江西财经大学微积分试卷及答案

1、江西财经大学微积分期末考试试卷一、单项选择题（从下列各题四个备选答案中选出一个正确答案，并将其代码写 在答题纸的相应位置.答案选错或未选者，该题不得分.每小题2分，共14分.）f (x, y)在点(Xo, yo)处1 .若 fx（xo,y。），fy（xo,y。）存在，则函数A. 一定可微B. 一定连续 C.有定义D.无定义.2 .设z(1 y)xy,则 zx(1,1)A. 2B. 13 .设Ilim( 口 nC. 2ln 2二1),则D. ln2.1 1A. dx0 xB.4 .设 f (x)n 二 dx x1C.1xdx0D.jx.xA. 0 B.C.5 .设 f (x, y)sin x0

2、f (x)dxf (x, y)在由 yD.2(e1 1).x及x 1围成的平面区域D上的平均值为.A. 1 cos1C. 1 sin1B.D.2cos12sin16 .设一阶微分方程的通解是cex2则此微分方程是A.12dy x ydx 0B.dy2xydx 0C.2dy x ydx 0D.dy2xydx 0.7.设y f（x）是微分方程y2y3y0满足条件y（0） 0, y（0） 1的特解，则第12页共6页.答错或未答，该题不得分.每f(x)dx13x1 xB.13x1 xe-ecye- e4412413x1 xD.13x1 xe-eye一 e44124c二、填空题（将正确答案写在答题纸的相

3、应位置 小题2分，共14分.）C. yA. y1 .已知方程xz ln y Inx确定函数z f(x, y),则-z y2 .已知 f (x) sin x ,则 f(x)dx axarctan xdx3 .若 lim -2 1,贝U ax 0 x4 . 0 xe xdx .2n 12 n!n5 若ex土，则级数n 0 n!、“，、，1 y22 y6 .父换二次积分次序 °dy ° f(x, y)dx dy 。 f(x, y)dx7 . 2（x2 3x 1） .三、求下列积分（请写出主要计算步骤及结果，每小题 6分，共18分.）/1c2 x2, c2 x5. e 6.0 dx

4、 * f （x, y）dy 7. 2三、求下列积分（每小题6分，共18分.）1.11八、d dx2tdt（2 分）x、x 1（1 t ）t1 ,.1. dx 2.dx 3. arctanxdx .x .x 10 4 x20四、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）2Z 设函数 z f （x y,xsiny）, 求 dz和.x y五、（请写出主要计算步骤及结果，6分.）求由曲线y x2,直线y 2x所围成的平面图形的面积，并求此平面图形绕y轴 旋转所形成的立体的体积.六、（请写出主要计算步骤及结果，6分.）求（x x2 y2）d ，其中 D:x2 y2 1.D七、判断级数的敛散性，如收敛，指出是绝

5、对收敛还是条件收敛（请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.）, 2n1.(1)n12n 1n八、（请写出主要计算步骤及结果，8分.）求幕级数 UJ（x 1）n的收敛半径，收敛区间及和函数 n 1 ez （单位均为吨）满足九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.） 某产品的产量 Q与原材料甲，乙，丙的数量Q 0.05xyz,已知甲，乙,丙的价格分别为 3, 2, 4 (单位为百元)，若用5400元购买甲，乙，丙三种原材料，问购买量分别是多少，可使产量最大 .十、证明题(请写出推理步骤及结果，6分.)设函数f(x)是连续函数，证明：2aa 0 f(x)dx 0f(x) f (2a

6、 x)dx.b2b 2(2) ( f(x)dx) (b a) f (x)dx.aa2sin t2 4sin * 1 2 310 2cost2cos tdt024sin2tdt（2分）试卷答案和评分标准2，（1 cos 2t ）dt（4 分）1K八、2（t -sin 2t）2（6分）21arctanxdx x arctanx001x2 dx x四、dz4 2ln(1 x2)01ln24 2(4分)(请写出主要计算步骤及结果，8分.)fi (xfi (xdxxflly,xsiny) f2(x y,xsiny)sinyy,xsin y)f2 (x y,xsin y) (xcosy)(2分)(4分)d

7、y f1 (x y, xsin y) f2 (x y,xsin y) sin ydx yf1(x y, xsin y) f2 (x y,xsin y) (xcosy)dy(x y,xsin y) xcosyf12 (x y, xsin y) f21 (x y,xsin y) sin yxcosy sin yf22 (x y, xsin y) cosyf2 (x y, xsin y)五、(请写出主要计算步骤及结果，6分.)(8分)(6分)2221 3s 0 (2x x )dx (x -x )3Vy04( . y)1 2 3 (»dy24031 12(2y(3分)1 3、-y)12(6分

8、)八、(请写出主要计算步骤及结果,(x x2 y2)dD210 d 0(rcosr2)rdr(2分)(-r3cos3-r4)410d七、(请写出主要计算步骤及结果，每小题6分，共12分.)1.因为lim nun 1Unlim nn 1(1)n 1 22(n 1)22n n 1 21)2n(3 分)2n所以 （1）n122发散。（6分）1,0 1 n而；发散，所以n 1 './nn 1工1 .n 1发散。（3分）（711是交错级数，且满足n 1 n n 1-1-Jim -1- n 2 n . n 1所以 二收敛，且为条件收敛n 1 rLn 1(6分)八、（请写出主要计算步骤及结果,tn(

9、1)nln(3分)limnx 1 ,则(1)n(X 1)nn 1 ene,级数 （ n 11)nene1）n发散e,级数 （ n 11)n(ne)ne1发散n 1因此e x 1 e,收敛区间为 1 e x 1 e(6分)(1)n(xex 1e1立ex(8分)e 1 x九、经济应用题（请写出主要计算步骤及结果，8分.）拉格朗日函数为L(x,y,z, ) 0.05xyz(3x 2 y 4z 54)(2 分)0.05yz 3)0.05xz 2)0.05xy 4 3x 2y 4zx 6, y 9,z (5分)Lx(x, y, z, 由 Ly(x, y, z,Lz(x, y, z, L (x, y, z

10、,)解得唯一驻点：00054 04.5(7 分)所以购买量分别是6, 9, 4.5吨时，可使产量最大 （8分）十、证明题（请写出推理步骤及结果，6分.）2aa2a(1) v 0 f(x)dx ° f(x)dx f(x)dx2ax 2at °ax)dxa f(x)dx a f(2a t)dt 0 f(2aao f (x) f(2a x)dx.(3分)2aaa° f (x)dx ° f (x)dx ° f (2a x)dx(2)设D (x, y) a x b,a y bb2'( f(x)dx) abbf(x)dx f(x)dx aabf (x)dx f (y)dya_1_2_ 2f(x)f(y)dxdy2 f (x)f (y)dxdyD4D1 ,2, 、， ,1,2,、，,一 f (x)dxdy -f (y)dxdy2 D2 D(b a)2f2(y)dy1 b 2 bf (x)dx dy2 aa(b a) b.2/ f (x)dx2 ab 2(b a) f (x)dxab 2bf (y)dy dxaab9 b(f(