数模实验第四版数据拟合与模型参数估计

1、数学模型实验实验报告 4学院:河北大学工商学院 专 业:电气七班 姓 名:李青青 学号:2012484098 实验时间:2014/4/15 实验地点:B3-301一、实验项目 :数据拟合与模型参数估计二、实验目的和要求a. 了解数据拟合的原理和 Matlab 中的有关命令。Polfit :MATLAB 函数:p=polyfit(x,y,np,s= polyfit(x,y,n说明:x,y 为数据点, n 为多项式阶数,返回 p 为幂次从高到低的多项式系数 向量 p 。 x 必须是单调的。矩阵 s 用于生成预测值的误差估计。 (见下一函数 polyval多项式曲线求值函数:polyval( 调用格

2、式:y=polyval(p,xy,DELTA=polyval(p,x,s说明:y=polyval(p,x为返回对应自变量 x 在给定系数 P 的多项式的值。y,DELTA=polyval(p,x,s 使用 polyfit 函数的选项输出 s 得出误差估计 Y DELTA 。 它假设 polyfit 函数数据输入的误差是独立正态的, 并且方差为常数。 则 Y DELTA将至少包含 50%的预测值。Polyvalpolyval 函数的主要功能是多项式的估值运算,其语法格式为 y = poly val(p,x,输入变量 p 是长度为 n+1的向量,各元素是依次按降幂排列的 多项式的系数, 函数返回的

3、是那次多项式 p 在 x 处的值, x 可以是一个数, 也可以是一个矩阵或者一个向量 , 在后两种情况下, 该指令计算的是在 X 中 任意元素处的多项式 p 的估值。polyvalm 的主要功能是用于 matlab 中多项式求值。 其语法格式为 y=polyvalm(a , A ,其中 a 为多项式行向量表示, A 为指定矩阵。Lsqlin约束线性最小二乘函数 lsqlin格式 x = lsqlin(C,d,A,b %求在约束条件 下,方程 Cx = d的最小二 乘解 x 。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq %Aeq、 beq 满足等式约束 ,若没有不 等式约束,则设 A=

4、 , b= 。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub %lb、 ub 满足 , 若没有等式约束, 则 Aeq= , beq= 。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0 % x0为初始解向量,若 x 没有 界,则 lb= , ub= 。x = lsqlin(C,d,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options % options为指定优 化参数lsqcurvefit最常见的调用格式如下:X = LSQCURVEFIT(FUN,X0,XDATA,YDATA.其中 FUN 为一个函数,已 M 文件或匿名函数存在。若 FUN 以 M

5、 文件形式存在, 那么 FUN 在调用语句中的格式为:(x,xdata FUN(x,xdata,c.(x,xdata中分别表示待求参数, xdata 表示的是自变量 ,c 是可以传递到函数里面的常数。 Lsqnonlin :lsqnonlin 解决非线性最小二乘问题,包括非线性数据拟合问题 而不是计算的值 f (x (平方和,需要用户定义函数 lsqnonlin 求向量值 函数然后,在矢量的术语,你可以重申这一优化问题其中 x 是一个向量和 f (x 是一个函数,返回一个向量值。X = lsqnonlin(乐趣, X0开始在点 X0并找到一个最小的有趣的功能描述 的平方和。快乐应该返回一个向量

6、值不值的平方和。(算法隐含和广场的乐 趣(X 。X = lsqnonlin(乐趣, X0, LB , UB 定义了一组上下对 X 设计变量的范围, 所以,解决方案总是在范围 x UB 的 LB 。X = lsqnonlin(乐趣, X0, LB , UB ,选项最大限度地减少结构中的优化 选项指定的选项。使用 optimset 设置这些选项。通过空矩阵的 LB 和 UB 如 果没有界限的存在。【 X , resnorm = lsqnonlin( 返回 x 的平方范数的剩余价值的总和 (意 思:(X 。 2。【 X , resnorm ,残余 = lsqnonlin(返回剩余的娱乐价值观(x 在

7、解 xx = lsqnonnegx = lsqnonneg(C , D 返回向量 x 的最小范数(C * XD受 x = 0。 C 和 D 必须是真实的。x = lsqnonneg(C , D , x0 X0使用为出发点,如果所有的 X0 = 0;否 则,则使用默认值。默认的出发点是原点(默认是用来当 X0 = = 或只有两 个输入参数提供。x = lsqnonneg(C , D , X0,选项最大限度地减少在结构优化参数指定的 选项。你可以使用 optimset 函数定义这些参数。 lsqnonneg 使用这些选项 的结构域:displayLevel 显示。”“不显示输出;最后的“仅显示最终

8、的输出;“通知” (默认显示输出只有当函数不 converge.tolxtermination 公差对 X【 X , resnorm = lsqnonneg(返回的平方范数的剩余价值:规范(C * XD 2b. 练习模型参数估计三、实验内容根据美国人口从 1790年到 1990年间的人口数据(如下表,确定人口指数 增长模型和 Logistic 模型中的待定参数,估计出美国 2010年的人口,同时画出拟合效果的图形。 表 1 美国人口统计数据 提示:指数增长模型:rte x t x 0(=Logistic 模型:(011mrtm x x t x e x -=+- 解:模型一 :指数增长模型。 M

9、althus 模型的基本假设下,人口的增长率为常 数,记为 r ,记时刻 t 的人口为 (t x ,(即 (t x 为模型的状态变量且初始时刻的人口为 0x ,因为 =00(x x rxdt dx 由假设可知 0( rt x t x e = 经拟合得到:x(t = x0ert ln x(t = ln x0 + rt y = ln x(t , a1 = r , a2 = ln x0 y = a1t + a2 r = a1 , x0 = ea2 程序： t=1790:10:1980; x(t=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76

10、.0 92.0 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204.0 226.5 ; y=log(x(t;a=polyfit(t,y,1 r=a(1,x0=exp(a(2 x1=x0.*exp(r.*t; plot(t,x(t,r,t,x1,b 结果：a = 0.0214 r= 0.0214 x0= 1.2480e-016 所以得到人口关于时间的函数为： x(t = x0e0.0214t ，其中 x0 = 1.2480e-016， 输入：t=2010; x0 = 1.2480e-016; x(t=x0*exp(0.0214*t 得到 x(t= 598.3529。 即在此模型下

11、到 2010 年人口大约为 598.3529 106 。 -36.6198 第6页 / 共9页 350 300 250 200 150 100 50 0 1780 1800 1820 1840 1860 1880 1900 1920 1940 1960 1980 模型二：阻滞增长模型（或 Logistic 模型） 由于资源、环境等因素对人 口增长的阻滞作用，人口增长到一定数量后，增长率会下降，假设人口的增 长率为 x 的减函数，如设 r ( x = r (1 - x / xm ，其中 r 为固有增长率 (x 很小 时 ， xm 为人口容量（资源、环境能容纳的最大数量）， 于是得到如下微分 x

12、dx = rx(1 - xm 方程： dt x(0 = x 0 建立函数文件 curvefit_fun2.m function f=curvefit_fun2 (a,t f=a(1./(1+(a(1/3.9-1*exp(-a(2*(t-1790; 在命令文件 main.m 中调用函数文件 curvefit_fun2.m % 定义向量（数组） x=1790:10:1990; y=3.9 5.3 7.2 9.6 12.9 17.1 23.2 31.4 38.6 50.2 62.9 76 . 第7页 / 共9页 92 106.5 123.2 131.7 150.7 179.3 204 226.5 2

13、51.4; plot(x,y,*,x,y; % 画点，并且画一直线把各点连起来 hold on; a0=0.001,1; % 初值 % 最重要的函数，第 1 个参数是函数名（一个同名的 m 文件定义），第 2 个参数是初值，第 3、4 个参数是已知数据点 a=lsqcurvefit(curvefit_fun2,a0,x,y; disp(a= num2str(a; % 显示结果 % 画图检验结果 xi=1790:5:2020; yi=curvefit_fun2(a,xi; plot(xi,yi,r; % 预测 2010 年的数据 x1=2010; y1=curvefit_fun2(a,x1 hold off