广义BBMBurgers方程解的长时间渐近性估计

1、浙江大学理学院硕士学位论文广义BBM-Burgers方程解的长时间渐近性估计姓名：蔡苏兰申请学位级别：硕士专业：基础数学指导教师：薛儒英20090501摘要本文讨论了方程（简称为唱方程）的初值问题：饥一耐一￥（）：乱（，）（），亡解的局部存在性，整体存在性以及解的长时间渐近性表示利用空间理论和压缩映射原理，我们证明了：当初值咖（）。（）（其中盯，（，】，盯）且范数札，。，足够小时，方程初值问题存在唯一整体解（，）；汐（酞）。（）（，。）；已（）当时（，亡）有一致长时间渐近表示：（，亡）一酉（一一）其中，佗（墨，譬），丘（）关键词：方程、：等式、存在性、长时间渐近表示，（，）：酞毗一￥科一“二二

2、！蔷兰三，心（，）；矿（）口（）（，。）；三（）（酞）（）（盯，（，】，盯）。铷（，）（，亡）：亡一一譬（一一）。（；，），丘（）：，浙江大学研究生学位论文独创性声明本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得逝江盘鲎或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。学位论文作者签名：签字嗍叫年多月日学位论文版权使用授权书逝姿盘堂有权保留并向国家有关部门或机构送交本论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和

3、借阅。本人授权逝婆盘堂本学位论文作者完全了解可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索和传播，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。（保密的学位论文在解密后适用本授权书）学位论文作者签名：导师签名：锅关签字嗍砷年易月沙日签字嗍加弓年）月日第章引言年，和在研究非线性色散长波传播的情况时提出了如下的玛方程【地一正疵茹方程是研究弱非线性色散介质中长波单向传播问题的一个重要数学模型相对于方程，方程能更好地用来描述非线性色散长波传播的情况，因此对方程进行研究有重要的理论意义和实际应用价值从上世纪七十年代以来，国内外许多数学家和物理学家对方程进行深入地研究，取得了一系列重要的研究

4、成果（见参考文献）关于，）程的研究，与本文研究有关的主要结果有：讨论了如下形式能方程：毗一己枷慨叫妨毗枷（，）士。酞（）其中，为给定的常数伊为一个整数该论文得到了方程（）解的衰退估计，即定理假设豫（）且（）：已（）如，使得扎时，问题有唯一的整体解满足：（）若，那么有下面的估计：”，则存在一个正常数磋（）。（）（）一学，：，印一和（）醒（）（）（）一毛，（）若，那么（）（）和下面的估计成立：十口一口，一（）醒（）（）（亡）一“铲，十口一口，劬一和晓札（）（）（亡）一“铲，十口一口（，一第章引言【】采用能量积分方法和变换的方法讨论了如下唱方程整体解的大时间行为：蚝即让一武哪（“）钍（，）（）面的结

5、果：（）、其中为常数，和面为中的常数，（钆）为光滑非线性函数，该论文得到了如下定理假设虑（铷（）一面）如且珈（）己（乱（）一面）咖，则存在一个正常数西，使得当伽。，文时，方程一耐一（面）（）（，）（）存在唯一的整体解（，）满足：（，）（，。；，）（，；。）其中（，）（亡，可）一），（）（面）一（面）一咖（面）而且解（，）有下面的衰减估计：（）。（亡）一，（）。（亡）一，（）（亡）一，（）。（亡）一，仇（）。（亡）一，。（）。），（）（亡）和（见【】）研究了具有耗散项的方程的初值问题：卜耐东嚣芦一解：耵。，的光滑解的整体存在性和收敛性，其中，均为常数，乱（，）（让（，），（，孟），厂（乱）（），

6、厶（饥）为向量函数该文得到了如下的结果：定理假设日（，融），（）（黔，黔），且厂（）（钆），厶（）满足，则初值问题（）对任意的，存在唯一整体光滑，（亡，）（，），（，）（，），（豫，）第章引言且对任意的，札口，（亡，）（，），惫（，）（【，。），知一（酞，酞竹）此外，口，（亡，）收敛到（，亡），且（，）是，（钍）的一个弱解本论文中我们重点讨论初值汐假）。（）时方程初值问题：毗一一仳霉三二！：了兰三，亡。解的长时间渐近性表示结果：，解的局部存在性，整体存在性以及解的长时间渐近性表示利用空间理论和压缩映射原理，结合不等式与变换性质我们取得了初值问题（）的整体存在性以及定理（）令盯，假设初值（）（）

7、，其中，（，），贝，初值问题（）存在唯一解（【，明；护（）口（）（，邪；三（）（）令仃，（，】，仃，假设初值咖（）且范数怯。咖足够小，则初值问题（）存在唯一整体解（，）；妒（）口（）进一步，亡，（，亡）有关于时间的最优衰退估计：亡（）。亡（卜；），），亡（，）；瞻（）（圳。（）令，（，】，假设对于初值饥（）（）初值问题（）存在唯一解（，）；舻（瓞）（酞）（，）；三（）则当亡（，）有一致渐近估计，亡）亡一；一装（一一）其中（；，譬），丘（）本文所采用的数学符号绝大部分是标准的，但为了本篇文章的完整性，下面简单介绍文中会出现的一些符号：第章引言在不引起混淆的情况下，我们用来表示常数，并且在不同的地

8、方同一个字母可以用来表示不同的常数下文中剧或￥表示的变换，定义为：讯）去）如厂一（）表示的逆变换，定义为：一绯）砺上娥绯）埏（，）表示从时间区间，到佗空间的连续泛函空间护（）（其中。）为一般的空间。（）为加权空间，定义为：妒以（）汐（）；。）其中（），）裔第章初值问题解的局部存在性在本章中我们主要讨论方程初值问题饥一钍七矗一￥：二！三兰三，亡。，解的局部存在性设厂一为逆变换，（，）南】，定义格林算子够（）：（亡）妒：广品￥（）：厂，）（可）根据小原则，初值问题（）等价于（，）（）一够（亡一，）（）（）（，）牡如）秒一。上（，）（州丁，班渺（）其中人厂（）（盯乱）引理设口（）（豫），（，】，对于

9、任何亡下面的估计成立：（亡）多，砂（）西砂。（亡）钏圳弘。（）一右，（）三。一巧一钏圳己夕（亡）厂一一奄参（）一叫讯）乒壹笔（拶广讯）一（咯（壶蔷（榉广）讯）浙江大学硕士学位论文兵甲第章初值问题解的局部存在性（亡）矽（，一可）（可）妇，（，亡）（）一一番召：，一（毒）一￥（专）去七一掣（）厶冗（亡）（亡，一）（可），（，）而歹一觚）翩玎。妥壹笔（榉广首先对吼（亡）做一些估计由直接计算可得：，。（）工。：（丌亡）一（孚出）：（锄亡）一百）瓦（上叫句）；）怖（）恤。：（丌）一厂（）口一番如，（）一缅（）墨（可）口一掣（亡）耋，由不等式可知：【，鲕（）上。（，）（洲舳圳，（）吼（）砂，（）一（一钏圳

10、驴一（；一；）驴所：有：鲕（）州，一（；一；）矽驴（）妒。（）（，）（），（）（亡），。（）。（）考咖（）钏圳肚。（）。（）南一鑫肋（）（圳（删气上势杀蜊（，呦。，一（一；）一所以：又我们易得到：（）一，。（）舟一毒一（）。砉荔召锄眦钏圳一例和。（）磊召惫舢。砂。防泐下面我们估计余项死（）当时，把血（，）表示为：（）取瓦剐铲。竹（叫（竹）。壹筹（榉广。当蚓时，把（亡，）表示为：（，）毒一。（砰一两（汀七）“这样我们很容易得到：对，有：罐（，）（芒）一一必一）一然后利用逆峦换磷踯，圳孺上毋弩溅）一七一，专蠡（）一厶。一半（亡）一。等（圹浙江大学硕士学位论文另一方面，对分部积分得到：第章初值问题解

11、的局部存在性！（，）。婚驴（，）蜓一亡（亡）一，知一。七（）一一（亡）一一一一）一一字（亡）一一一联合上面两式，我们有：堂（，）一）一一字（亡）一一一。（）根据（）式，再用不等式：其中；，得：船（）萨磷（，一可）匆怯堂（）一半（亡）一；。（一）曲如）；一。（）一（）一（亡）一一。（）咖。（）。（亡，），（）砂，（）。矽弘。一）一亡一锄一如砂。一，。（）。）一亡一（亡）一川一。怯。（亡）一砂。训，（亡）；（亡）一，一。咖）墨咖。于是由表左（）以及（）至（）的估计式，我们有：（）（）矽（）！忌（），一；（；一；一。（，一；（亡）一一咖浙江大学硕士学位论文同理：刖舳（）肚。伊磊酬如（）弘。）詈砂。（

12、）咖一刍）。一刍一下面我们利用压缩映射原理来证明初值问题（）局部解的存在性定理令矿，假设初值呦扩（酞）（），其中，（，盯），贝，初值问题（）存在唯一解让（，】；酽（）（）（，卅；（）证明：取，（，盯），待定记酽（）（）坼（，；（）（）（，】；志（）；研。）（）一羞。）（亡南一亡鑫。），（，在空间晒中定义范数埽亡嚣（）一号三。矽二，亡去工。）（，由引理知，（）一一方（，）（可）可（，）（）可亡一寿工，在上式中取，（，（一可）一毒矽取：；得：怯刍一（一；浙江大学硕士学位论文同理由第章初值问题解的局部存在性（）。一历一矽驴我们能够得到（，一可）（）（亡，一剪）（可）（）（一可）移（秒）（亡）（）（一

13、耖）可取，有：，妒（一）一面一所以取：；有：由引理易知：。一历一一（一：）一（）咖（）（）因为：叫盯可仃（伽口口）所：有：（叫盯硼）一（盯）。（盯矿可）怯。（叫一可）盯一（叫一工一）（一可）。（叫。训）矿一（叫，。）一易一；（丁）量伽一（叫）盯（叫盯叫）霉一（秽旷可）。，叫一，（叫。工一）盯一（一口一）（）。（硼一）盯一（口）一品一一浙（叫斯）盯以及：（叫盯叫）正一（秽仃勘）一叫一一（叫。一）口一（训（一）工一（叫一）盯。）浙江大学硕士学位论文一学一一蜥（叫渐钞蜥）口所以有：（叫盯叫）一（口口）埽（洳）盯（）因为：鳓郇肛一戮，圳啪所以：（）咖弘。（）弘。磊召七砂肚。（）弘。【，明（亡一）（）打

14、怯，（一下）咖。（一丁）。，丁一毒一）考丁一昂一；打其中肛一丢（，）（）丁（）脚。矽砖厂。（亡一丁）考一毒一互埽（一）（）丁怯。（一丁）多。打冗（一），。埒厂。（）一寺西埽（亡一）考（一）一一嚣一第章初值；题解的局部存在性浙江大学硕士学位论文釜耋！竺！苎！苎！舞！苎！曼！苎！曼！竺！，苎，竺苎，苎咛！苎蔓！鼍，曼！苎！曼！，。于是【，卅（亡一丁）（丁）。其中一嚣（，）（）。（亡一丁）（丁），。（一丁）丁咖玢厂。一历一互埽（），（亡一）愀叫忆刨圳打（叫眺砌俐埽（寺等嘞下），告一毒咖（）（亡一）（），序（亡叫忆刨舳丁：（叫忆州刎丁俐（序叫专分私瓜叫铲券呜州；一面一怀（）于是由（）至（）式可得：，（

15、）（口叫）一（盯口）（仃叫）。一（仃钞）昂（姐，）盯（）下面我们用压缩映射原理来证明结论在取半径的球，叉；咖），其中眩对于”，定义（）（）（一丁）（川仃可）（）浙江大学硕士学位论文对于，由（）口（）我们可得：第章初值问题解的局部存在性（）新（）洳（亡一）（川）（）打渐肛（）卧壁矿因此，映射在坼中把半径口的球地映射到球自身，当足够小时有一（）一（）（亡一丁）（盯叫）一（矿），叫一（）盯昙一口洳故是池上的压缩映射由压缩映射定理，在球地中存在唯一钍满足（“）让，即对分小，初值问题（）存在唯一解第章初值问题整体解的存在性在本章中我们主要讨，仑：秘）值问题卜飞篙了端够小，则初值问题（）存在唯一解（，）；

16、口（瓞）（）进一步，（，亡）有关于时间的最优衰退估计：，川，在小初值假设条件下解的整体存在性以及解关于时间的最优衰减估计问题定理令盯，（，】，假设初值口假）（）且范数怯。（，。）；（）一钏（圳弘。（；）（）驴（驯。证明：西（酞）（），（，。）；）（，吼定义（，）；（瓜）；咖矽（一钏圳弘。（）（一钏川）（毒（）西。毒（）咖。）易（亡）字（亡）一毒矽弘。）（）（一；）咖，亡毒）。）（）（）咖由第二章的引理我们可得：浙江大学硕士学位论文（）一（）。一考，（）。（亡）钏圳肚，（）一（），一毒一言，（，】（）（）一，所以联合上面各式，可得（亡）（）（）（仃叫）一“训仃）（）盯我们有（叫仃叫）一“秒）￥。

17、（仃叫一盯）。（。）矿一（一一）（叫一）。（一）口一（，。）丁）一毒一（丁）詈一字叫一（）盯（叫盯叫）一（盯可）。，（。）口（一一）（叫一）。（一）盯一（，）丁）一磊一（丁）南一字叫一（）盯以及（盯叫）一（盯）一一（一一）盯一（一一）（叫一）。（训一）盯丁）一管一（丁）一吐（）矿所以有（盯训）一（仃）（）盯（）又由忖圳。可知：丁浙江大学硕士学位论文于是由不等式及上式可得：（亡一）（）廓（）圳（）川川打（亡一）一渺）一品一籼一学打：丁）一嚣一去一字打），（亡）一（一钏圳（）。（亡一丁）咖（丁）丁忆。怕（亡一丁）（丁）弘打（一丁）钏（）恤。打厂（亡一）考（丁）号丁）一毒一（丁）一吐）引一，（）（，

18、】时：（亡一）（）一“（丁）南（，）咖刎丁六弘打刚（：（）南寺券嘞丁），熹一南，时：，（亡一）（）一要咖丁。）丁一。亡（所以亡，：一亡）一刍（亡）一厂。（）（）。亡）一刍（亡）一一（）类：（，】时：一）（）一，（亡一丁）忆南（丁）打，（亡一丁）咖（丁）忆打洲（一击寺秘州，告一莓一钏西时：够（亡一）（）一厂（亡一丁）。移。丁：。丢（亡一丁丁）一易一（丁）一字打：。（）龟丁）一字州（亡）所：有：厂。乡（）矽（丁）丁。亡）一刍一（亡）一咖（）了（）至（）式，我们有：夕（亡一）西（丁）丁，再联合（）式易得：，乡（亡一丁）（叫盯叫）一（盯），（仃叫）一（盯），（）口（）（）用压缩映射原理来证明结论浙江大

19、学硕士学位论文在中取半径的球，记叉矽；矽，其中怯，为常量，定义（）卯）咖一。卯叫（吐（州丁因为足够小，于是由（）（）步可得：，（）（）（亡一，）（盯影）（丁）丁，钆（）盯箬矿因此，映射在中把半径的球映射到球自身，有：（叫）一（）剑。卯叫吖咄（肌）（）盯坤矿三故是姊上的压缩映射于是由压缩映射定理：唯一存在，（），即初值问题（）存在唯一解（，。）；（酞）（）（，。）；三（酞）且（）于是一（）肚。亡（卜；（）蚓扎（圳伊。第章初值问题解的长时间渐近估计本章主要讨论方程初值问题饥一耐一牡船：二！苫竺三，亡。解的长时间渐近性估计，为此我们首先引进一些定义下面将要用到的一些引理对于如下非线性方程的初值问题】

20、：，毗：占，篙竺乙，其中是线性拟微分算子：础，。厂一（）（）（札）为某些依赖于未知函数（亡，）的非线性函数根据原则，我们改写初值问题（）为如下的积分形式：（，）乡（）乱。一乡（亡一）（）（）（，）。（可）曲一。上。（，）（乱）（丁，秒）匆打其中相应的线性方程的格林算子（亡）扫逆变换定义如下：（）乡（亡）厂一一。（）￥（）（，一可）（）匆其中（）为方程（）中算子的象征我们固定一个定义在上的函数度量空间和一个定义在，）“上的完备度量空间定义函数，若对，存在连续线：，函：有下式成立：（）（亡）一（）（）其中，则称函数）在，中的渐近核（）定义若，积分方程伊（乱（丁）一致收敛，则我们称（）式中的非线性算

21、，（）在中是渐近弱的第章初值问题解的长时间渐近估计引理令初值，假设格林算子在叉，中存在渐近核令方程（）中的非线性算子（）在空中是渐近弱的假设初值问题（）荨在唯一的解，且对有下面两个估计式成立：（）一。（亡一丁）一），（让（丁）打，（）（）厂（钆（）训；：，姜和（）（）（亡一丁）（乱（丁）一一丁），（“（丁）（丁）丁啪）。卯叫（时）训互（）其中矿，则这个解有下面渐近性质：（）（札（）一（），曼其中盯，为（）中的参数，常量为：（）一。删灯）杌下面我们给出程初值问题解的长时间渐近性估计定理令盯，（，】，假设对于初值（酞）。（酞）初值问题（）存在唯一解（，）；（）（）则当亡时：（，亡）有一致渐近估计（

22、，亡）：亡一一害（一一）（，）；三（）其中，几（；，字），矗（）证明：（廷）。（）（，】，盯（，）；（，）；（）；恢。）范数定义如下：（一号弘。（亡）（卜；）西）（亡）去（亡）训。亡毒）矽。）再考虑范数：易（亡）字（亡）一钏圳弘。（亡）（一；）南（）。）易知（）一一面定义函数，：，（）矗（）如（）征为在，中的渐近核丘（）如，（），。，冬量（），一（珥）一学驴一（珥卜咖。霹（）一（亡）怯一（一；）一半。由（）式乡（）咖且：（）（砂）（）矽又由（）式可得：（）一（亡），（）。一刍一；咖（，】（）一（），（）。一一量联合上面几式有：（）咖一（亡）厂（）。乡）咖一（）（），亡筇（亡）一（）（）。亡南（）一（亡），（咖）。西（，】（）（）（）浙江大学硕士学位论文！；兰！二！二三二，二！圣二；二第章初值问题解的长时间渐近估计亡一鸶（亡）妒一（），（）。亡（一；乡（亡）一（亡），（）咖一），（妒）（亡）一（），（）。一钏训所以釉有：（亡）（）一（）（）由范数的定义有：（矿）（盯），）一嚣一（丁）一字让，。（一丁）一（）（盯让）茁）丁。（亡）一乱妒（。（一丁）一。（）。丁）（）一丁铲（