲跑了 400q200 米时，两人首次在B点处相遇，设甲、乙两 人 的 速 度 分 别 为v1=5m， v2=6m， 由 题 意 可 得8q45 p4，（ 7 分）400q 200250 p 200

11、， 即5m6m56所以48q24 25 p20，即48q4 25 p(，q均为正整数 ) 。p所以 p， q 的最小值为q=2，p=4，（8分）此时，乙跑过的路程为250×4 200=1200（米）。（9 分）所以乙跑了1200 米后，两人首次在B点处相遇。（10 分）22、小于20 的质数有2，3， 5， 7，11， 13，17， 19（2 分）除了 2 和 5 以外，其余各数的倒数均可化为循环小数，（4 分）所以 a 可以取： 3， 5， 7， 11， 13， 17， 19。（5 分）由可知，只要合数 a 的因数中含有 2 或 5 以外的质数，那么该数的倒数均可化为循环小数，（ 8 分）所以 a 可以取： 6， 9， 12， 14，15， 18。（10 分）23、如图 1，当点 P 运动到 AC的中点时， BP AC， DPAB，（2 分）所以 BP3 a ， DP1 a ， BD1 a ，（4 分）222即 ABC的周长为 BP DP BD=31 a 。（5 分）2AAEPPFGBDCBDC图 1图 2如图 2，作点 B关于 AC的对称点 E，连结 EP、EB、ED、EC，则 PB PD=PE PD，因此 ED的长就是 PB PD的最小值，即当点P 运动到 ED与 AC的交点 G时