指对同构(学生版)

1、常见的指数放缩:ex1(x 0);ex常见的对数放缩:1n x x 1(x常见三角函数的放缩:同构基础:ex(x 1)切线不等式1)； 1n x x (xee)0 一 ,sin x，2x tanx7学习指对数的运算性质时，曾经提到过两个这样的恒等式:(1)当a 0 且 a 1, x 0 时，有 a1ogax x(2)当 a 0且 a 1 时，有 1ogaax x再结合指数运算和对数运算的法则，可以得到下述结论（其中(3)xxex 1n xe ;xln x ln xex(4)x 1nx e : xx.e1n x 1nx(5)x 21n xe ； x21n x In(6)xe2xxx 21n x

2、ee ， 2 xx 21n xe再结合常用的切线不等式1nxX-1,1n xx,ex e1,exex等，可以得到更多的结论，这里仅以第（3）条为例进行引申:xxe1n x1n xIn xInxxexxex(8) xe1n xe(x ln x).1n xInxxexxex 1xe注：所有公式先证后用，否则扣分。1.指数exx卜面我对其原式如果我把原式如果我把原式如果我把原式如果我把ex对于常见的变换:2.卜面我对其原式如果我把原式如果我把ex如果我把原式如果我把原式1切线的放缩的推广“加减乘除”并进行推广:x替换成了 x a则又变成了： exx替换成了用x Inx则又变成了:x替换成了 x 1则

3、又变成了：eX 一ex中的X替换成了 一则又变成了:nXe3“丢xeXXena 1 切点：x ax In xX.切点:e X(xn1,切点：x In x 0x00)1 ,又可表本为：ex ex）切点：X0.5681换x”3 3.X e X 1 3 e - x272并进行推广:1丢掉，则变成了： ex x；X中X替换成X ,则变成了:令:x替换成x,则变成了:X替换成In2,3.常见函数的切点构造派对于原式我们还可以有:ex ex (x 1) 2(x 0) . ex;二数x 1Inx切线的放缩推广1.下面我对其原式“加减乘除”并进行推广:派如果我把原式X替换成了则变成了:ex1 X则又变成了:X

4、e2x；1；(X1)2(xIn (1 x)2X;4取倒数取倒数2. X ；-e X；e 2（泰勒展开）；x,(x1)3 X 一; 27令:nXnn皿 1,取：X 一则:n1,In(nn1) Inn;取:派如果我把原式X替换成了1 ,、，一则又变成了:xInx则：n 1 n 1, 1,1 - xInx x2.对均不等式的两种证明与几个重要的不等式链In(n1 ,(x x,(x X0)1)2x 2 2In21) Inn; ab(a b) 一两个正数a和b的对数平均定义：L(a,b) 1na 1nb(a b),对数平均与算术平均、几何平均的大小关系:a(a b).ab L(a,b)a b(此式记为对

5、数平均不等式)2取等条件:当且仅当 a b时，等号成立.只证：当a b时,v'abL(a,b)ab .不失一般性，可设 a2b.证明如下:(i)先证：jabL(a,b)(II )不等式a ba1n a 1n b _ 1n ；abb21n1 一，x x 一(其中xxa 1)构造函数f(x)，1、，21n x (x -),(x x(x)12 x(1 1)2.x因为x 1时,f (x) 0 ,所以函数f (x)在(1,)上单调递减，故f(x) f 0 ,从而不等式成立;a b(II )再证：L(a,b)2不等式1n a 1n b2a9a b,a 1nb1)1n x2(x1)构造函数g(x)1

6、n x1),则g (x)因为x 1时,g (x)0,所以函数g(x)在(1,综合(I) (II)知,对 a, b1)(x 1)(其中x(x 1)222 .(x 1)2x(x 1)2)上单调递增，故g(x)R ,都有对数平均不等式 TabL(a,b)g(1)0 ,从而不等式成立;成立,当且仅当ab时，等号成立3.定义：设 a 0,b 0,ab,则贷ab <ab ,其中1n a In ba b为对数平均数。1n a 1n b4.重要不等式链的证明_ 11(x )2x1n x2(x 1)x 1(0 2(x 1)x 1In1(x 1 2 x1,). 一 ，一1证明：构造函数f (x) ln x

7、_ (x11In x> (x)；当 x >1 时 ln x2x1), x1f (x)12x2(x 2)20 ,而 f(1) 0 ,故当 0Vx<1 时，2x22(x- y构造函数g(x) in x_2,x 1，、1则 g(x) x4(x 1)2(xx(x1)21)20,而 f 0,故当 0vx<1 时，lnx< 2(xT) ； x+ 1当x 1时，in x2(xT) (证明对数平均不等式的常用模型).x+ 1把上式中的1 x(x 2) “2x1ln(x 1)2xx 2(1必；x所以,2x2ln(x1)x(x 2)x 10,).整理得:2xx 2In(1 x)2(1

8、11x)x,(x 0)11(12x)In(1x)2xx 22x x,( 1 x 0)21 1,(x 0)xIn(1x)11x,(x 1)过定点0,1e,e0,151 e,-e1,e11- e1, 1y xln x1 1e ey In x xy In x x11,- exy xexy e xxy e xx y e函数极值点In x yx 函数极值点x e y 一xx yln x函数极值点V/L- 1 - 1/4t/7 T -p -1 O4号iT7X上f41 一I -1 0 .1! ；jFLj同构基础：同构式的基本概念与导数压轴题1、同构式：是指除了变量不同，其余地方均相同的表达式2、同构式的应用

9、：(1)在方程中的应用：如果方程 fa 0和f b 0呈现同构特征，则 a,b可视为方程f x 0的两个根(2)在不等式中的应用：如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造为一个函数，进而和函数的单调性找到联系。可比较大小或解不等式。同构小套路指对各一边，参数是关键；常用“母函数”： f x x ex , f x ex x ；寻找“亲戚函数”是关键；信手拈来凑同凑常数、x、参数；复合函数(亲戚函数)比大小，利用单调性求参数范围(3)在解析几何中的应用：如果 A xi,yi ,B x2,y2满足的方程为同构式，则 A,B为方程所表示曲线上的两点。特别的，若满足的方程是直线方程，则该方程即

10、为直线AB的方程(4)在数列中的应用：可将递推公式变形为“依序同构”的特征，即关于an，n与an i,n 1的同构式，从而将同构式设为辅助数列便于求解171 .若 0 x1x21 ,则(AX2X1XiX2XiX2X1X2.e eIn x21nxlB. e elnx2Inx1C.x2ex1eD.x2ex1e2 .已知函数f x alnx bex 1 (a 2)x a. (a,b为常数)若b 2 ,若对任意的x i, , f x0恒成立,求实数a的取值范围.3 .已知函数f x x In x i , g x exxi.若gx kf x对x 0,恒成立，求实数k的取值范围.4 .已知函数f x ex

11、 mx i ,其中e是自然对数的底数.若关于x的不等式f x In x i 0在0, + 上恒成 立，求实数m的取值范围.5 .已知函数f(x) ax lnx(a R) .当a i时，不等式xex i f(x) m对于任意x (0,)恒成立，求实数 m的取值范围.6 .已知函数f(x) lnxa,(a R) , g(x) e2x 2 .若f (x) g(x)在(0,)上成立，求a的取值范围. x7.已知函数f(x)x e一 a(lnx x).当a 。时，求f (x)的最小值. x8.设 f xxex ax2 , g xIn x x x2 1 S.当 a 0 时，设 h x f x ag x 0

12、 恒成立, a求a的取值范围.9.已知函数 f (x) xex a(x Inx).若 f(x) 0 在 x 1 ,)恒成立，求实数a的取值范围.a .10.函数 f(x) (x )Inx,g(x) memx m,当 a 1 时，不等式 2f (x) g(x) 0 恒成立，求 xm的取值范围()1 一11.已知 a 0,函数 f(x) ax Inx ,右 a ,证明 f(x) 1 xe e12.若对任意的x 0,恒有a(eax 1) 2(x -)Inx ,则实数a的最小值为() x13.已知 x0时函数 f(x) x2ex 2 Inx 2 的零点，则 e2 x0 Inx0()14.已知x0是方程

13、x3ex 421nx4 Xo4 0的一个根，则b 2Inx0的值是（）15.已知函数f(x)x+mex ln x 12 .当 m 1时，证明：f x g(x)16.已知函数xmeln x1.当m 1时，证明：f x 1.17.若 f(x)xexax, aR,g(x) axaInx aInx(a 1)x,当 x (1,)时，若 f (x)g（x）恒成立,a的取值范围（18.已知函数ax(e1)Inxax2 ax, (a0)在 x 1,）有三个不同的解，求 a的范围?19.设实数0,若对于任意的x （0,7 Inxe x 0恒成立，则的取值范围?20.若不等式xexInx 1 kx对任意的x 0都

14、成立，则k的取值范围（21.已知 f(x)Inx x xex1,求 f(x)最大值22.已知函数f （x）xex Inx x 2 最小值为 a , g(x)x 2e Inx x最小值为b则（A. a b B. ab C. a b D. 不确定）恒成立，则实数 a的取值范围（123 .已知不等式x aInx x对x (1, e12（x ）g（x）恒成立，则实数t的范围（ xx24 .已知函数 f (x) e2 , g(x)Inx ,当 x 0 时，t f2t (x) 125 .不等式x（e2x 2a） x Inx 1恒成立，则a得取值范围为（xe26.已知函数 f (x) aInx ax xe2,若对任意x （Q），都有f （x） 0恒成立，求实数a的取值范围（27.（焦作市2021届高三一模理12）已知对任意的a,b R都有（b a）eb a be b a恒成立，则实数 的取值范围（）28.已知函数f(x) Inx ax 1 0恒成立，则实数 a的取值范围()29.已知函数的最小值(f (x) x Inx, g (x)