智轩考研数学红宝书2011 - 第三章 一元函数积分学-

1、156第三章 一元函数积分学2010考试内容 (本大纲为数学1,数学2-3需要根据大纲作部分增删原函数和不定积分的概念 不定积分的基本性质 基本积分公式 定积分的概念和基本性质 定积分中值定理 积分上限的函数及其导数 牛顿-莱布尼茨(Newton Leibniz公式 不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法 有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分 反常(广义积分 定积分的应用2010考试要求1. 理解原函数的概念,理解不定积分和定积分的概念。2. 掌握不定积分基本公式,掌握不定积分和定积分的性质及定积分中值定理,掌握换元积分与分部积分法。3. 会求有理函数、三角函数有理式和简单无理函数

2、的积分。4. 理解积分上限的函数,会求它的导数,掌握牛顿-莱布尼茨公式。5. 了解反常积分的概念,会计算反常积分。6.掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量(平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力、质心、形心等及函数的平均值。第一节 原函数、不定积分与变限积分一、原函数的三基拓展1. 原函数的概念如果对任意(, , x a b a b Î或,都有(F x f x ¢=,则称(F x 为(f x 在该区间上的一个原函数。(F x c +构成(f x 的全体原函数,称为(f x 的不定积分,记为 (f x dx F

3、x c =+ò。原函数族中有一个特殊的原函数,即(xaF x f x dx =ò,称为变限积分。(x af x dx f x dx c Þ=+òò,这一关系是不定积分和定积分的桥梁 。由于(xaF x f x f x dx c f x ¢¢=Þ+=ò,所以(xaf x dx f x ¢=ò成立。不定积分以原函数是否存在为核心概念,而定积分以是否可积为核心概念,二者不可混淆。但是,定积分也有原函数的概念,在被积函数连续的情形下,二者原函数相同,比如牛顿莱布尼茨公式:(baf x dx F

4、 b F a =-ò。在被积函数不连续的情形下,两类积分性质不同,主要表现为不定积分的原函数的存在与定积分是否可积完全无关,这是因为,不定积分是一个区间整体概念,而且默认为定义域内,如ln dxx c x =+ò,默认定义域为0x ¹而定积分可以是区间局部概念,可以对区间分段积分,而绕开各类不连续点(注意在一点的定积分等于零。 2. 原函数存在定理2.1.(f x 在, a b 上连续,则原函数存在。2.2.(f x 在, a b 上存在第一类间断点,则原函数不存在。第2个定理证明如下:设0x 是(f x 的第一类间断点,且(f x 在(0U x 上有原函数(F

5、x ,则157(0 F x f x x U x ¢=Î由于第一类间断点单侧极限存在,则推出(00000000000lim lim lim lim x x x x x x x x f x F x F x F x f x f x x f x F x F x F x f x +-+®®-®®¢¢¢=ìïÞí¢¢¢=ïî在 连续,矛盾。所以,当(f x 存在第一类间断点(包含可去和跳跃时,则(f x 一定没有原函数。 2.3

6、.(f x 在, a b 上存在第二类间断点,则原函数可能存在,也可能不存在。【例1】设(1, 00, 01, 0x f x x x >ìï=íï-<î,讨论原函数存在性。解0x =是(f x 的第一类跳跃间断点。(0x x f x ¢¹Þ=,(f x 全体原函数为x c +;0x x c =Þ+不可导。故(f x 不存在原函数。【例2】设(3231312sin cos , 00, 0x x f x x x xx ì-¹ï=íï=î,

7、讨论原函数存在性。 解0x =是(f x 的第二类振荡间断点。且具有原函数为(231sin , 00, 0x x F x xx ì¹ï=íï=î。 然而,(11f x dx -ò不可积,因为在0x =的邻域(f x 无界。【例3】设(112cos sin , 00, 0x x f x x xx ì+¹ï=íï=î,讨论原函数存在性。 解0x =是(f x 的第二类振荡间断点。且具有原函数为(21cos , 00, 0x x F x xx ì¹&#

8、239;=íï=î。 而且,(11f x dx -ò可积,因为在0x =的邻域(f x 有界,且间断点个数有限。【例4】设(1, 02011, 0x f x x x ì¹ï=íï=î,讨论原函数存在性。解0x =是(f x 的第二类无穷间断点。显然,原函数和定积分都不存在。(f x 在, a b 上存在一个间断点0x x =(任何一类间断点,(xa F x f t dt =ò。则下列3个结论成立:(a (F x 在, a b 上连续。比如:(1, 0, sin , 0x x e x f

9、 x F x f t dt x x ì<=í³îò连续但不可导。158(b 0x x =(0x F x f t dt f x ¢éù¢Þ=¹êúëûò,但当(00xx x F x f t dt f x ¢éù¢¹Þ=êúëûò 。 (c (000; 0F x f x F x f x -+¢¢=-=+。3

10、. 原函数的性质3.1.当(f x 连续时,则(f x 一定有原函数,且(0xf t dt f x ¢éù=êúëûò,因为(0000001limlim 11lim =lim x xx x x x x x x x F x x f x F x f t dt f t dt x x f t dt f x f x x x x +D D ®D ®+D D ®D ®+D -éù¢=×-êúëûD D 

11、3;ù=×¾¾¾¾¾®×D =êúëûD D òòò积分中值定理。3.2.(limx F x x F x F x f x xD ®+D -¢=D 存在,且原函数(F x 一定是连续函数;3.3.验证(F x 是否为(f x 的原函数,分两步第一步:(F x 在区间上是否连续; 第二步:验证(F x f x ¢=是否成立。 3.4.若(f x 为偶函数,有且仅有一个原函数(0xf t dt ò为奇函

12、数;若(f x 为奇函数,一切原函数(0x f t dt C +ò均为偶函数。(形象记忆法:奇定偶®鸡腚®鸡屁股 (21/2k x k p ¾¾¾®=+定义域,它的定义域就是离散点,没有定义区间,故没有原函数 (注意:对于一范围, a b ,如果是区间,则默认a b ¹,b a >成立,a b =不成立;如果是定义域,则 a b a b ¹=或 都成立。一切初等函数在它的定义区间必连续,故必有原函数;但在其定义域内就不一定,因为定义域不一定包含不为零的区间长度。 3.6.14331 04x x x

13、x ®® 是 的原函数;而 属于反常积分范畴,反常积分只有在收敛时才与定积分的性质一致。 3.7.通常我们默认原函数的存在要认为是二者定义域的公共部分;如ln dxx c x =+ò,公共部分为0x ¹, arcsin x c =+的公共部分为(1, 1;1, 1 1, 1arcsin x -而不是是的定义域。3.8.初等函数的原函数不一定为初等函数,如初等函数22sin ,sin ,x xex x-的原函数就不是初等函数。 3.9.原函数不唯一,它们是只差一个常数的函数族,如:21211sin cos sin cos 224x xdx x c x c

14、=+=-+ò。3.10.(f x 为连续的周期函数Û(f x 的任意原函数为周期函数的充要条件是(00Tf x dx =ò。二、原函数的应用 题型题法1 原函数159【例5】设(f x 连续,(211f x dx =ò,(1t ty F x f y f x dx dy éù=êúëûòò,求(2F ¢。解利用原函数,记(1t tyf x dx t y F x f y t y dy éù=F -F Þ=F -F ëû&

15、#242;ò(111121222ttttt f y dy f y y dyF t t f y dy t f t f t t f t f y dy F f f y dy f =F -F ¢¢Þ=F +F -F =¢Þ=òòòòò【例6】设(F x 是(f x 的一个原函数,(02,F = (cos 2F x f x x =,求(20I f x dx p =ò。解(F x f x ¢=,( ( ( 2122424204411cos 2sin 222022sin 24|2

16、2F x f x dx xdx C F x x C F C F x x F x f x I f x dx dF x dF x p p p p p p p =+Þ=+=Þ=Þ=+Þ=Þ=-=-òòòòò【例 7】(F x 为(f x 的原函数,0x ³,(20, 01, 21x xe F x F f x F x x >=+,求(f x 。解(222222111x xxxe xe xe f x F x F x dF x Fx dx x x x =Þ=Þ=+

17、2;( (201022232111111101121x xx xxx x F c xe x xe xe e dx xe d dx c x x xxx e e F x c F x F x F x x x xef x F x x =®=+æö=-=-+=+ç÷+èø+Þ=+¾¾¾¾¾®=Þ=>+¢Þ=+òòò【例8】设2sin x 是(f x 的原函数,求d f dx。解( (222sin 2c

18、os 2cos tf x xx xfx f t t t ¢=Þ=®=, ( 2222cos 4sin 2cos 4sin cos 2sin df t dd dt f f t t t t dxdx dt dx x x x x x x Þ=×=-=-=-【例9】下列积分不正确的是160(3322ln 1103ln 11 ln 042d x A x x dx x C B C x x x x C x x dx x x C D dx x C x x =+=-+¹=+=+¹òòòò解利用符号函数表

19、示sgn x x x =,并注意sgn x 为一常值函数,不受积分求导的影响。答案选(D 。(32321111sgn sgn 333A x x dx x x dx x C x x x C x C æö=+=+=+ç÷èøòò,(A 正确。(122ln 11sgn sgn 0d x d x dx B x x C C x xx x x x æö=-+=-+¹ç÷èøòòò,(B 正确。 (234331111sgn sgn

20、 444C x x dx x x dx x x C x x C x x C æö=+=+=+ç÷èøòò,(C 正确。(22ln 1ln ln ln , 0ln 2ln 1ln ln ln , 02xdx xd x x C x x x D dx x x dx x d x x C x xì=+>ïï=í-ï=-=-+<ï-îòòòòò,(D 不正确。 【例10】下列命题不正确的是(, ,

21、A f x a b f x a bB f x a b f xC f x a b f x a bD F x f x F x 若在区间 的某个原函数是常数,则在区间 恒为零若在区间 的某个原函数为零,则所有原函数是常数若在区间 不是连续函数,则在区间 必无原函数若是的任意一个原函数,则必定为连续函数解选(C 。(A (0F x k F x f x ¢=Þ=,正确; (B (0F x F x C C =Þ+=,正确;(C (112sin cos , 00, 0x x f x x x x ì-¹ï=íï¹

22、8;在(1, 1-内不连续,但它存在原函数(21sin , 00, 0x x f x x x ì¹ï=íï¹î (D 根据原函数的定义有:(F x f x ¢=。显然正确。【例11】设(F x 是(f x 在区间I 上的原函数,则( A F x B F x C F x I D F x I 必为初等函数且有界必为初等函数但未必有界在上必连续且有界在上必连续但未必有界解由于(F x f x ¢=,故(F x I 在上必连续,但未必有界,例如:1x在(0, 1上的原函数是ln x , 而ln x 在(0, 1上

23、就无界。故选 (D【例12】设0a >, (f x 在区间, a a -连续,则在, a a -上161(2cos A f x B x f x f x C f x D x f x f x -éùëû-éùëû的全体原函数为奇函数的全体原函数为偶函数有唯一原函数为奇函数的任意原函数既不是奇函数也不是偶函数解只有奇函数的原函数才一定是偶函数,偶函数的原函数可能是奇函数,也可能不是,显然(cos f x 和(x f x f x -éùëû都是偶函数,故(, , A B D 不

24、正确,而(2f x 的一个原函数为 (20=x F x f t dt ò,而(220=xxu tF x f t dt f u du F x -=-¾¾¾®-=-òò故(F x 为奇函数,所以(C 正确。【例13】设(F x 是(f x 在区间(, a b 的一个原函数,则(F x f x +在在(, a b 上 ( A B C D 可导连续存在原函数是初等函数 解(F x f x ¢=,故(F x 必连续,(F x 必存在原函数,故(C 正确。【例14】(1, 0sin , 02x x x x f x e e x

25、p -+³ìï=íæö<ç÷ïèøî,则(f x 的原函数是: (22211, 0, 02222cos , 0cos , 02211, 022 2cos , 2x x x x x x x x x A F x B F x e x e x x x x C F x e p p p p p p -ìì+³+³ïïïï=ííæöæöï

26、;ï-<<ç÷ç÷ïïèøèøîî+³=æöç÷èø(211, 022 21 0cos , 022x x x x D F x x e x p p-ìì+-³ïïïï=ííæöïï<-+<ç÷ïïè

27、øîî解(, C D 中(F x 在0x =点不连续,故都不是(f x 的原函数,(A 不满足(F x f x ¢¹,故也不是(f x 的原函数,因此(B 正确。【例15】(211, 0, cos , 04x x x f x F x f t dt x x p -ì+£ï=í+>ïîò,则:( - + - + - +A F x f x B F x f x C F x D F x f x ¥¥¥¥¥¥为的一个原函数

28、在,上可微,但不是的原函数在,上不连续在,上连续,但不是的原函数解选(D 。 (A (+0lim 1, lim 1, 04x x f x f x x A p -®®=+=为第一类间断点,故不正确。 (B 不正确,理由在(C 的分析中。(C (000,f x x a b a x x b Î当有第一类间断点 , 但在 和 内必连续,可以证明:(, , ,xaF x f t dt x a b a b =Îò为 上的连续函数。对本题我们有:162(2310210141, 03341cos sin , 0443x x x dx x x x F x x d

29、x x dx x x x p p -ì+=+£ïï=íæöï+=+>ç÷ïèøîòòò,显然,(F x 是连续的。 但是 (30414sin 4333lim x x x x x F x F x f x xp +®æöæö+-+-ç÷ç÷èøèø¢=Þ¹不存在,即不

30、可导,故(B 不正确。【例16】设函数(222212112cos sin , 0cos , 0, 0, 00, 0x x x x f x F x x x x xx x ìì+¹¹ïï=ííïï=îî。 则在(, -¥+¥内下列正确的是:(A f x F x f xB f x F x f xC f x F x F x f xD f x F x f x ¢=不连续且不可微,可微,且为的原函数不连续,不存在原函数,因而不是的原函数和均为可微函数,且为的

31、一个原函数连续,且解可以验证0x =为(f x 的第二类间断点,因为:(20021lim 0limsin x x f x x x®®=+,故0x =为(f x 的第二类振荡间断点,可能存在原函数。又(22201121cos 02cos sin , 00lim 0, 00, 0x x x x x F F x F x f x x x xx x ®ì-+¹ï¢¢=í-ï=î故可微。即: (F x A 而连续,故正确。三、变限积分的求导方法( g x a g x g x g x a a a a

32、 f t dt f g x g x b xf t dt x f t dt xf g x g x f t dt¢éù¢=êúëû¢¢éùéù¢=+êúêúëûëûòòòò(2212112211 g x a g x g x g x g x g x a a a c f t dt f t dt f t dt f t dt f t dt

33、f g x g x f g x g x ¢¢¢éùéùéù=+=-+êúêúêúëûëûëû¢¢=-òòòòò (21111 b bx bx bxxt u a ax ax axd f xt dt f u du f u du bf bx af ax f u du x x xx =¢¢¢

34、33;ùéùéù¾¾¾®=-éùëûêúêúêúëûëûëûòòòòe 一般复杂情况下使用下列雅可比公式求变限积分的导数 四、考研数学必记的20个基本积分公式务必熟悉下列20个基本积分公式模型,它他们当成元部件,在计算其他积分时,常常需要变换到这些基本模型,然后直接写出结论(阅卷认可,即所谓的“积分元部件组装

35、”。 五、不定积分技巧与方法积分技巧的一般思想:积分困难主要是由于被积函数存在分母和根号,如何完全或部分去掉这两个东西就是我们开发求解积分技巧的源泉。“去分母”利用微分逆运算把被积函数的全部或部分缩到微分符号里面;然后根据情形,再使用分部积分;对于分式函数的积分,先分解为最简因子代数和,再继续;对于无理函数的积分,先化为真分式,再继续。“去根号”优先考虑把被积函数的全部或部分缩到微分符号里面,如果不行,就利用换元法去掉根号。不定积分计算一般遵循以下三大总纲领: 利用上述20个积分公式及其逆向思想,把被积函数整体或其部分凑全微分(即优先考虑第一换元; 分部积分; 换元(三角换元、倒换元、指数换元

36、、根式换元和特殊换元。163164 题型题法2 利用恒等变换及局部凑微分(第一换元第一换元被积函数有6种基本型:(a (ln ln ln dxf x f x d x x =òò ( b 2f f =òò(c (cos sin cos cos f x xdx f x d x =-òò(d (2tan sec tan tan f x xdx f x d x =òò (e ( (arcsin arcsin arcsin f x f x d x =òò(f (2arctan arctan arctan

37、1dxf x f x d x x =+òò【例17】设(2sin sin x f x x = ,求(I x dx =。 解恒等变换后,通过变换缩进分母的一部分到微分符号里面(部分凑微分。 令 2sin u x =,由于01sin 0x x ££Þ³ ,则( x f x =Þ= 22 I c æö÷=-=-÷÷ç÷èø=-=-+ò 评 注 此题解到 I =的后续计算是关键,按照积分总纲领,去掉分母还可以写成: (2I d =-&

38、#242; 往下计算十分困难,不可取。按照积分总纲 212t x t dx tdt = Þ=-Þ=-,从而: ( 22122arcsin 2I tdt t t =-=-éùêúé ùêú= -=-ê úêúëû êúëûò (2112arcsin 1222t t t c éùé=-=-×+êúêëë

39、û 165( 22arcsin 21t t c =-+-=-+但计算过程繁琐得多。所以,快速寻找到最佳解法就需要读者多做练习多思考总结。 【例18】计算不定积分ln tan sin 2xI dx x =ò。解恒等变换后,通过变换缩进分母的一部分到微分符号里面(部分凑微分。(22ln tan ln tan 1ln tan 11tan ln tan ln tan ln tan sin 22tan 242cos cos x x x I dx dx d x xd x x c x x xx=+×òòòò。 【例19】计算不定积分(71

40、dx I x x =+ò解法一先分解为最简因子代数和,再继续。(776777111ln ln 1171x x x I dx dx x x c x x x x æö+-=-=-+ç÷+èøòò 解法二(78777111ln 11717d x x I dx x c x x -+=-=-+òò。 读者可以验证,两种结果只差一个常数。 【例20】计算不定积分sin 1sin xI dx x =+ò解对于三角函数积分,不到万不得已,不可使用半角换元,而是变换被积函数,利用不定积分的20

41、个基本积分结论组装。222222sin (1sin sin sin (cos 1(1sec tan cos cos cos cos cos x x xdx x d x I dx dx dx x x x C xx x x x -=-=-+-=-+òòòòò。 【例21】 I =【解】不可盲目进行根号换元。 ( ln arcsin x x x x x x I e e c -=-=+ 【例22 】计算不定积分I =。解把分母的部分缩进微分符号里面(部分凑微分,再进行分部积分。 24, 21t t x dx tdt d I +®=æ

42、öç÷=-=®166(22222322421111111 +arctan 22422244t t tdt t dt dt t t t t t t t+-æöæö=-=-ç÷ç÷+èøèøòòò 11arctan 4244c I c x =+Þ=+ 【例23】2411x I dx x +=+ò解C x x arctg x x x x d dx x x x dx x x +÷

43、47;÷÷øöççççèæ-=+÷øöçèæ-=+=+òòò2121211(11111222242。 题型题法3 回 归【例24】求(2cos sin cos x x xI dx x x +=+ò解(2cos 1sin 1cos cos cos x x x x dx I dx xd x x x x x x +-æö=+ç÷+èø+

44、2;òò cos cos cos cos dx x dx xc x x x x x x x x=+-=+òò【例25】设(f x 连续,且(20lim 1cos tx t x f x t tdt t ®¥æö+=-ç÷èøò,求(f x 。解易知:22lim 1tx t x e t ®¥æö+=ç÷èø(202020222cos cos cos cos sin sin 2sin cos

45、cos sin 4cos cos sin sin sin cos sin cos 4552x xxxx xxx x xxx x xe f x t tdt x t u f u x u du x f u udu x f u udu e x f u udu x f u udu f x e f x x f u udu x f u udu f x x x f x x x e f x e f x e f x e =-=-=+Þ=-+¢Þ=-+¢¢Þ=-Þ=Þ=òòòòò

46、2;òò2x c+【例26】设( (1201x f x f x dx x =+,求(10I f x dx =ò 解设(10f x dx A =ò,( (101x f x f x dx x =+两边同时取积分得( ( 1112000011211002000111ln 1|arcsin |122x f x dx dx f x dx x x A dx A A x A x x éùéù=+êúêúëûëû+æöÞ=

47、+Þ=+ç÷ç÷+èøòòòòòò167(1012ln 2ln 2244A A f x dx A p p Þ=+Þ=-ò。 题型题法4 相关积分【例27】求222212sin , cos x x I e xdx I e xdx =òò解221212xxI I e dx e c +=+ò (22212222221212212221cos 2cos 2sin 221111cos 2sin 2cos 2cos 2

48、sin 222221cos 2sin 2411cos 2sin 24811cos 2sin 248x x x x x x x x x x x x x I I e xdx e x e xdxe x e x e xdx e x e x I I I I e x x I e e x x c I e e x x c -=-=+-=+-Þ-=+ì=-+ïïÞíï=+ïîòòò 题型题法5 第二换元第一换元法(凑微分和第二换元法及其分部积分法是计算积分的3大核心而普遍的技术。 5.1 三角

49、换元 三角换元(1- 去根式 ( ( 2sin cos tan (sec sec (sec tan x a t a tR x dx R x dx x a t dx a tdt x a t dx a t tdt ®=Þ®=®=òò或或三角换元(2-万能公式 一般适合(sin , cos R x x dx ò型。222222212tan ; sin ; cos ; tan 21111x dt t t t t dx x x x t t t t -=Þ=+- 注意:三角万能代换只有在没有其他简单方法可用时才使用,实际上三角

50、万能代换后计算量很大。 如cos 2sin cos sin u x xdx x x=¾¾¾¾¾®-ò令更方便,如用三角替换反而繁琐。 三角换元(3-和差化积或积化和差 1sin cos sin(sin(21sin sin cos(cos(21cos cos cos(cos(2x x x x x x x x x x x x a b a b a b a b a b a b a b a b a b ì=+-ïïï=-+-íïï=+-ïî168

51、三角换元(4-倍角公式 222221sin cos sin 2 cos 212sin 211sin (1cos 2 cos (1cos 2 221cos 2cos 1cos 2sin 22x x x x x x x x x x x x x ì=-ïïï=-=+íïï+=-=ïî评 注 不管引用何种三角替换,其本质就是去掉根号和化简。【例28】计算222(1x I dx x =+ò。 解三角换元法:22tan 222222tan sec sin (1(1tan x t x t I dx tdt t

52、 x t =¾¾¾®=+òòò 211111(1cos 2sin 2arctan 224221xt dt t t C x C x =-=-+=-+ò。【例29 】计算( 0I a =>ò。 解三角换元法:令 22cos 4sin cos x a t dx a t tdt =®=- (2242cos 1 2cos 4sin cos 8cos 32sin 2sin 4sin 4t I a t a t t dt a tdt a t t t c t æö=×-=-=-

53、+ç÷èøòòò。 5.2 倒换元 1x t = Þ21dx dt t=- 【例30 】计算I =解令1x t= 2222222111d a t I tdt C C t a a a x éù+ö=-=-=-=-+=-+÷øò。 【例31】计算 I = 解令( 21111, 1x dx dt x t t t t-=Þ=-=× ( ( ( 222sgn 11 sgn 111 sgn sgn sgn 11 arcsin sgn 1t t I

54、dt dt t t t t t c c x c cx æöæö=-=-=-ç÷ç÷èøèø-æö=-=-×+=-×ç÷-èø=-×+=-1695.3 指数换元 1,2ln xdta t dx t dx tdt a t=Þ=×=Þ= 【例32】计算2124x x xdxI =+ò。解221 1ln 2xtt dtI t t t=¾¾

55、;¾®=××+ò 2221111ln 2ln 2ln 21312422t dt dt C t t +=+æöæöæö+ç÷ç÷ç÷èøèøèøòò 【例33】计算I =。解令6516t x t dx t dt =Þ=-Þ=,可以同时去掉两个根式。 332 61116616ln1111t t I dt dt t t dt c t

56、t t -+æö=+ +=+ç÷- +èøòòò 【例34 】 I =(2242311; 42t t t x dx dt t t-=Þ=(43231211111112121111ln ln 2222t I dt dtt t t t t x t t c c t t -æö=-+-ç÷+èøæö= -+=+-ç÷èøòò5.5 真分式的“极点展开法”与待定系数求

57、法公式(a (b i 170例如:分解分式(221111(11AB C t t t t t =+-+-+。 1t =为单根,则(2211111(141(11t t C t t t t =éùéù=´-=êúêú+-+êúêúëûëû1t =-为二重根,则(22111111121(1t t A t t t t =-=-éùéù=´+=-êúê-

58、35;û+-êúëû (22211111141(11t t d B t dt t t t =-=-éùéù=´+=-=-êúêú+-êúêúëûëû 题型题法6 极点展开【例35 】计算ln 1 I dx æ=ççèò。 211t x t =Þ=- ( 222222111ln 1ln 11244ln 1 111111(

59、11ln 11111ln ln 1ln 141212t t dt I t d t t t t t t t t t t C x Ct t t æö-ç÷+æö=+=-=-+ç÷ç÷-+-èø+-+ç÷èøæ+=+-+=+-+çç-+èòòò 11ln 1ln 22x x C æ=+ççè。 5.6 特殊换元 题型题法7 特殊换元

60、曲线换元 【例36】 ( I b a =>解曲线换元法:令 (22sin cos x a b a tb x b a tì-=-ïí-=-ïî ( (222 sin cos , cos 21sin sin cos a b xdx b a t tdt t t t b atb a t tt+-Þ=-=-=-=Þ=-=171 ( 2222222sin cos 2 sin cos 2sin cos sin 21cos 424sin cos cos 244I b a t t b a t tdtb a b a b a t t dt

61、tdt t dtb a b a t t t tc c=-×-=-=-é-=-+=+êëòòò ò 欧拉换元 (10, 0, a zc xz z x x ì>=+ïï>=±íï=-ïî如果 如果 (读者学会方法,不必研究该类题型【例 37】计算I =。解:10a =>(222211; 2121z z z z x x dx dz z z +-=-Þ=+ + ( 222431114331221122221ln 22

62、1z z I dz dz z z z z z x cx éùêú+êú=-êúæöæö+êúç÷ç÷èøèøëû=+òò 又如 对 101c I xz =>=¾¾¾=- 对 (111x I z x =-=+ 题型题法8 多级分部积分多项式u 的各阶导数 u u ¢ u ¢¢

63、 0其他函数v 的各级积分 n dx v ò dx v òò .dx n òò根据公式udv uv vdu =-òò反复使用。陈氏口诀 代换变形多项式;逐次微分直到零;其余积分零对齐;交叉相乘正负和。【例38】计算(43221x I xx e dx =-ò。172解表格:43221xx x e- 3224612xx x e- 22121214xx xe- 2241218xx e- 224116xe20132xe(2432322222432211111(2146(1212(241224024816321(23312x

64、 x x x x x I e x x e x x e x x e x e C x x x x e C=-+-+-+=-+-+g 【例39】 求积分2(arcsin I x x dx =ò2221(arcsin arcsin sin cos sin 22I x x dx x u u u udu u udu =××=òòò解表格: 2sin 2u u ìïíïî21cos 22u u - 21sin 24u - 01cos 28u - 22221111cos 2sin 2cos 22224

65、111(arcsin (12(12428I u u u u u C x x x x Céù=-+-+êúëû=-+-+ 题型题法9 递推与倒推【例40】计算22(n n dxI x a =+ò, (1n ¹。解递推式一般首先采用分部积分法。222222212(n n n x x a a I n dx x a x a +-=+ò 222212222122222222(n n n n n n n n x dx x nI na I na nI na I na I x a x a x a +=+-=+-+

66、2; 12221(212(n n nxI n I na x a +éùÞ=+-êú+ëû。 可作为公式用。 同步练习:2ln(2a x C =+【例41】计算222(1dxI x =+ò解(22112222222221-12222111111dx x x dx x x dx xI I I x x x x x x +=+=+=+-+òòò173(2122111arctan 212221x x I I x c x x Þ=+=+ 题型题法10 有理函数的积分有理函数的积分可化为整

67、式和如下四种类型积分(不要记公式,掌握方法即可1ln dx x a C x a=-+-ò 1111(1(n n dx C x a n x a -=-×+-ò 1n ¹ (224, 2222222 (422P q p x u a n n n dx dx du x px q u a P q p x -+=¾¾¾¾¾¾®+éù+-æö+êúç÷èøêúëû

68、;òòò,再用【例40】方法。 221211(2(1(2(n n nx a p dx dx a x px q n x px q x px q -+æö=-+-ç÷+-+èøòò 240q p -> 证明如下:22222222(n n n n p p p px a x a x a dx dx dx dx x px q x px q x px q x px q +-+-+=+òòòò (2222121(11112(2(21(2(n n n n

69、d x px q p p a dx a dx x px q x px q n x px q x px q -+æöæö=+-=+-ç÷ç÷+-+èøèøòòò 评 注 上述公式不必记忆,其方法的本质是通过恒等变换消除分母的x 一次项,再用【例42】的结论。具体问题的求解是这一思想出发的,同时也常常使用倒数换元。 题型题法11 抽象函数和分段函数的不定积分【例42】求 (32max ,1I x x dx =ò。解此类题的定式做法是:关键是

70、画图得出分段区间,化成分段函数后,再积分。(3413223231; 141max ,1; 1 31; 1x x I x c f x x x x x I x c x I x c ì³®=+ïïï=£-®=+íïï<®=+ïî画图得出分段分支函数 由于分段函数的连续性知:1323111; 143c c c c +=+-+=-+ (432331213; 1443212; max ,1; 14333; 1x c x c c c c c c I x x dx x c x x c x ì+³ïïï=Þ=+=-+Þ=-+£-íïï+<ïîò令。174对于含有绝对值的函数积分,一般见于定积分题型中,方法是:先令绝对值的项等于零,画图再确定能去掉绝对值的区间,然后分区段积分,详见定积分部分例题。但也可作不定积分,方法是:利用符号函数(sgn x (常数函数,可提出积分号外。 如(11sgn 122122221 1 1sgn 11 1111111122sgn 1111221122x x x I x