双重数列通项公式的求法

1、双重数列/-1pn44=Aan Bbn C=Dan Ebn F通项公式的一般求法1湖南 邵阳 绥宁二中 林安书 邮编422606递归数列问题是高中数学竞赛的热点问题之一，也是高考重点考查的内容之一。一般的，我们对 一元递归数列问题探讨得比较多，它的题型、它的解法，相对来说我们要熟悉一些，而对于双重数 列问题的解法则研究的并不多。 事实上，双重递归数列问题也是考查学生逻辑思维能力与创造性思 维能力的较好的素材，因此在各类竞赛中频频出现，现在也逐渐被高考命题专家所青睐，07年高考 辽宁省文科在这里出了大题，相信在今后的高考中一定还会出现。 本文所介绍的双重递归数列是其 它双重或多重递推数列的基础.

2、。现在介绍它的一般的、基本的、具有普遍性的一个解法，仅当抛砖 引玉。双重数列丿an =Aan +Bbn +Cg+ = Da+Eb+F的通项公式的求法，一般来说有两种思路：其一是消元法即用代入法消去an和an 1或消去bn和b，变为一元线性递推数列来处理。其二 是对这两个式子进 行比如加减法、配凑法、累加法、复数法等 处理，其目的是构造一个新的数列使之成为一个等比或等 差数列，这种情况技巧性很强，学生不易掌握。本文用待定糸数法来求其通项。其方法是：设ani+xbn * z = y ( an +xbn z)+t ,其中x、y、z、t都是待定常数，我们将已知条件中的am和bni代入所设的式子，比较糸

3、数就可以求出x、y、z或t ,那么原式就可以转化为一个新的等比或等差数列。现举例说明。例1、已知数列 an和bn满足a1 =1 ， b1=1 ， J*十39n，求an和bn ；Jbn 卅=4an解法1 ：代入消元法解法anHf = 一3an 一 bn (1)Jbn 卅=4an +bn，由式中的bn=- an -1 -3 an代入 得:#an 2 +2 an 1 + an =0，式的特征方程是：x2 2x 0，其方程的根是X1 =X2 = T，故(3)式的通项公式可设为：an = G(T)n，c?n(-1)n ，当n=1时，a1 =- C1 -C2 =1，当n=2时，a2=G+2c2，而由条件不

4、难求得a2=-4 ，也即 c1 +2c2 =-4，从而求得 c1 =2 ， c2=-3 ，故所求得的通项公式 an=2(-1)n -3n(-1)n ，此时不难求得通项公式 bn= ( 6n-7) (-1)n.解法2:待定糸数法 设an 1 +xbn =y (an +xbn)，将an 1 =-3an- bn和bn =4an + bn代入所设的式子，得：-3an-bn+x (4an + bn)=y (an+xbn),4 x _ 3 = yi即(4x - 3)an+( x-1)bn = y (a“+xbn)，比较糸数令：丿，解得 x=、y=-1 ,x _ 1 = xy21 11113 an+_bn十

5、二-(an+- bn),可知数列厲+是首项为 印+-0=1 + - X1二一，公比为-12 2222 2的等比数列， an +丄 bn=3 (-1)2 , an =- ( -1)n J- 1 bn，将它代入 bn - =4an + bn 得：2 2 2 2bn1+bn=6(1)2在式两边同乘以(-1)n1得：(一1广1 bn1- (-1广bn=6，可知数列(-1广5是首项为-1，公差是 6 的等差数列，(-1)nbn= -1+(n-1)6=6n-7 , bn=( 6n-7) (-1)n,从而得到an=(3n-2) (-1)心,故所求的通项公式为：an=(3n-2)(-1)n，bn=( 6n-7

6、) (-1)n。31an =；an +；bn +1例2、已知数列 an和 bn满足a1 =2 ， b1 =1 ，( n N ),求an和I 13bn 1anbn 144bn ；3 1an+ =-a-bn +1(1)解法1:，将式和式分别相加和相减得:13bn 1anbn 1(2)L 44an 1 +bn 1 = an + bn+2(3)1an 1- bn 1=(an- bn)2由知数列 an + bn是首项为a1 + b1 =3，公差为2的等差数列 an + bn =3+(n-1)2=2n+1 ;由(4)知数列 an- bn是首项为a1 - b1 =1，公比为-的等比数列， an-bn = (

7、-)n_1 ;2 2不难解得 an = (1)n+ n+丄,bn =- (-)n + n+丄。2 2 2 2、3113解法 2:设an1 +xbn1y(an+xbnz)+t ,将 an - =an+bn+1 和bn1= an+bn +1 代入4 4443 x1 3x所设的式子，得 (+)an+( + )bn+x+z+1=y an+xy bn+yz+t ,比较糸数令：4 44 4乜x+ = y44V 3x彳一 +=xy441 +x +z = yz +tix = 1,解得*y =1t = 2x = -11t =-21 z，将 x=1、y=1、t=2 和 x=-1、y=- 、t=-分2 2别代入所设

8、的式子得:an 1 bn an - bn 2 an 1 - bn 1 = 2 (an - bn )，以下解法与解法1相同。例3、已知数列 an和bn满足a1 =2 , b1 =1, *:3an：3阳 7 ，求 an 和 bn ；an 1 bn 1 =8(an bn) 7an 1 _ bn 1 二 2(an - 0 ) 7bn 1 - 3an 5bn解法1:将丿an5an 3bn 7两个等式相加、相减分别得:bn 1 =3an 5bn由 an 1 +bn 1 =8(an +bn)+7 变为 an 1 + bn 1+ 1=8(an + bn+1),易知数列 an +bn+1是首项为 4、公比为8的

9、一个等比数列，求得an + bn+1=4 8心，即an+bn=4 8nJ-1由 an1-bn1=2(an-bn)+7 变为 an 1 - bn 1 +7=2 (an-bn+7 ),易知数列 an - bn +7是首项为a1 - b1 +7=8、公比为 2 的等比数列，故求得 an- bn+7=8 2n_l ，即卩 an - bn =8 2n-7由式和式不难求得：an=2 8n4+4 2n-4 , bn=2 8n-4 2n+3。解法 2:设 an 1 + x bn 1 Z = y ( an + x bn z)+t，将 an 1 =5an +3bn +7 和 bn 1 =3an+5bn 代入 所设

10、的式子得：5an+3bn+7+x (3 an +5bn)+z=y (an+xbn z)+t ,即卩:5 3x 二 y(5+3x) an +( 3+5x)bn +7+z= y (an+xbn+z)+t,比较糸数令：3 + 5x = xy ,.7 + z = yz +1=1 = -1-解得：y=8或y = 2，从而所设的式子变为：戶计+g=8(an +bn)+7，t=7-7zt=7-z卫时g =2(an bn) + 7以下解法与解法1相同。说明：上面例2和例3的解法1看起来要比解法2简单一些，其关键是这两个题中的数据很巧 合，显然例1用简单的加减法进行处理是行不通的，因此例2、例3的解法1不具有普

11、遍性的，下面的例4用简单的加减法或代入消元法处理是比较困难的，而解法2是解这种题型的具有普遍性的一个通法。例4、已知数列 an和bn满足a1 =1 , d =0 ,丿办屮73n恥“3 ，求玄“和bn；pnl =8an +7bn -4解：设 an 1+xbn 1 z = y( a.+xg，z)+t，将 a. 1=7an+6bn - 3 和 bn 1 =8 an+7bn-4 代入所设的式子得：7an +6bn-3+x (8 an+7bn -4)+z=y (an +xbn z)+t，即：an+Jbn 舟=(7+4()(anI爲f-an1-亍bn1 W-4(an-3bn)-(3 2、3)2，即变为:b

12、n) _ (3 2、- 3)231厂an+bn* ; = (7+4时3)(an 22|.31a* 1bn 1(7 - 43)(anL 22.-3b 1) ybn_2) 亠-丄)2 2不难求得：anan2 bnAA_=(74- 3)2 2丄二丄(7 -牛.3)n2 2nJ从而得到：an = 1 (7 43)2 (7-4.3)心丨42,bn = (7 4 3)2 (7-4.3)6例5、已知数列 an和 bn满足a1 =1 , d =taan 1 二 an cos - bn sinbn十an Sin。cos。，设。为为已知头bn COS7 8x 二 y(7+8x) an +( 6+7x) bn -3

13、- 4x+z= y (an +xbn +z)+t，比较糸数令： 6 + 7x = xy, 3 4x + z= yz + t3x =x =-22解得：y=7+4+g或y = 7 _ 4后，将t = -3-23-(6+4V3)zt = 3 + 23 +(6 +4j)zx =x = 22丿 y =7 +4J3或y =7 -4巧代入所设的式子得：t = -2后-(6 +4a/3)zt = _3 + 2V- + (_6+4U-)z6#数，求an和bn ；#解：设a1+xbn + =y (an+xbn)，将 a1 = ancos(- bnsin 0 和 b =ansin(+bncosB 代入所设的式子得： an cos 0- bnS in 0+x (a.s in 0+bnCOS0=y( an+xbn)，即：,、 人cos 日 +xsi n 日=y(cos0+xsin 0an+( xcos 0- sin 0bn = y (an +xbn),比较糸数令：,求得 x=?,xcosT sin 日=xyy=cos 0+?sin 0 ,其中？是虚数单位。将x=? , y=cos 0+?sin 0代入所设的式子得：an1+?bn1=( cos0+?sin 0)( an +?bn)，易知数列 an +?bn是首项为