求函数解析式的方法练习题

1、求函数解析式的方法、代入法1、已知函数 f(x)=x 2+2x+a,f(bx)=9x 2-6x+2，其中 x R,a,b 为常 数，贝U f(ax+b尸2、已知 a,b 为常 f(x)=x 2 4x 3, f (ax b) x2 10x 24,则5a b 二、换元法1、f(l) x2 2,求f(x)的解析式 x三、待定系数法设二次函数f(x)满足f(x-2)=f(-x-2),且图像在y轴上的截距为1,被x轴截得的线段长为2 2求f(x)的解析式。四、配方(凑)法已知f(X+ 1)x2 4 ,求f(x)的解析式 X X五、构造法1、定义在区间(-1,1)上的函数f(x)满足2f(x)-f(-x)

2、=lg (x+1)则f(x)的解析式为 12、已知函数f(x)+3f( 1)=3xa#0)求£仪)的解析式x3、已知函数f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且满足f(x)+g(x)=x 2 +2x, 分别求f(x)、g(x)的解析式4、已知函数 f(x)=x 2 (a 1)x Iga 2(a R,a 2)若f(x)能表示成一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)的和，求g(x)和h(x) 的解析式.5、若函数f(x),g(x)分别为R上的奇函数、偶函数，且满足 f(x)- g(x)=ex,则有A、f(2)<f(3)<g(0) B、g(0)<f(3)<f(2) C

3、、f(2)<g(0)<f(3) D、 g(0)<f(2)<f(3)六、由已知对称轴、周期、已知区间上的解析式，求其他区间上的解 析式1、设直线x=1是函数f(x)的图像的一条对称轴，对于任意x6R,f(x+2)= f(x),当-1 w xw 1 时，f(x)=x 3证明：f(x)是奇函数当x 3,7时，求函数f(x)的解析式2、函数f(x)是定义在R上的偶函数，其图像关于直线 x=2对称，且 当x6 (-2,2)时，f(x)= x2 1,则当x ( 6, 2)时,求f(x)的表达式.3、已知函数f(x)的图像与函数h(x)=x - 2的图像关于点A (0,1) x对称。

4、(1 )求函数f ( X)的解析式。(2)若 g (x) = f (x) + 且 g (x)在区间(0 , 2 上 x为减函数，求实数a的取值范围。5 .已知f(x)的定义域为1,3,求f(x 1), f(x2)的定义域。6 .已知y f(x 1)的定义域为1,2,求f(x) , f(x 3)的定义域。f(x2 1)的定义域;7 .已知函数f(x)的定义域为0,5,求函数f (x 2), f(x2 2x 3)的定 义域；8 .已知函数f (x 3)的定义域为4,5),求f(2x 3),求动点的轨迹方程(例题，习题与答案)在中学数学教学和高考数学考试中，求动点轨迹的方程和曲线的方程是一个难 点和

5、重点内容(求轨迹方程和求曲线方程的区别主要在于：求轨迹方程时，题目中 没有直接告知轨迹的形状类型；而求曲线的方程时，题目中明确告知动点轨迹的形 状类型)。求动点轨迹方程的常用方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法与交轨法等；求曲线的方程常用“待定系数法”。求动点轨迹的常用方法动点P的轨迹方程是指点 P的坐标(x, y)满足的关系式。1 .直接法(1)依题意，列出动点满足的几何等量关系；(2)将几何等量关系转化为点的坐标满足的代数方程。例题 已知直角坐标平面上点 Q(2, 0)和圆C： x2 y2 1,动点M到圆C的切线长等与 MQ , 求动点M的轨迹方程，说明它表示什么曲线.解：设动点 M(

6、x,y),直线MNW圆C于No一、 一22依题意：MQ MN ,即MQ MN一222而MN MO NO ，所以一 2一2MQ MO 1(x-2) 2 +y 2 =x 2 +y 2 -1化简彳导:x=4。动点M的轨迹是一条直线。2.定义法分析图形的几何性质得出动点所满足的几何条件，由动点满足的几何条件可以判断出动点 的轨迹满足圆(或椭圆、双曲线、抛物线)的定义。依题意求出曲线的相关参数，进一步写出 轨迹方程。例题：动圆M过定点P (4, 0),且与圆C： x2 y2 8x 0相切，求动圆圆心 M的轨迹 方程。解：设M(x,y),动圆M的半径为 r。若圆M与圆C相外切，则有 I MCI =r +

7、4若圆M与圆C相内切，则有 I MCI =r-4而I M P I =r,所以1 MCI - I MP I =± 4动点M到两定点P(-4,0),C(4,0)的距离差的绝对值为4,所以动点M的轨迹为双曲线。其中a=2,c=4。动点的轨迹方程为：2 2二 L 14123.相关点法若动点P(x, y)随已知曲线上的点Q(x0, y0)的变动而变动，且x0、y0可用x、y表示，则 将Q点坐标表达式代入已知曲线方程，即得点 P的轨迹方程。这种方法称为相关点法。依题意有:解：设 M(x,y), A( xa, yB),例题：已知线段AB的端点B的坐标是(4,3),端点A在圆C：(x 1)2 y2

8、4上运动，求线段AB 的中点4 xa3 y ax- 2 , 二 222则：xA=2x-4, y a =2y-3,因为点 A( xa , yB )在圆 C : (x 1) y 4 上，所以_2_ 2(2x 4)(2y 3)4点M的轨迹方程为：(x 2)2(y D2 1动点M的轨迹为以(2,f )为圆心，1为半径的圆。4.参数法例题：已知定点A (-3,0), M、N分别为x轴、y轴上的动点(M、N不重合)，且AN MN ,点P在直线MN上，NP jMP o求动点P的轨迹C的方程。解：设 N(0,t), P(x,y)直线AN的斜率kAM3,因为ANMN ,所以直线MN的斜率kMN直线MN的方程为y

9、-t=NP(x,y t), mp3x,令 y=0 得 x=t t3(x (y)，所以点M( t- ,0)3由NP fMP,得3,t23x=2(x 3-), y-t=2 yx t2，则y 2t所以动点P的轨迹方程为：y2 4x5.交轨法例题：如图，在矩形 ABCD中，AB 8,BC 4,E,F,G,H分别为四边的中点，且都在坐标轴上，设OP OF,CQ CF( 0)。求直线EP与GQ的交点M的轨迹 的方程。则直线EP的方程为y,0), Q(4,2 2 ),x 一2 ,直线GQ的方程为2即 y+2= xy-2=-2两式相乘，消去即得M2的轨迹的方程为161(x练习与答案1 .设圆C与圆x2+ (y

10、.3) 2=1外切，与直线y =0相切，则C的圆心轨迹为AA.抛物线 B.双曲线 C.椭圆 D.圆,_22_22、2 .已知圆Mi：(x 4) y 25,圆M2：(x 4) y 1, 一动圆与这两个圆外 切，求动圆圆心 P的轨迹方程。121(x>0)3 .过点A(4 , 0)作圆O ： x2+y2=4的割线，求割线被圆 O截得弦的中点的轨迹。(x-2) 2+y 2 =4 (0<x<1)224 .已知圆C： (x 3) +(y-4) =1,动点P是圆外一点，过 P作圆C的切线，切点为 M, 且I PM| = | PO| (O为坐标原点)。求动点P的轨迹方程。，一 .，,2, 2

11、2.提不：I PO| = I PM| = PC 13x+4y-12=0 22225 .已知圆C1：(x 4) y 1,圆C2：x (y 2)1 ,动点P到圆C1, C2 P的轨迹方程。解：动点P到圆C1的最短距离为I PC1 | -1,动点P到圆C2的最短距离为I PC2 | -1,依题意有：I PC1 | -1= I PC2 | -1,即I PC1| = I PC 2 |所以动点P的轨迹为线段 C1c2的中垂线。所以动点P的轨迹方程为：2x+y-5=0 2 x 26 .已知双曲线 y 1的左、右顶点分别为 A3A2,点P (x,y2), Q (x1，以)是双曲线上不同的两个动点。求直线AP与

12、A2Q交点的轨迹e的方程。y17=(x 扬,两式相乘 y2 x1,22六( 2),解：由A,A2为双曲线的左右顶点知，A(亚,0), A2(我,0),AP：yy1 l(x 匹，A2Q： yx1* 22因为点P(x1,y1)在双曲线上，所以 y222必x；2，故 y22；(x2 2)，2所以y2221,即直线 AP与A2Q交点的轨迹E的方程为 y2 122 .7 .已知曲线C : y x与直线l:x y 2 0交于两点A(xa, Ya)和B(xb , yB),且xa xb .记曲线C在点A和点B之间那一段L与线段AB所围成的平面区域(含边界)为D .设点P(s,t) 是L上的任一点，且点P与点A

13、和点B均不重合.若点Q是线段AB的中点，试求线段PQ的中点M的轨迹方程。解：(1 )联立yx2与y x2得Xa一，1 51,Xb 2,则AB中点Q(,),设线段PQ的中2 2点M坐标为1(x, y),则 x -s-yr c 1-即 s 2x -,t 2y 25一,又点P在曲线C上,22y1 2 , 曰(2x -)化简可得又点P是L上的任一点，且不与点A和点B重合，1 c1 2x - 22中点M的轨迹方程为115一)48.已知点C(1, 0),点 A、B 是。O: x9上任意两个不同的点，且满足ACBC0,设P为弦AB的中点。求点P的轨迹T的方程。2_ 2_2|OP | |AP| |OA|即 |

14、OP |2设点P (x化简，得到|CP|2 9y),有(x29.设椭圆x22x x2y41 JOP (OA2y2) (x 1)2 y24。过点M (0,1)的直线lOB),当l绕着M旋转时,解：直线l过点M (0,1),设其斜率为k,记人丫力，B(x2, y2),由题设可得点交椭圆于A、B, O为坐标原点，点求动点 P的轨迹方程。则直线l的方程为y kx 1,A、B 的坐标(Xi, y1)(X2, y2)P满足y kx 1是方程组2 y2的解，其方程组中消取 y得（4 k2）x2 2kx 3 0x 14xix22k4 k2yiy284 k21 OP (OA OB)2，点P的坐标为（丁，丁）-)

15、, 2 4 k2k 即：点P为（kk设点P为（x,y）,则P点的轨迹参数方程为4 k4 k2（k为参数）4消去参数k得：4x2 y2 y 0当斜率k不存在时，A B的中为原点（0故：动点P的轨迹方程为4x2 y2 y 0。10.设圆 C 与两圆（x J5）2 y2 4,（ x J5）2 的圆心轨迹L的方程。4 k2,0）也满足上述方程，2y 4中的一个内切，另一个外切。求圆 C解：两圆半径都为 2,设圆C的半径为R两圆心为F1（ J5, 0）、F2（J5, 0）,由题意得 R |CF1 | 2 |CF2| 2 或 R |CF2| 2 |CF1 | 2,IICF1 | El 4 275 |0,2

16、2x y可知圆心C的轨迹是以F1, F2为焦点的双曲线，设方程为1,则a b22a 4, a 2, c 75, b2 c2 a2 1,b 1 ,所以轨迹L的方程为上 y2 1 .411.如图所示，已知 P （4, 0）是圆x2 y2 36内的一点。A、B是圆上两动点，且满足 APB 900,求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.解：设 R(x,y),依题意，有I OR I 2 + I RA| 2 =36，而 | RA | = | RP | ,所以I OR I 2+ I RF31 2=36,即2222”x y (x 4) y 36化简彳导:(x 2)2 y214设Q(X, Y),因为R(x,y)是Q

17、P的中点，所以有4 X x=2,y= -2，故4 X(-22 Y 22)(2)14化简得:X2 Y25612.在平面直角坐标系 xOy中，直线l:x 2交x轴于点A,设P是l上一点，M是线段OP 的垂直平分线上一点，且满足 /MPO=/AOP。当点P在l上运动时，求点 M的轨迹E的方 程。解：叫图1,设MQ为线段OP的垂直平分线，交 OP于点Q,: MPQ AOP, MP I,且 |MO|MP|.因此&/ |x 2|,即y2 4(x 1)(x1).另一种情况，见图 2 (即点M和A位于直线OP的同侧)。1=-2图图2:MQ为线段OP的垂直平分线，“MPQMOQ.MPQ AOP, MOQ AOP.因此M在x轴上，此时，记 M的坐标为(x,0).为分析M (x,0)中x的变化范围，设 P( 2,a)为I上任意点(a R). 由|MO | |MP |(即 |x| ：(x 2)2 a2 )得，x 1 1a21.4故M (x,0)的轨迹方程为y 0,x1综合和得，点24(xy0,1),xM轨迹E的方程为1,1.213.点M是椭圆1上的动点。如图，点A的坐标为（1,0）, B是圆x2N是点M在x轴上的射影，点 Q满足条件：OQ OMON , QA BA =0,y2 1上的点,求线段QB的中点P的轨迹方程;解:仅 M( xm , ym), B(xb，yB)Q(x