复合材料层合圆柱壳的有限元分析

1、第25卷第4期2004年12月力 学 季 刊CHINESE QUARTERLY OF MEC HANICSDec.2004复合材料层合圆柱壳的有限元分析何录武,冯 春(华东理工大学机械工程学院,上海200237摘要:本文根据Reissner Mindlin型的全局位移场(一阶和三阶,应用有限元预测 修正法,数值计算和分析了机械载荷作用下复合材料层合圆柱壳的挠度和横向剪应力。首先按照一般的有限元分析过程(没有引入剪切修正系数计算出层合圆柱壳的挠度预测值;然后利用Lagrange插值构造横向剪应力的一般形式,使得满足层间连续和表面上为零的条件,通过最小二乘法拟合三维应力平衡方程获得横向剪应力;最后

2、在单元上计算和引入剪切修正系数,再经过有限元分析计算出层合圆柱壳的挠度修正值。数值计算结果与三维线弹性解的比较表明,挠度修正值和横向剪应力的精度是十分满意的。关键词:复合材料层合圆柱壳;有限元;预测 修正法;剪切修正系数;挠度;横向剪应力中图分类号:O343;TB330.1 文献标识码:A 文章编号:0254 0053(200404 555 9Finite element analysis for laminated composite cylindrical sh ellsHE Lu w u,FENG Chun(Mechanical E ngineering Co llege,E ast C

3、hina University o f Science and Technolo gy,Shanghai,200237,C hinaAbstract:Based on the Reissner Mindlin type global displacement field and predictor corrector method, the deflections and transverse shear stresses were investigated for laminated composite cylindrical shells under mechanical load.Fir

4、st,the deflection predictor was directly derived from general finite element analysis without using shear correction factor.Secondly,by means of3 D stress equilibrium equations and Lagrange s interpolation,the least square fit was employed to determine transverse shear stress.Finally, shear correcti

5、on factor for each element was estimated,and the deflection corrector was calculated by in corporating shear correction factor.The numerical results were compared with those of the3 D solutions of elasticity,the accuracy of the corrector deflection and the transverse shear stress are found to be sat

6、is factory.Key words:laminated composite cylindrical shells;finite element;predictor corrector method;shear cor rection factor;deflection;transverse shear stress随着复合材料的广泛应用,有关复合材料层合壳结构的分析计算日益受到重视。基于Kirchhoff直法线假设而建立的经典层合壳理论主要适用于比较薄的层合壳,对于中等厚度的层合壳,所预测的全局响应(如挠度,频率和屈曲载荷等和应力其误差是比较大的1。考虑到复合材料的剪切变形效应是相当明显

7、的,目前有关层合壳的计算和分析主要采用剪切变形理论模型(全局理论模型和片段光滑理论模型28。大量的研究表明,在预测层合壳全局响应的精度方面剪切变形理论模型相对于经典层合壳理论有明显的改善,特别是高阶剪切变形理论模型,但中等厚度的层合壳,剪切变形理论模型所计算的结果仍有一定的误差4。在计算横向剪应力方面,为了保证其在层间的连续性和表面上为零的条件以及计算精度,剪切变形理论模型一般需要辅助计算方法,通常的解决途径是借用三维应力平衡方程,其方法有差分法和直接积分法3,911。本文的主要工作是根据文12中所给出的有限元预测 修正法,分别采用一阶和三阶Reissner Mindlin 型的全局位移场模型

8、对开口层合圆柱壳在机械载荷作用下的挠度和横向剪应力进行计算和分析。首先按照一般的有限元分析过程(没有引入剪切修正系数计算出层合圆柱壳的挠度预测值;然后利用Lagrange 插值构造横向剪应力的一般形式,使得满足层间连续和表面上为零的条件,通过最小二乘法拟合三维应力平衡方程获得横向剪应力;最后在单元上计算和引入剪切修正系数,再经过有限元分析计算出层合圆柱壳的挠度修正值。为了检验预测 修正法的有效性,大量的数值计算结果与相应的三维线弹性解进行了详细的比较,比较结果表明挠度修正值和横向剪应力的精度是令人十分满意的。1 开口层合圆柱壳的力学模型如图1所示,层合圆柱壳的总厚度为h ,中面半径为R ,沿层

9、合壳中面的主曲率线和法线建立正交曲线坐标系( , , ,Lam 系数分别记为H 1=R +h ,H 2=1,H 3=h ,其中: = ,a =R ,-1/2 1/2。设层合圆柱的位移场模型为(M 阶Reissner Mindlin 型全局位移场 :图1 复合材料开口层合圆柱壳几何和受力示意图Fig.1 Geometry and load ing fo rm o f laminated composite cylindrical shellu =u ( , , u ( , , u ( , , =u 0( , +u 1( , + +u M ( , Mv 0( , +v 1( , + +v M (

10、, M w 0( , (1根据线弹性力学理论,应变和位移的关系为:=1H 1 u+u u1H 1 u +u, =1h u +1H 1 u -u 1h u +u(2其中: = , = , = , =0层合圆柱壳四个侧面上的边界条件和上下表面上的载荷形式分别为:=0, ;0 b :u =u = =0=0,b ;0 :u =u = =0(3 =1/2;0 ;0 b: =q 0sin ( / sin ( /b, =0, =0(4=-1/2;0 ;0 b: =0, =0, =0(5假设层合圆柱壳为正交铺设,材料的主轴与坐标轴一致,单层的材料参数为4:E L =25 106p si(172.5GPa ,E

11、 T =106psi(6.9GPa ,G LT =0.5 106p si(3.45GPaG TT =0.2 106p si(1.38GPa , LT = T T =0.25(6其中 L 和 T 分别指沿着纤维的方向和垂直纤维的方向。556力 学 季 刊 第25卷表1 对称正交铺设复合材料层合柱壳中心挠度预测值和修正值与三维弹性解的相对误差(b/a=1.0 Tab.1 Percentage errors of the predicto r and corrector center d eflectio ns fo r cro ss plysymmetric laminated composite

12、 cylindrical shells(b/a=1.03层5层9层预测值修正值预测值修正值预测值修正值S1=1.0S=5一阶理论三阶理论弹性解S=10一阶理论三阶理论弹性解S=20一阶理论三阶理论弹性解S=50一阶理论三阶理论弹性解-18.37% 4.35%-20.42% 1.23%-18.28%0.21%-3.54% 1.53%-10.66% 1.64%-9.67%0.96%1.619 1.467 1.366-12.13%-0.36%-10.11%-0.87%-8.57%-0.72%-3.61%-0.27%-5.49%-0.20%-4.74%-0.12%-3.43%-0.44%-2.44%-

13、0.38%-2.00%-0.29%-1.21%-0.30%-1.40%-0.21%-1.14%-0.14%-0.13%0.00%-0.27%-0.13%0.00%0.00%0.00%0.00%-0.13%-0.13%0.00%0.00%S1=0.25S=5一阶理论三阶理论弹性解S=10一阶理论三阶理论弹性解S=20一阶理论三阶理论弹性解S=50一阶理论三阶理论弹性解-21.96% 5.34%-23.32% 1.02%-20.88%-0.05%-4.61% 1.65%-12.06% 1.63%-11.51%0.87%1.555 1.419 1.327-15.88%0.19%-12.93%-0.9

14、0%-10.93%-0.82%-4.54%0.21%-7.05%0.04%-6.13%0.02%-6.29%-0.32%-4.47%-0.46%-3.63%-0.36%-1.96%-0.04%-2.48%-0.08%-2.05%-0.06%-1.00%-0.09%-0.65%-0.06%-0.53%-0.06%-0.32%-0.03%-0.36%-0.03%-0.30%-0.03%557第4期 何录武,等:复合材料层合圆柱壳的有限元分析表2 非对称正交铺设复合材料层合柱壳中心挠度预测值和修正值与三维弹性解的相对误差(b/a=1.0 Tab.2 Percentage errors of the

15、predicto r and corrector center d eflectio ns fo r cro ss plynon symmetric laminated composite cylindrical shells(b/a=1.02层4层10层预测值修正值预测值修正值预测值修正值S1=1.0S=5一阶理论三阶理论弹性解S=10一阶理论三阶理论弹性解S=20一阶理论三阶理论弹性解S=50一阶理论三阶理论弹性解-2.87% 2.15%-8.76% 3.98%-18.04%0.51%0.18% 2.38%-10.13% 3.09%-9.62% 1.31%1.633 1.459 1.326

16、-0.84%0.48%-10.77%0.05%-8.33%-0.44%0.11%0.60%-5.34%0.50%-4.48%0.16%-0.13%0.05%-2.31%-0.10%-1.84%-0.18%0.05%0.11%-1.19%0.07%-1.01%-0.04%0.00%0.12%-0.13%0.00%-0.14%-0.14%0.00%0.00%0.00%0.00%-0.14%0.00%S1=0.25S=5一阶理论三阶理论弹性解S=10一阶理论三阶理论弹性解S=20一阶理论三阶理论弹性解S=50一阶理论三阶理论弹性解-3.65%0.91%-25.77% 3.87%-20.80%0.02

17、%-0.36% 1.19%-12.02% 2.70%-11.35%0.90%1.717 1.487 1.316-1.36%0.16%-14.20%-0.15%-10.76%-0.70%-0.18%0.28%-7.24%0.38%-5.87%0.08%-0.33%0.06%-4.70%-0.24%-3.84%-0.27%-0.02%0.09%-2.44%0.02%-1.90%0.00%-0.03%0.02%-0.66%-0.05%-0.50%-0.03%0.02%0.03%-0.34%0.00%-0.26%0.00%558力 学 季 刊 第25卷表3 对称正交铺设复合材料层合柱壳中心挠度预测值和

18、修正值与三维弹性解的相对误差(b/a=3.0 Tab.3 Percentage errors of the predicto r and corrector center d eflectio ns fo r cro ss plysymmetric laminated composite cylindrical shells(b/a=3.03层5层9层预测值修正值预测值修正值预测值修正值S1=1.0S=5一阶理论三阶理论弹性解S=10一阶理论三阶理论弹性解S=20一阶理论三阶理论弹性解S=50一阶理论三阶理论弹性解-26.62% 5.04%-22.89%0.11%-19.95%-0.58%-7

19、.03% 1.07%-13.02% 1.03%-12.49%0.34%2.716 2.818 2.923-18.13%-0.61%-13.45%-1.37%-10.94%-1.33%-5.98%-0.43%-7.97%-0.48%-6.87%-0.52%1.153 1.242 1.353-6.88%-0.72%-4.70%-0.76%-3.63%-0.68%-2.44%0.43%-2.80%-0.38%-2.27%-0.34%-0.98%-0.25%-0.68%-0.23%-0.42%-0.21%-0.49%-0.25%-0.45%-0.23%-0.42%0.21%S1=0.25S=5一阶理论

20、三阶理论弹性解S=10一阶理论三阶理论弹性解S=20一阶理论三阶理论弹性解S=50一阶理论三阶理论弹性解-26.63% 6.82%-22.86%0.95%-19.95%-2.87%-6.52% 2.17%-12.70% 1.95%-12.20% 1.13%2.118 2.205 2.296-17.98%0.53%-13.33%-0.39%-10.89%-0.54%-5.43%0.74%-7.55%0.59%-6.61%0.36%0.940 1.020 1.120-7.12%-0.16%-4.78%-0.14%-3.69%-0.25%-2.27%0.16%-2.67%0.14%-2.21%0.1

21、2%-1.36%-0.19%-0.83%-0.17%-0.71%-0.14%-0.39%0.00%-0.50%0.00%-0.43%-0.14%559第4期 何录武,等:复合材料层合圆柱壳的有限元分析560 力 学 季 刊 第 25 卷 表4 非对称正交铺设复合材料层合柱壳中心挠度预测值和修正值与三维弹性解的相对误 差(b/ a= 3. 0 Tab. 1 Percentage errors of the predictor and corrector center deflections for cross ply non symmetric laminated composite cylin

22、drical shells(b/ a= 3. 0 2层 预测值 S= 5 一阶理论 三阶理论 弹性解 S = 10 一阶理论 三阶理论 弹性解 - 1. 51% - 0. 71% 2. 977 - 0. 44% - 0. 20% 2. 041 - 0. 14% - 0. 14% 0. 729 - 4. 19% - 0. 67% 3. 745 - 1. 47% - 0. 29% 2. 783 - 0. 44% - 0. 12% 2. 496 - 0. 09% - 0. 05% 2. 140 - 0. 05% - 0. 05% - 0. 77% - 0. 38% 1. 043 0. 00% 0.

23、04% - 4. 86% - 2. 55% 1. 215 0. 00% 0. 00% - 0. 55% - 0. 33% 0. 911 0. 22% 0. 29% - 14. 23% - 7. 27% 1. 609 - 0. 16% 0. 08% - 3. 43% - 1. 90% 0. 050 0. 00% 0. 00% 0. 99% 1. 01% - 26. 40% - 12. 43% 3. 042 0. 12% 0. 56% - 10. 35% - 5. 65% 1. 381 - 0. 19% 0. 00% - 0. 14% - 0. 14% - 0. 35% - 0. 18% 0. 5

24、67 3. 78% 2. 63% - 20. 58% - 11. 33% 2. 648 - 0. 43% 0. 29% - 0. 15% - 0. 10% - 4. 22% - 2. 32% 1. 209 0. 00% 0. 00% - 0. 37% - 0. 37% 0. 536 0. 04% 0. 94% - 4. 87% - 1. 43% 4. 392 - 0. 24% - 0. 17% - 13. 83% - 7. 35% 1. 851 - 0. 41% - 0. 25% - 3. 14% - 1. 85% 1. 082 - 0. 19% - 0. 19% 修正值 0. 43% 0.

25、39% 预测值 - 26. 00% - 12. 76% 3. 707 - 0. 49% - 0. 11% - 10. 26% - 5. 90% 1. 627 - 0. 55% - 0. 28% 4层 修正值 3. 13% 2. 02% 预测值 - 20. 30% - 11. 52% 3. 300 - 1. 11% - 0. 43% 10 层 修正值 - 0. 55% 0. 30% S 1 = 1. 0 S = 20 一阶理论 三阶理论 弹性解 S = 50 一阶理论 三阶理论 弹性解 S= 5 一阶理论 三阶理论 弹性解 S = 10 一阶理论 三阶理论 弹性解 S 1 = 0. 25 S =

26、 20 一阶理论 三阶理论 弹性解 S = 50 一阶理论 三阶理论 弹性解 第4期 何录武, 等: 复合材料层合圆柱壳的有限元分析 561 2 有限元计算结果和分析 正交铺设层合圆柱壳的有限元计算实例分别取如下情况: 1 b/ a = 1. 0, 3. 0; 22 层( 0 / 90 , 3 层( 0 / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90 / 0 , 4 层(0 / 90 / 0 / 90 , 5 层( 0 / 90 / 0 / 90 / 0 , 9 层(0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 / 0 , 10

27、层( 0 / 0 0 0 0 0 0 0 0 0 90 / 0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 / 0 / 90 , 每层的厚度均相等; 3a / R = 1. 0, 0. 25; 4a / h = 5, 10, 20, 50。 对于所有实例, 本文根据预测 修正法的计算步骤, 分别对一阶(M = 1 和三阶( M = 3两种位移模 型进行了有限元编程和数值计算。由于问题的对称性, 在有限元分析中仅考虑四分之一部分( 如图 1 所 示 , 采用四边形 9 节点 L agrange 等参元, 节点变量为 q ( M = u 0 , v 0 , u 1 , v 1 , , u M ,

28、 v M , w 0 T , 网格划分 为 8 8(通过与 4 4 网格划分计算结果比较, 8 8 网格划分的计算结果是收敛的 , 第一层上的横向剪应 力均采用 3 次 Lagrange 插值(3 等分 4 个节点, 由最小二乘法拟合三维应力平衡方程计算出的横向剪应 力本文分别记为 和 , 有关数值计算结果列在表 1 4 和图 2 7 中。在表 1 4 和图 2 7 中有关量 均为无量纲量: 0 0 0 0 图2 无量纲横向剪应力 和 ( 2 层, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and (2 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10

29、, b/ a= 1. 0 Fig. 2 Normalized transverse shear stresses 图3 无量纲横向剪应力 和 ( 3 层, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and Fig. 3 Normalized transverse shear stresses (3 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10, b/ a= 1. 0 w = 100 h E T w 0 / ( q0 a , ( 3 4 , = ( , h/ ( q0a , S = a/ h, S 1 = a/ R 表 1 4 中的挠度 w 为层合圆

30、柱壳的无量纲中心挠度, 位置在( , , = ( a/ 2, b/ 2, 0 , 图 2 7 均为 a/ h = 10 时( 中等厚度层合壳 无量纲横向剪应力 和 沿厚度方向的分布( 有限元解和弹性解 , 其中: 的位置在( , , = ( 31a/ 32, 15b/ 32, , 的位置在( , , = ( 17a/ 32, b/ 32, , 即分别在两个单元的 中心, 非常接近于层合圆柱壳两个边的中点。 关于弹性解, 部分结果可参见文 4 , 详细结果可采用级数展 开法并借助符号软件 Map le 给出。 另外限于篇幅本文只给出 b/ a = 1. 0 及 a/ R = 1. 0 时横向剪应

31、力的计算 结果。 通过与三维弹性解的详细比较得到以下结论: 562 力 学 季 刊 第 25 卷 图4 无量纲横向剪应力 和 ( 4 层, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and (4 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10, b/ a= 1. 0 Fig. 4 Normalized transverse shear stresses 图5 无量纲横向剪应力 和 ( 5 层, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and (5 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10, b/ a

32、= 1. 0 Fig. 5 Normalized transverse shear stresses 图6 无量纲横向剪应力 和 ( 9 层, a / R = 1. 0, a / h = 10, b / a = 1. 0 and (9 ply, a/ R = 1. 0, a/ h = 10, b/ a= 1. 0 Fig. 6 Normalized transverse shear stresses 1 对于层合圆柱壳的中心挠度预测值(表 1 4 , 三阶(M = 3 理论模型相对于阶(M = 1理论模型 有明显的改善, 但仍存在一定的误差。 2 对于层合圆柱壳的中心挠度修正值(表 1 4,

33、一阶和三阶理论模型均有显著的改善(基本上是量 级上的改善, 特别是一阶理论模型。这表明文 12 所给出的预测 修正法在改善挠度的精度上是十分有 效的, 避免了剪切修正系数选择上的盲目性, 有助于继续挖掘一阶理论模型的潜力。为了进一步说明这一 第4期 何录武, 等: 复合材料层合圆柱壳的有限元分析 563 图7 Fig. 7 无量纲横向剪应力 和 ( 10 层, a / R = 1. 0, a / h = 10, b/ a = 1. 0 and (10 ply, a/ R = 1. 0, a / h = 10, b/ a= 1. 0 Normalized transverse shear str

34、esses 点, 本文基于一阶理论模型对剪切修正系数整体取 k = 5/ 6 的情况也进行了有限元计算(b / a = 1. 0, 3. 0; a / R = 1. 0, 0. 25; a / h = 10, 中心挠度值的相对误差分别为 8. 3% 13. 3% ( 3 层, 7. 8% 10. 8% ( 4 层, 6. 6% 8. 5% (5 层, 5. 1% 6. 4% (9 层, 4. 85% 6. 4% ( 10 层。文 4, 6, 11 均是在整个研究问 题中引入一个统一的剪切修正系数值。 3 对于横向剪应力(图 2 7, a / R = 1. 0, a / h = 10, b/ a

35、 = 1. 0, 由一阶和三阶理论模型所获得的结 果均是相当满意的, 三阶理论模型的结果比一阶理论模型的结果更精确。这表明文 12 中关于横向剪应 力的计算方法是准确和可行的。 3 结论 其于 Reissner Mindlin 型的全局位移场模型(一阶和三阶以及有限元预测 修正法, 对开口层合圆 柱壳在机械载荷作用下的挠度和横向剪应力进行了数值计算和分析。数值计算结果与三维线弹性解的比 较表明挠度修正值和横向剪应力的精度是十分满意的, 验证了预测 修正法在改善挠度的精度方面是十 分有效的, 横向剪应力计算方法是准确和可行的。 参考文献: 1 2 3 4 5 6 7 R eddy J N. Me

36、chanics of Laminated Composite Pl ates: Theory and Analysis M . NewYork: CRC Pr ess, 1997. Di Sciuva M. An improved shear deformation theory for moderately thick multilatered anisotropic shell s and plates J . ASME J Appl ied Mech, 1987, 54: 589 596. Noor A K, Burton W S, Peters J M. Assessment of computati onal model for multi layered composite cylinder s J . Int J Solids and Str uc tures, 1991, 27( 10 : 1269 1286. Huang N N. Influence of shear correction factors in the higher ord