数学必修ⅴ北师大版3.3 第2课时基本不等式与最大学案+练习

1、第2课时基本不等式与最大（小）值知能目标解读1.进一步巩固基本不等式求最值时成立的条件.2.能够运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的意识与能力.重点难点点拨重点：应用基本不等式进行不等式的证明与求最值.难点：1.不等式的综合应用.2.逆向不等式的运用.学习方法指导1.注意基本不等式的基本形式是“和的形式积的形式”,还要注意“反向”不等式.在解题中的灵活运用.2.注意对字母轮换式的识别，从而通过某种形式的迭加或迭乘使问题获解.3.重视化归思想的运用，等式与不等式之间的转化、不等式与不等式之间的转化、函数与不等式之间的转化等等.要把握准转化的条件，达到化归目的.知能自主

2、梳理常见的不等式：1.a2+b2(a、bR).2.ab（）2 (a、bR).3.若0<a<b,m>0,则.答案1.2ab2. 3.>思路方法技巧命题方向不等式的证明技巧字母轮换不等式的证法例1已知a、b、c是正实数求证：+a+b+c.分析由可要证的不等式两边是三项，而均值不等式只有两项，故可尝试多次使用均值不等式.证明a、b、c是正实数，2=2c(当且仅当,即a=b时，取等号);+2=2a(当且仅当=,即b=c时，取等号)；+2=2b(当且仅当=,即a=c时，取等号).上面3个不等式相加得2·+2·+2·2a+2b+2c(当且仅当a=b=c

3、时，取等号).+a+b+c.说明1.使用均值不等式时，一定要注意是否满足条件，等号能否成立.2.对于证明多项和的不等式时，可以考虑分段应用均值不等式或其变形，然后整体相加（乘）得结论.变式应用1已知a,b,c为两两不相等的实数，求证：a2+b2+c2>ab+bc+ca.解析a2+b2>2ab，b2+c2>2bc，c2+a2>2ca，以上三式相加得：2(a2+b2+c2)>2ab+2bc+2ca，a2+b2+c2>ab+bc+ca.命题方向利用均值不等式证明不等式例2已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1.求证：9.解析解法一：a>

4、;0,b>0,c>0,=3+=3+()+()+()3+2+2+29.即9（当且仅当a=b=c时取等号）.解法二：a>0,b>0,c>0,（a+b+c）()=1+=3+()+()+()3+2+2+29.9（当且仅当a=b=c时取等号）.说明含条件的不等式证明问题，要将条件与结论结合起来，寻找出变形的思路，构造出均值不等式，在条件“a+b+c=1”下，1的代换一般有上面两种情况，切忌两次使用均值不等式，用传递性证明，有时等号不能同时取到.变式应用2已知a、b、c为正数，求证: +3.解析左边=.a,b,c为正数，2（当且仅当a=b时取“”）；2（当且仅当a=c时取“”

5、）；2（当且仅当b=c时取“”）.从而()+()+()6（当且仅当 a=bc时取等号）.-33.即 +3.探索延拓创新命题方向利用基本不等式求范围例3当x>0时，求f(x)=的值域.分析此题从形式上看，不能使用算术平均值与几何平均值定理，但通过变形之后，f(x)=在分母上可以使用基本不等式.解析x>0,f(x)= =.x+2,0<.0<f(x)1.当且仅当x=1时取“=”号.所以函数f(x)的值域为(0,1.说明本题中若没有x>0的限制，仅有xR，那么应如下求解.当x>0时，同上.当x<0时，x+-2，-<0.-1f(x)<0.当x=0时，

6、f(x)=0.-1f(x)1.函数f(x)的值域为-1，1.变式应用3设abc,且恒成立，求m的取值范围.解析由abc知：a-b0,b-c0,a-c0.因此，不等式等价于m,要使原不等式恒成立，只需的最小值不小于m即可.=2+2+2=4.当且仅当，即2b=a+c时，等号成立.m4,即m(-,4.名师辨误做答例4已知0<x<1,求函数f(x)=3+lgx+的最值.误解f(x)=3+lgx+3+23+2×27，f(x) min=7.辨析0<x<1,lgx<0, <0,不满足“各项必须全为正数”这一前提条件，不能直接应用基本不等式.正解0<x<

7、;1,lgx<0, <0,-lgx>0,- >0,(-lgx)+(- )24，当且仅当-lgx=-,即lgx=-2,x=时，取等号.lgx+-4.f(x)=3+lgx+3+（-4）1.f(x)有最大值-1.课堂巩固训练一、选择题1.若b>a>0,则下列不等式中一定成立的是（）A.a>>>bB.b>>>aC.b>>>aD.b>a>>答案C解析b>a>0,显然有b>,>a,由均值不等式有>,故选C.2.已知a0，b0，且a+b=2,则（）A.abB.abC.a2

8、+b22 D.a2+b22答案C解析由a+b=2,得ab（）2=1,排除A、B；又（）2,a2+b22.故选C.3.用长度为24米的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为（）A.3米B.4米C.6米D.12米答案A解析解法一：设隔墙的长度为xm,则矩形的宽为xm,长为=（12-2x）m,矩形的面积为S=（12-2x）x=-2x2+12x=-2(x-3) 2+18,当x=3时，S取最大值,故选A.解法二：(接解法一)S（12-2x）·x=2(6-x)·x2·=18当且仅当6-x=x即x=3时取“”.故选A.二、填空题4.若x>0

9、，则33x+的最小值为.答案9解析x>0,3+3x+3+2=3+2×39.当且仅当x=1时，取等号.5.设x,yR，且x+y=3，则2x+2y的最小值为.答案4解析x+y=3,y=3-x,2x+2y=2x+23-x=2x+2=4,当且仅当2x=,即2x=2,x=,y=时，等号成立.三、解答题6.设a0，b0，a2+=1,求a的最大值.解析a2+=1,a2+=,a=·a··.当a2+=1且a=,即a=,b=时，a的最大值为.课后强化作业一、选择题1.设a0,b0，若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（）A.8B.4C.1D.答案B解析由已知，得3a

10、·3b=3,3a+b=3,a+b1.a>0,b>0,=()(a+b)=2+2+4，当且仅当a=b=时，等号成立.2.若x0,y0,且x+y4,则下列不等式中恒成立的是（）A.B. +1C.2D.1答案B解析取x=1,y=2满足x+y4排除A、C、D选B.具体比较如下：0<x+y4,故A不对；4x+y2，2,C不对;又0xy4,D不对; +=， +1.3.设函数f（x）=2x+-1（x<0），则f（x）（）A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数答案A解析令2x=，由x<0得x=-，在x=-两侧，函数f（x）的单调性不同，排除C、D.f（x）=2x

11、+-1=-（-2x-）-1-2-1=-2-1，等号在x=-时成立，排除B.4.(2011·重庆文，7)若函数f(x)=x+ (x>2)在x=a处取最小值,则a=（）A.1+B.1+C.3 D.4答案C解析该题考查均值不等式求最值，注意“一正二定三相等”属基础题.f(x)=x+ (x>2)= x-2+22+2=4.当且仅当x-2=即(x-2) 2=1,x>2,x-2>0,x-2=1,即a=3.5.设x>0,y>0,且xy-(x+y)=1,则（）A.x+y2(+1）B.xy+1C.x+y(+1）2D.xy2(+1）答案A解析x>0,y>0,

12、xy=x+y+1（）2,(x+y) 2-4(x+y)-40，x+y2+2.故选A.6.若xR，则下列不等式成立的是（）A.lg(x2+1)lg2xB.x2+1>2xC. <1D.2x答案D解析A中，x0时，不等式不成立； B中x=1时，不等式不成立； C中x=0时，不等式不成立，故选D.7.某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y(单位：10万元)与营运年数x(xN+)为二次函数关系（如图所示），则每辆客车营运年，其营运的年利润最大.A.3B.4C.5D.6答案C解析由图像知，y=-(x-6) 2+11,年平均利润为=12-(x+)12-102.当且

13、仅当x=，即x=5时取等号.每辆客车营运5年，其营运的年利润最大.8.已知x>0,y>0,x,a,b,y成等差数列，x,c,d,y成等比数列，则的最小值是（）A.0B.1C.2D.4答案D解析因为x,a,b，y成等差数列，所以a+b=x+y.因为x,c,d,y成等比数列，所以cd=xy,所以=+2.因为x>0,y>0,所以+2+2=4,当且仅当x=y时，等号成立.二、填空题9.(2011·天津文，12)已知log2a+log2b1,则3a+9b的最小值为.答案18解析本题考查利用均值不等式求最值的问题，解决此类问题的关键是根据条件灵活变形，构造定值.log2a

14、+log2b1log2ab1,ab2.a·2b4,a+2b24（当且仅当a=2b=2时取“=”）3a+9b=3a+32b2=22=18.（当且仅当a=2b=2时取 “=”）10.函数y=loga(x+3)-1(a>0且a1)的图像恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn>0,则+的最小值为.答案8解析函数y=loga(x+3)-1(a>0,a1)的图像恒过点A(-2,-1),则有2m+n-1=0,即2m+n=1.又mn>0,+= (+)·（2m+n）=4+ ()4+4=8,当且仅当2m=n时等号成立.11.已知a、b为实常数，函数y=(

15、x-a) 2+(x-b) 2的最小值为.答案 (a-b) 2解析从函数解析式的特点看，本题可化为关于x的二次函数，再通过配方求其最小值（留给读者完成）.但若注意到（x-a）+(b-x)为定值，则用变形不等式()2更简捷.y=(x-a) 2+(x-b) 222=.当且仅当x-a=b-x,即x=时，上式等号成立.当x=,ymin=.12.将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是 .6.5m6.8m7m7.2m答案解析设两直角边分别为a,b，直角三角形的框架的周长为l,则ab=2,ab=4,l=a+b+2+=4+26.8

16、28(m).够用且浪费最少，应选择.三、解答题13.已知a>0,b>0,c>0,d>0,求证：4.解析=2+24（当且仅当a=b且c=d时，取“”）.14.已知正常数a、b和正实数x、y，满足a+b=10，=1,x+y的最小值为18，求a,b的值.解析x+y=(x+y)·1=(x+y)·()=a+b+a+b+2=()2，等号在即时成立，x+y的最小值为（）2=18，又a+b=10,ab=16.a,b是方程x2-10x+16=0的两根，a=2,b=8或a=8,b=2.15.已知a>b>0,求a2+的最小值.解析a>b>0,a-b>0.b(a-b) ()2=, 当且仅当a-b=b,即a=2b时，等号成立.y=a2+a2+2=16,当且仅当a2=,即a=2时，等号成立.故当a=2,b=时，a2+有最小值16.16.(2012·郑州模拟)某渔业公司今年初用98万元购进一艘鱼船用于捕捞，第一年需要各种费用12万元.从第二年起包括维修费在内每年所需费用比上一年增加4