高中数学 圆锥曲线题型总结

1、1直线和圆锥曲线常考题型运用的知识： 1、中点坐标公式：1212,y 22x x y y x +=，其中, x y 是点1122(, (, A x y B x y ，的中点坐标。2、弦长公式：若点1122(, (, A x y B x y ，在直线(0 y kx b k =+上，则1122y kx b y kx b =+=+，这是同点纵横坐标变换，是两大坐标变换技巧之一， AB = = 或者AB = = 3、两条直线111222:, :l y k x b l y k x b =+=+垂直：则121k k =-两条直线垂直，则直线所在的向量120v v =4、韦达定理：若一元二次方程20(0 a

2、x bx c a +=有两个不同的根12, x x ，则1212, b cx x x x a a+=-=。常见的一些题型：题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系例题1、已知直线:1l y kx =+与椭圆22:14x y C m+=始终有交点，求m 的取值范围 解：根据直线:1l y kx =+的方程可知，直线恒过定点（0，1），椭圆22:14x y C m += 过动点04m （且，如果直线:1l y kx =+和椭圆22:14x y C m+= 14m ，且，即14m m 且。规律提示：通过直线的代数形式，可以看出直线的特点： :101l y kx =+过定点（，） :(1 1l y

3、 k x =+-过定点（，0） :2(1 1l y k x -=+-过定点（，2） 题型二：弦的垂直平分线问题例题2、过点T(-1,0作直线l 与曲线N ：2y x =交于A 、B 两点，在x 轴上是否存在一点E(0x ,0 ，使得ABE 是等边三角形，若存在，求出0x ；若不存在，请说明理由。解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于0。2设直线:(1 l y k x =+，0k ，11(, A x y ，22(, B x y 。由2(1 y k x y x =+=消y 整理，得2222(21 0k x k x k +-+= 由直线和抛物线交于两点，得2242(21 4410k k k =-=-

4、+>即2104k << 由韦达定理，得：212221, k x x k -+=-121x x =。 则线段AB 的中点为22211(, 22k k k-。 线段的垂直平分线方程为：221112( 22k y x k k k -=-令y=0,得021122x k =-，则211(,0 22E k - ABE 为正三角形，211(,0 22E k -到直线AB 的距离d 。 AB = = 2d k= = 解得13k=±满足式 此时053x =。 题型三：动弦过定点的问题例题3、已知椭圆C ：22221(0 x y a b a b +=>> x 轴上的顶点分别

5、为A 1(-2,0,A2(2,0。（I ）求椭圆的方程；3（II ）若直线:(2 l xt t =>与x 轴交于点T, 点P 为直线l 上异于点T 的任一点，直线PA 1,PA 2分别与椭圆交于M 、N 点，试问直线MN是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解：（I ）由已知椭圆C 的离心率c e a =，2a =, 则得1c b =。 从而椭圆的方程为2214x y += （II ）设11(, M x y ，22(, N x y ，直线1A M 的斜率为1k , 则直线1A M 的方程为1(2 y k x =+，由122(244y k x x y =+=消y 整理得222121(14 1

6、61640k x k x k +-= 12x - 和是方程的两个根， 21121164214k x k -=+ 则211212814k x k -=+，1121414k y k =+，即点M 的坐标为2112211284(, 1414k k k k -+，同理，设直线A 2N 的斜率为k 2，则得点N 的坐标为2222222824(, 1414k k k k -+ 12(2, (2 p p y k t y k t =+=-12122k k k k t-=-+，直线MN 的方程为：121121y y y y x x x x -=-， 令y=0，得211212x y x y x y y -=-，将

7、点M 、N 的坐标代入，化简后得：4xt=又2t> ，402t<< 椭圆的焦点为 4t = t = 故当3t=时，MN 过椭圆的焦点。 4题型四：过已知曲线上定点的弦的问题例题4、已知点A 、B 、C 是椭圆E ：22221x y a b+= (0 a b >>上的三点，其中点 A 是椭圆的右顶点，直线BC 过椭圆的中心O ，且0AC BC =，2BC AC = ，如图。(I求点C 的坐标及椭圆E 的方程；(II若椭圆E 上存在两点P 、Q ，使得直线PC 与直线QC 关于直线x=PQ 的斜率。 解：(I 2BC AC = ，且BC 过椭圆的中心OOC AC=0A

8、C BC =2ACO = 又点C 的坐标为。 A 是椭圆的右顶点， a =222112x y b+= 将点 C 代入方程，得24b =，椭圆E 的方程为221124x y += (II 直线PC 与直线QC 关于直线x=设直线PC 的斜率为k ，则直线QC 的斜率为k -，从而直线PC 的方程为： (y k x =，即 y kx k =-，5 由22 3120y kx k x y =+-+-=消y ，整理得： 222(13 (1 91830k x k x k k +-+- =x = 22918313P k k x k -=+ 即2P x =同理可得： 2Q x = P Q P Q y y kx

9、 k kx k -=-+ ( P Q k x x +- 22P Q x x -= 13P Q PQ P Qy y k x x -=- 则直线PQ 的斜率为定值13。 题型五：共线向量问题例题5、设过点D(0,3的直线交曲线M ：22194x y +=于P 、Q 两点，且DP DQ l =uuu r uuu r , 求实数l 的取值范围。解：设P(x1,y 1,Q(x2,y 2,Q DP DQ l =uuu r uuu r(x1,y 1-3=l (x2,y 2-3 即12123(3 x x y y l l ì=ïïíï=+-ïï

10、;î 方法一：方程组消元法又Q P 、Q 是椭圆29x +24y =1上的点22222222194( (33 194x y x y l l l ìïï+=ïïïíï+-ï+=ïïïî6消去x 2，可得222222(33 14y y l l l l +-=-即y 2=1356l l- 又Q 2£y 2£2，2£1356l l-£2 解之得：155 则实数l 的取值范围是1,55。 方法二：判别式法、韦达定理法、配凑法

11、设直线PQ 的方程为：3, 0y kx k =+，由2234936y kx x y =+=消y 整理后，得 22(49 54450k x kx +=P 、Q 是曲线M 上的两点22(54 445(49 k k =-+2144800k -即295k 由韦达定理得：1212225445, 4949k x x x x k k +=-=+212121221( 2x x x x x x x x +=+222254(1 45(49 k k +=+即22223694415(1 99k k k +=+ 由得211095k <，代入，整理得 236915(1 5<+，解之得155<< 当

12、直线PQ 的斜率不存在，即0x=时，易知5=或15=。 总之实数l 的取值范围是1,55。7题型六：面积问题例题6、已知椭圆C ：12222=+b y a x （a b 0）的离心率为, 3短轴一个端点到右焦点的距离为。（）求椭圆C 的方程；（）设直线l 与椭圆C 交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为2，求AOB 面积的最大值。 解：（）设椭圆的半焦距为c ，依题意c a a =1b =，所求椭圆方程为2213x y +=。（）设11( A x y ，22( B x y ，。（1）当AB x 轴时，AB =。 （2）当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y kx m =+

13、。 由已知=，得223(1 4m k =+。把y kx m =+代入椭圆方程，整理得222(31 6330k x kmx m +-=，122631km x x k -+=+，21223(131m x x k -=+。22221(1( AB k x x =+-22222223612(1 (1 (31 31k m m k k k -=+-+22222222212(1(31 3(1(91(31 (31k k m k k k k +-+=+ 2422212121233(0 3496123696k k k k k k=+=+=+。8当且仅当2219kk = ，即k =时等号成立。当0k = 时，AB =

14、综上所述max 2AB =。当AB 最大时，AOB 面积取最大值max 1222SAB =。 题型七：弦或弦长为定值问题例题7、在平面直角坐标系xOy 中，过定点C （0，p ）作直线与抛物线x 2=2py（p>0）相交于A 、B 两点。 （）若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求ANB 面积的最小值；（）是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，说明理由。（）依题意，点N 的坐标为N （0,-p ）, 可设A （x 1,y 1）,B （x 2,y 2），直线AB 的方程为y=kx+p,与x 2=2py联立得+=

15、. 22p kx y py x 消去y 得x 2-2pkx-2p 2=0.由韦达定理得x 1+x2=2pk,x1x 2=-2p2. 于是21221x x p S S S ACN BCN ABN-=+=21221214 (x x x x p x x p -+=- . 228422222+=+k p p k p p 222min 0p S k ABN =）时，（当.（）假设满足条件的直线l 存在，其方程为y=a,AC的中点为为直与AC t O , '径的圆相交于点P 、Q ，PQ 的中点为H ，则）点的坐标为（2, 2, 11py x O PQ H O +''92121 (

16、2121p y x AC P O -+='22121p y +., 221211p y a p y a H -=+-=' 222HP O PH '-'=21221 2(41(41p y a p y -+ , ( 2(1a p a y pa -+- 222(PH PQ =. ( 2(42-+-a p a y p a 令02=-p a ，得p PQ p a =此时, 2为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =，即抛物线的通径所在的直线. 解法2：（）前同解法1，再由弦长公式得2. 2222+k k p又由点到直线的距离公式得22kp d+=.从而，, 2

17、2222212122222+=+=k p k pk k p AB d S ABN. 22max 02p S k ABN =）时，（当（）假设满足条件的直线t 存在，其方程为y=a，则以AC 为直径的圆的方程为10, 0 ( (0(11=-y y p y x x x 将直线方程y=a代入得.(1 2(4 (4,0 (121112a p a y p a y a p a x y a p a x x x -+-=-=-则 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P （x 2,y 2）,Q （x 4,y 4）, 则有. ( 2(2 ( 2(41143a p a y p a a p a y p a x x

18、PQ -+-=-+-=-=令p PQ p a p a =-此时得, 2, 02为定值，故满足条件的直线l 存在，其方程为2py =.即抛物线的通径所在的直线。 题型八：角度问题例题8、（如图（21）图，M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足：6. PM PN += （）求点P 的轨迹方程； （）若21cos PM PN MPN-, 求点P 的坐标.解：( 由椭圆的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，长轴长2a =6的椭圆. 因此半焦距c =2，长半轴a =3，从而短半轴b 所以椭圆的方程为221. 95x y += ( 由2, 1cos PM PN MPN=-得cos

19、 2. PM PN MPN PM PN =- 因为cos 1, MPNP 不为椭圆长轴顶点，故P 、M 、N 构成三角形. 在PMN 中，4, MN =由余弦定理有2222cos . MN PM PN PM PN MPN =+- 将代入，得 22242(2. PM PN PM PN =+-故点P 在以M 、N 为焦点，实轴长为2213x y -=上 .11由( 知，点P 的坐标又满足22195x y +=，所以 由方程组22225945, 33. x y x y +=+= 解得2x y =±=即P 点坐标为 (, 22222222-、（-.问题九：四点共线问题例题9、设椭圆2222:

20、1(0 x y C a b a b+=>> 过点M ，且着焦点为1(F（）求椭圆C 的方程；（）当过点(4,1P 的动直线l 与椭圆C 相交与两不同点, A B 时，在线段AB 上取点Q ，满足AP QB AQ PB=，证明：点Q总在某定直线上 解 (1由题意：2222222211c a b c a b =+=-，解得224, 2a b =，所求椭圆方程为22142x y += (2方法一设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(, ,(, ,(, x y x y x y 。由题设知, , , AP PB AQ QB均不为零，记AP AQ PB QB=, 则0>且1又A ，P

21、 ，B ，Q 四点共线，从而, AP PB AQ QB =-=于是 1241x x -=-， 1211y y -=- 121x x x +=+， 121y y y +=+从而22212241x x x -=-， （1） 2221221y y y -=-， （2）又点A 、B 在椭圆C 上，即221124, (3x y += 222224, (4x y +=（1）+（2）×2并结合（3），（4）得424s y +=即点(, Q x y 总在定直线220x y +-=上12方法二设点1122(, , (, , (, Q x y A x y B x y ，由题设，, , , PA PB A

22、Q QB均不为零。且PA PB AQ QB=又, , , P A Q B 四点共线，可设, (0, 1 PA AQ PB BQ =-=±, 于是1141, 11x yx y -=- （1）2241, 11x y x y +=+ （2）由于1122(, , (, A x y B x y 在椭圆C 上，将（1），（2）分别代入C 的方程2224, x y +=整理得 222(24 4(22 140x y x y +-+-+= （3） 222(24 4(22 140x y x y +-+-+= (4(4(3 得8(22 0x y +-=0, 220x y +-=即点(, Q x y 总在定

23、直线220x y +-=上问题十：范围问题（本质是函数问题）设1F 、2F 分别是椭圆1422=+y x 的左、右焦点。 （）若P 是该椭圆上的一个动点，求1·2PF 的最大值和最小值； （）设过定点 2, 0(M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且AOB 为锐角（其中O 为坐标原点），求直线l 的斜率k的取值范围。解： （）解法一：易知2, 1, a b c = 所以( 12, F F ，设(, P x y ，则 ( 2212, , 3PF PF x y x y x y =-=+-(2221133844x x x =+-=-因为2,2x -，故当0x =，即点P 为椭圆短

24、轴端点时，12PF PF 有最小值2- 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF 有最大值113 解法二：易知2, 1, a b c = ( 12, F F ，设(, P x y ，则222 ( (22222211232x y x y x y =+-=+-（以下同解法一）（）显然直线0x=不满足题设条件，可设直线(1222:2, , , , l y kx A x y B x y =-，联立22214y kx x y =-+=，消去y ，整理得：2214304k x kx += 12122243, 1144k x x x x k k +=-=+由(2214434304k

25、k k =-+=-> 得：k < 或k >又00090cos 000A B A B OA OB <<>>12120OA OB x x y y =+>又(22223841144k k k k -=+2214k k -+=+2223101144k k k -+>+，即24k < 22k -<< 故由、得2k -<< 2k << 问题十一、存在性问题：（存在点，存在直线y=kx+m，存在实数，存在图形：三角形（等比、等腰、直角），四边形（矩形、菱形、正方形），圆）设椭圆E:22221x y a b+=（a

26、,b>0）过M （2 ， 两点，O 为坐标原点， （I ）求椭圆E 的方程；（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OA OB ？若存在，写出该圆的方程，并求|AB14|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E:22221x y a b+=（a,b>0）过M （2 ， 两点, 所以2222421611a b a b +=+=解得22118114a b =所以2284a b =椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B, 且OA OB , 设该圆的切线方程为y kx m =+解方程组22184x y y k