均匀导电球模型中2n极子电位的解析解

1、    均匀导电球模型中2n极子电位的解析解        本文借助电位多极展开的思想，发展了一种计算均匀导电球模型中2n极子电位的解析方法，并具体给出了常见的偶极子(n=1)和四极子(n=2)两种特殊情况的电位公式。这些公式可用于以均匀导电球模型为基础的，脑电、心电研究中的电位的精确计算。关键词:2n极子；球模型；解析解；EEG分类号:R318.04 0前 言均匀导电球和偶极源模型是理论EEG，ECG和MEG等问题中常用的近似模型，四极子则常作为对偶极源模型的修正而用于同样

2、的问题中。对于偶极源，文献中已有关于它在多层球、椭球以及各向异性多层球中所产生电位的研究报道1，但一般都假设它是位于一些特殊的位置上的1，2。显然，这样的解对逆问题的研究是不合适的，因为在逆问题的研究中不宜对未知的源模型作过多的先验性假设，或者说逆问题的研究需要电源任意分布情况的解析解。从笔者所及的文献看，Wilson等在1950年首先推导了均匀导电球中偶极子电位的计算公式3，Frank在1952年进一步给出了略为简洁的形式4，Brody等在1973年基于导联场概念导出了适合球表面上各点的严格公式5，正是这些工作成了后来许多工作的基础。然而，Wilson及Frank所给出的近似公式在一些特殊的

3、位置上会出现被零除或其他无意义的情况5，而Brody等所给出的公式又不能用于计算球内诸点的电位5。国内朱代谟先生近年在心电研究中导出的偶极子电位公式也只适合于球表面电位的计算6，7。我们最近在开展脑电三维映射成像研究的过程中，则导出了任意分布位置且任意取向的偶极子，在均匀导电球模型中所产生电位的解析计算公式，该公式既适合于球内，也适合于球表面，且对于球面上的场点，公式自动简化为Brody(1973)等所导出的公式8。本文中，我们基于电位多极展开理论9，进一步导出了位于均匀导电球内任意位置，且任意取向的2n极子(n=1,2)在球内及球表面所产生电位的计算公式。对于n=1时的偶极子情况，公式与文献

4、一致8，对于n>1时的四极子等情况，作者尚未见文献有类似的研究报道。12n极子电位的解析解根据Frank(1952)的研究，均匀导电球内的电流元即零极子(2n,n=0)所产生的电位为4(1)式中为电导率，I为电流元的强度。设电流元位于(X1，X2，X3），场点位于(X，X，X），则式(1)中R为球的半径，直角坐标系的原点位于球心。现假设在附近的小区域内有一电流元的分布，区域的线度为l，电流元的密度为i(标量)，则根据叠加原理，这些分布源在均匀导电球中所产生的电位为式中根据多元函数微分知识可知，如果u(,）有关于）的任意阶连续偏导数，且-l，则u(,）可在处展成如下张量形式的Taylor级

5、数：式中为内某一点，表示对求导。将式(2b)代入式(2)得式中根据电位的多极展开理论9，I，,依次为位于处的电流零极子点电流的强度，电流偶极子的偶极矩矢量，电流四极子的四极矩张量，由此可见，附近的任意电流无分布所产生的电位，总可以用位于的零极子、偶极子、四极子2n极子的贡献去合成，同时，在数学上，由后面的式(5)、式(8a)、(8b)可以看出，u(,)在处有关于的任意多阶连续导数，因此，式(3)构成了标量电位的多极展开。特别地，若附近的电流元分布只相当于位于处的一个偶极子，即式(3a)、(3c)及更高阶的矩均匀零，则式(3)自动退化为位于 处的一个偶极子的电位公式，即(4)式中Pxi为偶极矩的

6、直角坐标分量，类似地可以写出四极子、八极子等任意2n极子的电位公式。由于公式中u(,)的形式是已知的(式(2a)，因此，只要利用简单的微分运算即可求出想求的任意2n极子所产生电位的解析表达式，这说明式(3)实际上已给出了均匀导电球模型中任意2n极子所产生电位的解析解。作为示例，下一节中具体给出了偶极子和四极子的电位表达式。2示例(1) 零极子。零极子即点电流元，它的电位解为式(3)的第一项，也即式(1)。(2) 偶极子。本文所述的电流元偶极子由无限接近的异号电流元构成。沿I为电流元强度，为异号电流元-I到I的位移，则偶极矩=I。由式(2a)及式(1a)、(1b)、(1c)和(1d)有将式(5)

7、代入式(4)即得位于(X、X、X)，偶极矩为(Px1、Px2、Px3)的偶极子的电位解：式(6)既适合于球内(r<R),也适合于球表面(r=R)，对于球表面上的点，相应地式(6)简化为式(6)、式(7)表明，当偶极子处于有限导电球内时，它的位场中不仅有偶极成分(式(6)、式(7)的第一项)，还包含有由有限区域所引入的非偶极感应场(式(6)、式(7)第一项以外的部分)。特别地，当偶极子位于球心时，Xi=0(i=1,2,3)式(7)简化为式中为与场点的夹角，即=(,)。式(7a)表明，位于有限导体球心的偶极子在球面上所形成的电位，等于它在无界空间中相同球面上的电位的3倍，这一现象充分说明了有

8、限导电球模型对偶极子电位有巨大影响，将式(6)、式(7)与有关文献结果比较可见，式(7a)与Brody等(1973)所给出的公式一致，式(6)则与文献8所得结果一致。(3) 四极子。本文所述的电流元四极子由电流元偶极子按一定的规则构成，如Q33即是由沿X轴取向，且无限靠近的一对电流元偶极子+和-组成的9。根据式(3)，四极矩的电位解为：式中Qij为四极矩的分量，i,j=1,2,3,下面我们具体给出的形式。由式(5)得对于球面上的点，r=R,rPi=Rrp,式(8a),(8b)分别简化为和若进一步假设四极矩位于球心，则式中i,j为球面上的场点与Xi,Xj轴间的夹角，作为示例，我们进一步考查一下Q

9、33的电位。由式(8)及(8f)得Q33在球面上所形成的电位为显然的最大值位于z=0和处，即Z轴与球面的交点，最大值为，最小值位于Xy平面与球面的交线所形成的圆环上，最小值为-，又由文献9知，当Q33位于无界空间中的坐标原点时，它在半径为R的球面上的电位为显然，与的最大值、最小值的位置相同，因而电位分布的形貌相似，但的最大值(Z=R)为，最小值(Z=0)为-,由此可见，与并不存在简单的比例关系。式(9)和式(10)的差异充分显示了有限导电球模型对四极矩电位的巨大影响。3结束语本文发展了一种计算位于均匀导电球模型中任意位置，且任意取向的2n极子所产生电位的解析方法，并具体导出了偶极子和四极子电位

10、的解析表达式。显然，这些公式对于以均匀导电球模型为基础的心脑电研究是有用的，同时，本文的研究思路也为进一步探讨更复杂模型的解析解展示了一条可能的新途径。最后，我们指出，随着现代电子计算技术的发展，直接用计算机数值求得心脑电边值问题的工作已取得很大的进展10，国内也在这方面作了一些有益的探索11，12。数值方法的好处是可以处理比较接近实际的模型，但存在计算量大、因果性不明显等缺点，而解析法则具有计算量小、结果准确、可从解析表达式直接分析前因后果等优点，但是，解析法常常只能处理一些简单规则的模型，因为无法求出复杂模型的解析解。因此，在实际工作中，应根据研究对象的特点、研究条件和研究目的，在解析法与

11、数值法间作合理的选择，当然也可以在不同的阶段使用不同的方法。(本文承中国医学物理学杂志主编，第一军医大学教授朱代谟先生提供部分文献，并承评阅人提出了许多好的意见，特此一并表示衷心的感谢!)国家自然基金资助项目1994年7月14日收稿,1995年5月15日修回4参考文献1Munck JC. The potential distribution in a layered anisotropic spherical volume conductor. J Appl Phys, 1988,64(2):4644702Cuffin BN. Eccentric spheres models of the h

12、ead. IEEE Trans BME, 1991,38(9):8718783Wilson FN and Bayley RH. The electric field of an eccentric dipole in a homogeneous spherical conducting medium. Circulation, 1950, 1:84924Frank E. Electric potential produced by two-point current sources in a homogeneous conducting sphere. J Appl Phys, 1952,23

13、(11):122512285Brody DA. Eccentric dipole in a spherical medium: generalized expression for surface potentials. IEEE Trans BME, 1973,20:1411436朱代谟等.心电偶极学说研究.中国生物医学工程学报，1993，12(4)：2612677朱代谟.偏心电偶极子在均匀弱导电介质球表面所产生的电势的一种新计算方法.医学物理，1991，8(3)：12158尧德中.均匀导电球头模型中偶极子电位的一般性解析解.中国医疗器械杂志，1994，16(6)：3143189全泽松.电磁

14、场理论.成都：成都电讯工程学院出版社，1987，141910Kilpatrick D, Johnston PR. Qrigin of the Electrocardiogram. IEEE Eng Med Biol Mag, 1994,13(4):47948611徐振耀，符影杰，吕维雪.一种在微机上实现的心电仿真模型.北京生物医学工程,1991，10(3)：13814612云正清，谭邦定，俞集辉.解心电场逆问题的正则化方法边界元途径.生物医学工程杂志，1994，11(3)：222225CLOSE SOLUTION OF ELECTRICPOTENTIAL PRODUCED BY 2n TH-O

15、RDER MULTIPOLEIN A HOMOGENEOUS CONDUCTING SPHEREYao Dezhong(Department of Automation, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 610054)ABSTRACTBased on theory of multipole expansion, the close solution of electric potential produced by 2n th-order multipole in a homogeneous conducting sphere was derived, and the concrete expression of the potential produced by a dipole or a quadr