数学奥林匹克题解【A整数-A3数字问题011-020】

1、A3011 设n是整数，如果n2的十位数字是7，那么n2的个位数字是什么？【题说】 第十届（1978年）加拿大数学奥林匹克题1【解】 设n10xy，x、y为整数，且0y9，则n2100x220xyy220Ay2（A为正整数）因20A的十位数字是偶数，所以要想使n2十位数字是7，必须要y2的十位数字是奇数，这只有y216或36从而y2的个位数字，即n2的个位数字都是6A3013 下列整数的末位数字是否组成周期数列？其中a表示数a的整数部分【题说】 第十七届（1983年）全苏数学奥林匹克九年级题 4由于不循环小数，所以a2k1从而an不是周期数列在二进制中的末位数字显然，bn为偶数时，rn0，bn

2、为奇数时，rn1仿（a）可证rn不是周期的，从而bn也不是周期数列A3014 设an是1222n2的个位数字，n1，2，3，试证：0.a1a2an是有理数【题说】 1984年全国联赛二试题 4【证】 将（n1）2，（n2）2，（n100）2这100个数排成下表：（n1）2                  （n2）2         &#

3、160;             （n10）2（n11）2                （n12）2                     （n2

4、0）2                                                   &

5、#160;            （n91）2               （n92）2                     （n100）2因k2与（k10

6、）2的个位数字相同，故表中每一列的10个数的个位数字皆相同因此，将这100个数相加，和的个位数字是0所以，an100an对任何n成立A3015 是否存在具有如下性质的自然数n：（十进制）数n的数字和等于1000，而数n2的数字和等于10002？【题说】 第十九届（1985年）全苏数学奥林匹克八年级题 2【解】 可用归纳法证明更一般的结论：对于任意自然数m，存在由1和0组成的自然数n，它的数字和S（n）m，而n2的数字和S（n2）m2？当m1，n1时，显然满足要求设对自然数m，存在由1和0组成的自然数n，使得S（n）m，S（n2）m2设n为k位数，取n1n×10k11，则n1由0，1组

7、成并且S（n1）S（n）1m1S（n2×102k2）S（2n×10k1）S（1）S（n2）2S（n）1m22m1（m1）2因此命题对一切自然数m均成立这说明0.a1a2a3是循环小数，因而是有理数A3017 设自然数n是一个三位数由它的三个非零数字任意排列成的所有三位数的和减去 n等于1990求 n【题说】 1989年芜湖市赛题 32090222（abc）1990n2989而2090222×91998，222×1022201990230222×112442×1990452，222×1226641990674222×

8、1328861990896，222×1431082989经验证：abc11时，n452符合题意A3018 定义数列an如下：a119891989，an等于an1的各位数字之和，a5等于什么？【题说】 第二十一届（1989年）加拿大数学奥林匹克题 3【解】 由a1100001989b1，而b1的位数是4×198917957，知a210×800080000，所以a2最多是5位数，从而a35×945，a44913，因此a5一定是一位数另一方面，由9|1989，知9|a1，因而9可整除a1的数字和，即9|a2，又因此有9|a3，9|a4，9|a5所以a59A30

9、19 某州颁发由6个数字组成的车牌证号（由09的数字组成），且规定任何两个牌号至少有两个数字不同（因此，证号“027592”与“020592”不能同时使用），试确定车牌证号最多有多少个？【题说】 第十九届（1990年）美国数学奥林匹克题1【解】 至多可造出不同的五位证号a1a2a3a4a5105个令a6是a1a1a3a4a5的个位数字，所成的六位数便满足要求因为如果两个数的前五位中只有一个数字不同，那么第6位数字必然不同另一方面，任何1051个6位数中，总有两个前五位数字完全相同因此，符合题目要求的车牌证号最多有105个A3020 设 A9999（81位全为9），求A2的各位数字之和【题说】 1991年日本数学奥林匹克预选赛题