概率统计第四章第二节(未)课件

1、(1) 概念的引入概念的引入1. 1. 随机变量方差的概念随机变量方差的概念 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它上一讲我们介绍了随机变量的数学期望，它体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量体现了随机变量取值的平均水平，是随机变量的一个重要的数字特征的一个重要的数字特征. 但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的但是在一些场合，仅仅知道平均值是不够的. 例如，某零件的真实长度为例如，某零件的真实长度为a，现用甲、乙两，现用甲、乙两台仪器各测量台仪器各测量10次，将测量结果次，将测量结果X用坐标上的点表用坐标上的点表示如图：示如图： 你认为哪台仪器好一些呢？你认为哪台仪器好一些呢？乙仪器测量结

2、果乙仪器测量结果 a甲仪器测量结果甲仪器测量结果较好较好测量结果的测量结果的均值都是均值都是 a因为乙仪器的测量结果集中在均值附近因为乙仪器的测量结果集中在均值附近a 又如又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，发炮弹，其落点距目标的位置如图：其落点距目标的位置如图：你认为哪门炮射击效果好一些呢你认为哪门炮射击效果好一些呢?甲炮射击结果甲炮射击结果乙炮射击结果乙炮射击结果乙炮乙炮因为乙炮的弹着点较集中在中心附近因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 . 中心中心中心中心 为此需要引进另一个数字特征为此需要引进另一个数字特征,用它用它来度量随机变量取值在其中心附近的离

3、来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度散程度.这个数字特征就是我们下面要介绍的这个数字特征就是我们下面要介绍的方差方差).(,)(.)()Var()(, )Var()(,)(,)(,222XXDXEXEXXDXXDXXEXEXEXEX记记为为为为标标准准差差或或均均方方差差称称即即或或记记为为的的方方差差为为则则称称存存在在若若是是一一个个随随机机变变量量设设 (2) 方差的定义方差的定义 (2) 由于标准差与由于标准差与X具有相同的度量单位，在实具有相同的度量单位，在实际问题中经常使用际问题中经常使用.说明说明 (1) 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期方差刻划了随机变量的取值对于其数学

4、期望的离散程度望的离散程度 ，方差越小，方差越小，X的取值集中在均值的附的取值集中在均值的附近；方差越大，近；方差越大，X的取值越分散的取值越分散离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 ,)()(12kkkpXExXD 连续型随机变量的方差连续型随机变量的方差,d)()()(2xxfXExXD (3) 方差的计算方差的计算 1) 利用定义计算利用定义计算 .)(的概率密度的概率密度为为其中其中Xxf., 2 , 1,的分布律的分布律是是其中其中XkpxXPkk .)()()(22XEXEXD 证明证明)()(2XEXEXD )()(222XEXXEXE 22)()()(2)(XEXEXEXE

5、 22)()(XEXE 2) 利用公式计算利用公式计算例例1 (0-1)(0-1)分布分布 ppXE 1)1(0)(Xp10pp 1已知随机变量已知随机变量 X 的分布律的分布律为为则有则有22)()()(XEXEXD 2221)1(0ppp p ).1(pp 2. 重要分布的方差重要分布的方差).1()10(ppp 和和为为分布的期望和方差分别分布的期望和方差分别例例2 泊松分布泊松分布 . 0, 2 , 1 , 0,e! kkkXPk )(XE由于由于且分布律为且分布律为设设),( X)1()(2XXXEXE 且且)()1(XEXXE 0e!)1(kkkkk 222)!2(ekkk ee2

6、.2 所以所以22)()()(XEXEXD 22 . . 均均为为泊泊松松分分布布的的期期望望和和方方差差3例)(),(XDbaUX求设解的概率密度为X其他, 0,1)(bxaabxf2)(baXEbababaxabxXE)(31d1)(222212)()2()(31)()()(222222abbababaXEXEXD4例)(, 0),(XDEX求设解的概率密度为X其他, 00,e)(xxfx1)(XE202020222de20e)e (dde)(xxxxxxXExxxx22222112)()()(XEXEXD证明证明22)()()(CECECD 3 方差的性质方差的性质 （设（设D(X),

7、D(Y) 存在）存在）(1) 设设 C 是常数是常数, 则有则有. 0)( CD22CC . 0 (2) 设设 X 是一个随机变量是一个随机变量, C 是常数是常数, 则有则有).()(),()(2XDCXDXDCCXD 证明证明)(CXD)(22XEXEC ).(2XDC )(2CXECXE )()()(2CXECXECXD )(2XEXE ).(XD ).()()(,YDXDYXDYX 相相互互独独立立，则则有有特特别别，若若(3) 设设 X, Y 是两个随机变量，则有是两个随机变量，则有证明证明)()()(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2)()(22YEYXEX

8、EYEYEXEXE )()(YDXD ).()(2)()()(YEYXEXEYDXDYXD )()(2YEYXEXE 推广推广),()(121iniiniiiXDCXCD 则则有有相相互互独独立立若若,21nXXX)()(2YEYXEXE 而而),()()(,YEXEXYEYX 独独立立时时由由于于)()()()()()()(2YEXEXEYEYEXEXYE ).()()(2YEXEXYE ).()()(,YDXDYXDYX 独独立立时时，有有所所以以当当其中其中i为常数，为常数，i=1,2,n. 即即D(X)=0 P(X= C)=1， 这里这里C=E(X)xC1P(X= x)下面我们用一例说

9、明方差性质的应用下面我们用一例说明方差性质的应用 .10)()4(CXXD取取常常数数以以概概率率的的充充要要条条件件是是 5例解)(,),(XDpnbX求分布设随机变量分布服从则发生的次数次试验中事件表示第设) 10(,iiXAiXnippXDpXEii, 2 , 1),1 ()(,)( 且相互独立,21nXXX nXXXX 21所以)1 ()1 ()1 ()1 ()()(2121pnpppppppDXDXDXXXXDXDnn 例例6 设随机变量设随机变量X具有数学期望具有数学期望E(X)= ，方差，方差 0)(2 XD，记，记, XY)()( XEYE)(2 XE)(122 XE).()(

10、YDYE和和求求解解称称为为的标准化变量的标准化变量22)()()(YEYEYD 122 )(1 XE0 例7解由于) 1 , 0( NX,XY令) 1 , 0( NY则有1)(, 0)(2YEYE22()()( )( )D XDYD YD2(,),1,2, ,iiiXNin 若且它们相互独立则),(11222211 niniiiiinnCCNXCXCXC)(,),(2XDNX求分布设随机变量例8汽缸的直计以设活塞的直径),03. 0 ,40.22()cm(2NX任取一只活塞相互独立与径,),04. 0 ,50.22(2YXNY率求活塞能装入汽缸的概9772. 0)2()05. 010. 0(

11、)0025. 0)10. 0(00025. 0)10. 0()()0()(YXPYXPYXP解)0()(YXPYXP)0025. 0 ,10. 0(NYX依题意故有由于8例niiniiXXnSXnX1221)(11,1且具有相同的数学相互独立设随机变量,21nXXX 令和方差期望,2)(),(),(2SEXDXE求解设依题意,niXDXEii, 2 , 1,)(,)(2 niiniiXEnXnEXE1111nnnXDnXnDXDniinii2221211)(1)1()(22211()(2)nniiiiiXXXX XX由于而2222)()()(iiiXEXDXE2222)()()(nXEXDXE

12、221112()nnniiiiiXXXX2212()niiXX nXnX221niiXnX所以22221111()() 11nniiiiE SEXXEXnXnn2211()()1niiE XnE Xn222221 ()()1nnnn10 pp)1 (pp 10, 1 pnnp)1(pnp 0 ba 2)(ba 12)(2ab 0 2分分 布布参数参数数学期望数学期望方差方差两点分布两点分布二项分布二项分布泊松分布泊松分布均匀分布均匀分布指数分布指数分布正态分布正态分布0, 2(3) 重要概率分布的期望和方差重要概率分布的期望和方差三、切比雪夫不等式 定理2)(,)(XDXEX具有数学期望设随机变量不等式则对任意正数 ,22)|(|XP成立这一不等式成为切比雪夫不等式 证则有的概率密度为设),(xfX|(|)( )dxPXf xx切比雪夫不等式也可以写成221)|(|XP22|( )dxxf xx22221()( )dxf xx9例设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每一盏灯开灯的概率都是0.7，而假定开、关时间彼此