圆的方程易错题-----教师版

1、圆的方程易错题已知实数x,y满足(x 5)2(y -12)25,那么x2y2的最小值为()A. 5 B . 8 【答案】B【解析】.13.18试题分析：由题意得,、x2y2=.(x - 0)2 (y-0)2表示点P(x, y)到原点的距离，所以.x2y222的最小值表示圆(x+5) +(y-12) =25上一点到原点距离的最小值，又圆心(-5,12)到原点的距离,(-5)21213，所以,x2y2的最小值为13-R= 8，故选 B.考点：圆的标准方程及圆的最值.2.圆(x - 1)2+ (y- 2)2=1 关于直线 x-y -2 =0 对称的圆的方程为()A.(x -4)2(y 1)2=1B.

2、2 2(x 4) (y 1) =1C.2 2(x+2) + (y+4) =1D.(x -2)2(y 1)2=1【答案】A【解析】试题分析：由题意得，圆心坐标为1,2，设圆心1,2关于直线x - y - 2 = 0的对称点为P(x, y),f y - 2 1 -1x Tx 12，解得x = 4, y = -1，所以对称圆万程为y 22=02(x-4)2(y 1)2=1.考点：点关于直线的对称点；圆的标准方程.2 23 .设圆(x+1 ) + y =25 的圆心为 C, A( 1, 0 )是圆内一定点,Q 为圆周上任一点，线段 AQ 的垂直平分线与 CQ 的连线交于点M，则M的轨迹方程为 ()A.

3、区莊可25214x2仝可2125C.空一2521【答案】A【解析】2125试题分析：如图所示，根据线段中垂线的性质可知| MQ卜| MA |,所|MC|MA|MC | MQ h 5，且| MC| MA | | AC h 2,可以看出点M满足椭圆的定义,542422，解得椭圆方程为丄1，故选A.L25 21M的轨迹是椭圆.根据椭圆的定义，得出.224.若直线3x y a = 0过圆x y2x_4y=0的圆心，则A 1 B . - 1 C . 3【答案】A【解析】试题分析：圆x2 y2 2x 4y = 0的圆心为-1,2x2y22x-4y = 0的圆心，将-1,2代入直线3x y a =考点：1、

4、已知圆的一般式方程求圆心；2、点在直线上.5.A.从圆【答案】【解析】a的值为(),因为直线3x，y，a=0过x2- 2x y2- 2y 1二0外一点P 3,2向这个圆作两条切线，则两切线夹角的余弦值为试题分析：圆2y + 1=0的圆心为M(11),半径为1,从外一点P 3,2向这个圆作两直线 AB 的方程为 -+ = 1，即 3x 4y 12= 0,43圆心 C 到直线 AB 的距离为|3汶04沃112|16dJ32f511611ABP 的面积的最小值为X5X（-1）=.2527 7.直线ax-y + 3 =0 与圆（工_1）+匕_2）：=4 相交于小 B 两点且 卜 2 厉，则a a的值为

5、（ ）A.3B.2C.1D.0【答案】D【解析】圆的圆心为|游仁易|,半径卜二間。因为 -_ ，所以圆心到直线的距离试题分析：两圆的圆心为-2,0 , ,2,1 ,半径2 2 -2 2 i亠i.O 117 2 3,所以两圆相交.考点：两圆位置关系的判断9.圆C1：(x-2)2 (y-3)2=1，圆C2：(x-3)2 (y-4)2=9, M N 分别是圆G,C2上 的动点, 轴上的动点，则| PM|PN |的最小值A. 5. 2 -4B .17-1C .6-2. 2D .、17【答案】A【解析】试题分析：作C2关于x轴的对称点A（3,-4），连接AG得AG所在直线方程7x y - 17 = 0，

6、与x17轴的交点为P（,0），此时PC1 + PC2最小，连接PC PC2分别交圆于M、N，则PM +|PN最 小，PM| +| PN|=PC+|PCT 一3= 5 2 - 4考点：1.圆与最值问题；10.若圆x2y2= a2与圆x2 y2 ay - 6 = 0的公共弦长为2 3，则a的值为A 一2B .2C .- 2D .无解【答案】A【解析】试题分析：圆x2 y2= a2的圆心为原点O,半径r =|a |.将圆x2 y2=a2与圆x2y2ay-6 = 0相减，条切线，则点P到圆心M的距离等于、5，每条切线与PM的夹角的正切值等于1-，所以两切线夹22角的正切值为tanr= 4=,该角的余弦

7、值等于33，故选 B.5考点：直线与圆的位置关系2 26.已知两点 A（0, 3） , B（4,0），若点 P 是圆 x + y 2y = 0 上的动点，则厶 ABP 面积的最小值为（ ）A 6 B.112C . 8 D.212百十 b-i r 一 j ,解得，选D.&圆（x 2） y 4 与圆（x 2）（y1）=9 的位置关系为（A.内切 B.相交 C .外切 D .相离【答案】B【解析】I-loi 2小x-1 x-2/73彳【答案】B【解析】如图，过圆心C 向直线 AB 做垂线交圆于点 P,这时 ABP 的面积最小.分别为 2,3.所以圆心即得两圆的公共弦所在直线方程为a2 ay

8、- 6 = 0.原点 O 到a2ay -6 =0的距离 d=|_a| ,a43)+( - a)- a?=4, a=2 .故选 A.a考点：圆与圆的位置关系.11.已知圆 M 方程：x2+(y +1)2=4，圆 N 的圆心(2,1 )，若圆 M 与圆 N 交于 A B 两点，且AB= 2/2,D.(x+3)2+(y-4)2=9【答案】B【解析】如图，由条件得r=4,.圆的方程为(X+3)2+ (y-4)2=16.则圆 N 方程为:14.点 P (4, 2)与圆x2+y2=4上任一点连线的中点的轨迹方程是 _B.(x-2)(y-1)=20C.(X-2)2(y _1)2=12【答案】(x-2)2 (

9、y 1)2= 1【解析】D.(X-2)2(y1)22=4或(x _2)2(y-1) -20【答案】D.捲+4x =试题分析：设圆上任意一点为A(X1,yJ,AP中点为x, y，贝 U【解析】设圆 N:(x2 2-2) (y-1)=R2，则圆M 与圆 N 的公共弦方程为：4x+4y-8+R2=0,得，所以“4,|=2y+22-4 -8R24、2考点：圆与圆的位置关系22因此 R =20 或 R =4.12.0O 极坐标方程为 P =4co 甜,O02参数方程为x = 2COSTy一公鳥为参数)，则0O 与OQ 公共弦的长度为()B .21 C .2、2D . 1【答案】【解析】因为OO 的普通方

10、程为x2+y24x = 0,OO 的普通方程为x2+(y + 2)2= 4,所以两圆作差可得x + y=0,所以圆 O 到直线 x+y=0 的距离为J2,所以公共弦的长度为I = 2 .2 = 2 2.13.以点(-3 , 4)为圆心，且与x轴相切的圆的方程是()2 2A.(x-3) +(y+4) =16B.(x+3)2+(y-4)2=162 2C.(x-3) +(y+4) =9222222代入x+y=4得(2x- 4)(2y 2) 4,化简(x- 2)，( y T)= 1,所以轨迹方程为2 2(x-2) (y 1) = 1.考点：轨迹方程的求解.【方法点晴】本题主要考查了与圆有关的轨迹方程的

11、求解，属于基础题，着重考查了代入法求解轨迹方程，其中确定坐标之间的关系是解答此类问题的关键.本题解答中通过设圆上任意一点为A(X1, y1),X = 2x - 4表示AP中点为x, y，确定出A与AP中点坐标之间的关系，再代入圆的方程，化简叶2护2即可得到动点的轨迹方程.15. ( 2015 秋？双鸭山校级月考)若点 P (1 , 1)在圆 x2+y2+ (入-1) x+2 入 y+入=0 外，则 入的取值 范围是_.【答案】入 I或入1.54【解析】试题分析：直接把点代入圆的方程的左侧，表达式大于0,并且圆的方程表示圆，即可求出m 的范围.2 2解：因为点 P (1, 1)在圆 X +y +

12、 (入-1) X+2 入 y+入=0 外，所以 1+1+ (入-1) +2 入+入0,解得一 4设两圆交于点AB,根据勾股定理可得a2=(A.(X-2)2(y_1)2(入-1)2+4 入2 4 入 0,解得入 1 或-综上一丄或入154故答案为：入|或入1.54考点：点与圆的位置关系.2 216.若圆C:xy -4x 2y与y轴交于A, B两点，且，ACB = 90，则实数m的值为【解析】设点 C 的坐标为(x0,y。)，则由圆 C 与x轴相切于点 T(1,0)知，点 C 的横坐标为1，即人=1 ,半径 r = y.又因为 AB = 2 ,所以 121 y,即= . 2 = r ,所以圆 C

13、的标准方程为(x-1)2(y_2)2=2 , 令 x=0 得：B(0,.2 1).设圆 C 在点B处的切线方程为 y-C 2，1) = kx，则圆心 C 到其距离为:【答案】- 3【解析】2 2 2 2试题分析：将圆C:x2+y 4x+2y + m = 0变形可得(x2) +(y+1) = 5 m.所以圆心C 2, -1,半径r、不7m2因为ACB =90,所以由数形结合可得cos45，解得m = -3.J5 -m考点：圆.【思路点晴】本题主要考查的是圆，属于容易题由题意画图分析可知ACB为等腰直角三角形设斜边AB中点为D,则CD AB,且CD平分角 A C B.所以在直角D C B中DC =

14、2,CB = r = 5-m,DCB =45、，由直角三角形中三角函数即可列式求得m的值.17.如图，已知圆 C 与x轴相切于点 T(1,0),与y轴正半轴交于两点 A, B(B 在 A 的上方)，且 AB =2 .k(2+1d =- =J2 ,解之得 k=1 .即圆 C 在点 B 处的切线方程为 y=x+(/2+1),于是令 y= 0Jk2+1可得x =-.-1，即圆 C 在点B处的切线在 x 轴上的截距为 -1-三，故应填(x-1)2(y- 2)2= 2 和-1-2 .考点：本题考查圆的标准方程和圆的切线问题，属中高档题.2 218已知直线 l:x y+ 4= 0 与圆 C:(x 1) +

15、 (y 1) = 2,则圆 C 上各点到 I 距离的最小值为 _最大值为_ .【答案】.23, 2【解析】 由圆的标准方程得圆的圆心C(1,1)，半径长 r =. 2，则圆心C(1,1)至煩线 I 的距离 d =r，所以直线l 与圆 C 相离,则圆 C 上各点到 I 距离的最小值为d r = 2扌2、-2=、2，最大值为d + r =2、2+ 2=32.(I)圆 C 的标准方程为_(n)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为 _【答案】(I)(x-1)2，(y -2=2； (n)-1-2.19在平面直角坐标系xOy中，圆 C 的方程为x2 y2- 4x = 0.若直线y = k(x 1)上存在一点

16、P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是【答案】| -2、2, 2、2【解析】2 2试题分析：圆 C 的方程为(X-2)2 y2= 4.解题中要体会转化思想的运用：先将“圆的两条切线相互垂直”转化为“点P到圆心的距离为2 2 2 2”，再将“直线上存在点P到圆心的距离为2 2 2 2”转化为“圆心到直线的距离小于等于22”，再利用点到直线的距离公式求解即3kL 2、2, -2 2 |B Q|，又 B到圆上点 Q 的最短距离为 |B C| r =：- 62 - 32- - 5 = 3、.5 - . 5 = 2. 5.【答案】(1)详见解析；(2)x -22 y -12= 5 ;

17、 (3)2、.5;P【解析】试题分析：(1)第一步，先设圆的标准方程，并分别求出点A,B的坐标,表示面积，即是定值；(2)根据条件，OM =ON，所以取MN的中点H,可证CH MN,OH MN, C,H, O 三点共线，那么根据直线 OC 的斜率求参数 t，再写出方程；(3)求折线最短距离问题， 第一步，先做点B关于直线x y 2=0的对称点B，将折线距离转化为求B与圆上点的最短距离 问题，再求直线CB与直线x y 0的交点.(2)若曲线C上一点A(x0,4)， 是否存在直线m与抛物线C相交于两不同的点B,C， 使ABC的 垂心为H(8,0).若存在，求直线m的方程；若不存在，说明理由.2【答

18、案】(1)y =4x. (2)存在这样的直线m，其方程是y = x-16.【解析】试题分析：(1 )根据题意画出草图如下图所示，然后由题意可得MF =|MN，这表明动点M到定点F与到定直线x = -1的距离相等，运用抛物线的定义知所求点M的轨迹为抛物线且F 1,0为其 焦点，即可求出其轨迹方程； (2)由(1)可求出点A的坐标，然后假设存在直线m与抛物线C相交由坐标原点到直线I的距离为a =|b|=1，得k2仁25b2(*),Jk2+154-y = 0,当 y= 0 时，x= 0 或 2t，贝 U A ( 2t,0 );当 xt=0 时，y = 0 或上，贝 U B 0 i!,t I t丿SA

19、AOB=即(1 b)2=k21(*),k由(*), (*)解得34 bI 4(2)解：TOM| = |ON|，则原点 O 在 MN 的中垂线上，设 MN 的中点为 H,则 CHL MN - C,2共线，则直线 OC 的斜率 k=丄t212t = 2 或 t = 2.t22H, 0 三点2+( y+ 1)综上所述，直线I的方程为3x 4y T =0或3x-4y T =0.圆心为 C (2,1 )或(一 2, 1),圆 C 的方程为(x 2)2+( y 1)2= 5 或(x+ 2)2 .+ ( y+ 1)= 5 时，直线 2x + y 4= 0 到圆心的距离 dr,此时不满C 的方程为(x 2)2

20、 .=5，由于当圆方程为(x+ 2) 足直线与圆相交，故舍去，.圆(3)解：点 B ( 0,2 )关于直线x+ y+ 2= 0 的对称点为2(y 1) = 5.B( 4, 2),则 |PB| + |PQ| = |PB | +23.已知以点 C(t R, t 工0)为圆心的圆与 x 轴交于点 O, A,与 y 轴交于点 O, B,其中 O所以|PB| + |PQ|的最小值为2 . 5,直线 BC的方程为1y= x,则直线 BC与直线 x+ y + 2 = 0 的交2为原点.(1)求证： AOB 的面积为定值;点 P 的坐标为3(2) 设直线 2x + y 4= 0 与圆 C 交于点 M, N,若

21、OM =ON，求圆 C 的方程;考点：1.圆的方程;2 .与圆由关的最值，定值问题.(3) 在(2)的条件下，设P,Q 分别是直线 I : x + y + 2= 0 和圆 C 上的动点，求PB PQ的最小值24.已知动圆过定点(1,0)，且与直线x= -1相切.及此时点 P 的坐标.(1)求动圆的圆心M的轨迹C的方程;当直线I与 x 轴不垂直时，设直线I的方程为y =kx b,又圆心到直线I的距离为d2用坐标表示OA,OB,再于两不同的点B,C,使：A B C的垂心为H (8,0),再根据垂心的性质可得AC一BH,即uuu uuuAC BH = 0，于是联立直 线m与抛物线的 方程并由 韦达定

22、理得到y y2, y1y2,将其代 入uuu uuuAC BH -0即可求出直线m的方程，最后检验其是否满足题意即可.试题解析：(1)如图，设M为动圆圆心，设F1,0，过点M作直线x - -1的垂线，垂足为N,由题意知：MF = MN即动点M到定点F与到定直线x=-1的距离相等，由抛物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F 1,0为焦点，x=1为准线，.动圆圆心M的轨迹方程为y2=4x(另法：设M(x, y)Q MF =|MN，.订x+1= J(x_1)2+ y2，化简得y2= 4x.(2)易求出抛物线C上的点A(4,4)，假设存在直线m与抛物线C相交于两不同的点B,C，使“ACAH的斜率为-

23、1，则直线m的斜率为 1，设直Jy2= 4x消去x化简得：Jy = x bb街，即b .3再由点到直线的距离公式可得0-1 1- m.m212圆心为C(0,4)，半径为 4，根据求曲线方程的方法可设M(x, y)，由向量的知识和几何关系: |PA| = 2 一10.2 2 (a + 1) + b = 40.a = 3a = 5由解得或lb =6b = -2圆心 P( 3,6)或 P(5, 2).2 2 2 2圆 P 的方程为(x + 3) + (y 6) = 40 或(x 5) + (y + 2) = 40.29如图，圆M与圆N交于A,B两点，以A为切点作两圆的切线分别交圆M和圆N于C,D两点

24、,由厶ABC DBA,/曰AC AB 5 22 CA2DA DB 102 DA2CF得1.10 分DE考点：弦切角定理、三角形相似、切割线定理30已知动圆C :(x- m)2(y- 2m)2二m2(m 0)(1)当m = 2时，求经过原点且与圆C相切的直线I的方程;73|01+1m，解得 m= ,3 .2即直线 l 的斜率等于土 .3，故直线 I 的倾斜角等于或33设 A(xi, mx m+ 1), B(X2,mx m+ 1)，由题意 2AP=PB可得 2(1 Xi, mx+ m)=(X2 1,me m),2 2x1= X2 1，即 2x1+ X2= 3. 2 2 2 2 2 2再把直线方程

25、y 1 = m(X 1)代入圆 C:X+ (y 1) = 5，化简可得(1 + m)x 2mx + m 5= 0，由根与系数m23关系可得1X1+ X2=2 m2m21由解得X1=m亠32，故点 A 的坐标为(m 1m23m21，21 2m mm21. .2把点 A 的坐标代入圆 C 的方程可得 m= 1,即m=l,故直线 I 的方程为 x y= 0 或 x+ y 2 = 0.28 .已知以点 P 为圆心的圆经过点 A( 1,0)和 B(3,4)，线段 AB 的垂直平分线交圆 P 于点 C 和 D,且|CD| = 4.(1) 求直线 CD 的方程；求圆 P 的方程.【答案】(1) x + y 3 = 0(2) (x + 3) + (y 6) = 40 或(x 5) + (y + 2) = 40【解析】(1)直线 AB 的斜率 k = 1, AB 的中点坐标为(1,2),直线 CD 的方程为 y 2= (x 1)，即 x + y 3 = 0.(2) 设圆心 P(a, b),则由 P 在 CD 上得 a + b 3 = 0.又直径|CD| = 410,(1)求AB的长;求CE【答案】(1)AB二5 2； (2